संख्या समुच्चय: प्राकृत संख्याओं से सम्मिश्र संख्याओं तक

विस्तार की प्रेरक शक्ति के रूप में प्रतिलोम संक्रियाएँ

पियानो के अभिगृहीतों पर पाठ में परिभाषित प्राकृत संख्याएँ बिना किसी प्रतिबंध के जोड़ने और गुणा करने देती हैं: दो प्राकृत संख्याओं का योगफल और गुणनफल सदा प्राकृत संख्याएँ होते हैं। प्रतिलोम संक्रियाओं के साथ ऐसा नहीं होता। निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक प्राकृत संख्याओं से लिखा गया है और फिर भी उनमें से किसी का भी प्राकृत संख्याओं में कोई हल नहीं है:

पहले के लिए ऐसा घटाना चाहिए जिसकी प्राकृत संख्याएँ अनुमति नहीं देतीं; दूसरे के लिए भाग देना; तीसरे के लिए मूल निकालना; चौथे के लिए किसी ऋणात्मक संख्या का मूल। इन्हें हल करने के लिए प्राकृत संख्याओं के समुच्चय का चार चरणों में विस्तार किया जाता है, जिनमें से प्रत्येक पिछले को समाहित करता है:

सभी विस्तार एक ही सिद्धांत का पालन करते हैं, जो पाठ के शेष भाग का मार्गदर्शन करता है:

प्रत्येक नया संख्या समुच्चय पिछले समुच्चय की संक्रियाओं और गुणों को बनाए रखता है, और वे अवयव जोड़ता है जो इसके लिए आवश्यक हैं कि पहले प्रतिबंधित कोई प्रतिलोम संक्रिया परिभाषित हो जाए।