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Topos Uranos
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수 체계: 자연수에서 복소수까지

요약

이 수업은 자연수에서 출발하여 정수, 유리수, 실수, 복소수가 차례로 구성되는 과정을 보여 준다. 각 확장은 어떤 역연산(뺄셈, 나눗셈, 거듭제곱근)이 제한 없이 정의되도록 하기 위해 생겨나며, 앞의 집합의 성질을 보존한다. 2\sqrt{2}가 유리수가 아닌 이유를 되짚고, 유리수가 완비가 아님을 증명하며, 실수에 대하여 받아들이는 공리(체의 공리, 순서의 공리, 완비성 공리)를 서술하고, 실수가 거듭제곱근뿐 아니라 완비성까지 요구하는 이유를 설명한다.

학습 목표

  1. 자연수에서 복소수까지 각 확장을 촉발하는 역연산이 무엇인지 식별한다.
  2. 각 수 집합에서 덧셈과 곱셈의 성질을, 그리고 실수에 대하여 받아들이는 완비 순서체의 공리를 정확하게 서술한다.
  3. 정수 지수의 거듭제곱 법칙과 주근의 정의를 적용한다.
  4. 어떤 거듭제곱근이 유리수가 아님을 귀류법으로 증명한다.
  5. 유리수, 무리수, 실수, 복소수를 구별한다.

확장의 원동력으로서의 역연산

페아노 공리에 관한 수업에서 정의한 자연수는 아무런 제한 없이 더하고 곱할 수 있다. 두 자연수의 합과 곱은 언제나 자연수이다. 역연산은 그렇지 않다. 다음 방정식들은 모두 자연수로 쓰여 있지만, 그럼에도 어느 것도 자연수 안에서 해를 갖지 않는다.

x+5=3,3x=2,x2=2,x2=−1x + 5 = 3, \qquad 3x = 2, \qquad x^2 = 2, \qquad x^2 = -1

첫째는 자연수에서 허용되지 않는 뺄셈을 요구하고, 둘째는 나눗셈을, 셋째는 거듭제곱근을, 넷째는 음수의 거듭제곱근을 요구한다. 이 방정식들을 풀기 위해 자연수의 집합을 네 단계에 걸쳐 확장하며, 각 단계는 앞 단계를 포함한다.

N⊂Z⊂Q⊂R⊂C\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

모든 확장은 같은 하나의 원리를 따르며, 이 원리가 수업의 나머지 부분을 이끈다.

새로운 수 집합은 모두 앞의 집합의 연산과 성질을 보존하고, 그때까지 제한되어 있던 역연산이 정의되도록 필요한 원소를 덧붙인다.