数集：从自然数到复数

摘要

本课说明如何从自然数出发，依次构造整数、有理数、实数和复数。每一次扩充都是为了让某种逆运算（减法、除法、开方）不受限制地得到定义，并且保留前一个集合的性质。本课回顾为什么 $\sqrt{2}$ 不是有理数，证明有理数不是完备的，陈述实数所承认的公理（域公理、序公理和完备性公理），并解释为什么实数除了需要方根之外，还需要完备性。

学习目标

指出从自然数到复数，每一次扩充是由哪种逆运算推动的。
准确陈述每个数集中加法和乘法的性质，以及实数所承认的完备有序域公理。
运用整数指数幂的运算法则和算术根的定义。
用反证法证明某个方根不是有理数。
区分有理数、无理数、实数和复数。

逆运算：扩充的动力

在关于皮亚诺公理的课中定义的自然数，可以不受任何限制地相加和相乘：两个自然数的和与积总是自然数。逆运算却不是这样。下列每个方程都是用自然数写成的，然而没有一个在自然数中有解：

x + 5 = 3, \qquad 3x = 2, \qquad x^2 = 2, \qquad x^2 = -1

第一个需要自然数不允许的减法；第二个需要除法；第三个需要开方；第四个需要负数的方根。为了解这些方程，自然数集分四个阶段扩充，每个阶段都包含前一个阶段：

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

所有扩充都遵循同一个原则，它指导本课的其余部分：

每个新的数集都保留前一个数集的运算和性质，并添加必要的元素，使原先受限制的某种逆运算得到定义。