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Topos Uranos
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Conjuntos numéricos: dos naturais aos complexos

Resumo

Esta aula mostra como, a partir dos números naturais, se constroem sucessivamente os inteiros, os racionais, os reais e os complexos. Cada ampliação nasce para que uma operação inversa (a subtração, a divisão, a raiz) fique definida sem restrições, e conserva as propriedades do conjunto anterior. Recorda-se por que 2\sqrt{2} não é um número racional, demonstra-se que os racionais não são completos, enunciam-se os axiomas que se admitem para os números reais (os de corpo, os de ordem e o de completude) e explica-se por que os reais exigem, além das raízes, a completude.

Objetivos de aprendizagem

  1. Identificar que operação inversa motiva cada ampliação, desde os naturais até os complexos.
  2. Enunciar com precisão as propriedades da soma e do produto em cada conjunto numérico, e os axiomas de corpo ordenado completo que se admitem para os números reais.
  3. Aplicar as propriedades das potências de expoente inteiro e a definição de raiz principal.
  4. Demonstrar por redução ao absurdo que uma raiz não é um número racional.
  5. Distinguir os números racionais, irracionais, reais e complexos.

As operações inversas como motor da ampliação

Os números naturais, definidos na aula sobre os axiomas de Peano, permitem somar e multiplicar sem restrição alguma: a soma e o produto de dois naturais são sempre naturais. O mesmo não ocorre com as operações inversas. Cada uma das equações seguintes está escrita com números naturais e, no entanto, nenhuma tem solução entre eles:

x+5=3,3x=2,x2=2,x2=−1x + 5 = 3, \qquad 3x = 2, \qquad x^2 = 2, \qquad x^2 = -1

A primeira exige uma subtração que os naturais não admitem; a segunda, uma divisão; a terceira, uma raiz; a quarta, a raiz de um número negativo. Para resolvê-las, amplia-se o conjunto dos naturais em quatro etapas, cada uma das quais contém a anterior:

N⊂Z⊂Q⊂R⊂C\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

Todas as ampliações obedecem a um mesmo princípio, que guia o restante da aula:

Cada novo conjunto numérico conserva as operações e as propriedades do anterior, e acrescenta os elementos necessários para que uma operação inversa, antes restrita, fique definida.