Les entiers relatifs : construction, signes et ordre

La construction des entiers relatifs

Dans la leçon sur les ensembles de nombres, les entiers relatifs ont été présentés comme l’ensemble qui réunit les entiers naturels, le zéro et les opposés des entiers naturels, et leurs propriétés ont été énoncées. Or énoncer ces propriétés n’est pas les démontrer : tant qu’on n’a pas dit ce qu’est un nombre négatif, la règle des signes ou la compatibilité de l’ordre avec la multiplication sont des conventions, non des théorèmes. Cette leçon construit les entiers relatifs avec les seules ressources des axiomes de Peano et des opérations sur les entiers naturels, et elle déduit de la construction toutes ces règles. Comme dans le reste du cours, les entiers naturels commencent à $1$ ; le zéro apparaît pour la première fois dans cette construction.

L’idée est la suivante. L’équation $x + b = a$ a une solution naturelle seulement lorsque $b < a$, et cette solution est la différence $a - b$. S’il en est ainsi, un nombre négatif peut être conçu comme une soustraction en attente, décrite par le couple d’entiers naturels $(a, b)$ qui la produirait. Beaucoup de couples décrivent la même soustraction ; par exemple, $(5, 2)$, $(4, 1)$ et $(9, 6)$ décrivent le $3$, et $(2, 5)$ et $(1, 4)$ décrivent ce qui n’existe pas encore et sera le $-3$. Deux couples $(a, b)$ et $(c, d)$ décrivent la même soustraction lorsque $a - b = c - d$ ; cette condition utilise des soustractions qui peuvent ne pas exister, mais, en ajoutant $b + d$ aux deux membres, elle devient une égalité entre entiers naturels qui a toujours un sens :

Définition (couples équivalents). Deux couples d’entiers naturels $(a, b)$ et $(c, d)$ sont équivalents, et l’on écrit $(a, b) \sim (c, d)$, lorsque $a + d = b + c$.

Dans un quadrillage dont les points sont les couples d’entiers naturels, avec $a$ sur l’axe horizontal et $b$ sur l’axe vertical, le couple $(a + 1, b + 1)$ est équivalent à $(a, b)$, car $a + (b + 1) = b + (a + 1)$ ; d’où les couples équivalents à un couple donné s’alignent sur une droite parallèle à la diagonale, le long de laquelle on avance d’une case vers la droite et d’une case vers le haut. Pour que cette relation serve à identifier des couples, elle doit se comporter comme une égalité : tout couple est équivalent à lui-même, la relation ne dépend pas de l’ordre dans lequel on nomme les couples, et deux couples équivalents à un troisième sont équivalents entre eux. Autrement dit, elle doit être réflexive, symétrique et transitive : une relation d’équivalence, au sens de la leçon sur les ensembles, les relations et les fonctions, dont l’exemple sur la relation qui construira les entiers relatifs annonçait cette construction.

Les entiers relatifs comme classes de couples

Comme l’équivalence des couples est une relation d’équivalence, les résultats généraux de la leçon sur les ensembles, les relations et les fonctions valent pour elle, et il n’est pas nécessaire de les répéter. La classe du couple $(a, b)$ est l’ensemble de tous les couples d’entiers naturels équivalents à $(a, b)$ ; dans la notation de cette leçon, ce serait $C((a, b))$, et ici on écrit, plus brièvement, $C(a, b)$. Chaque couple de la classe en est un représentant. Dans le quadrillage, une classe est l’ensemble des points d’une droite parallèle à la diagonale. D’après le lemme sur les classes d’équivalence démontré dans cette leçon, deux couples sont équivalents si et seulement si leurs classes sont égales, et deux classes ayant un couple commun coïncident ; et, d’après le théorème sur les équivalences et les partitions, les classes forment une partition des couples d’entiers naturels. Il s’ensuit la règle selon laquelle on compare deux classes :

Définition (entiers relatifs). Un entier relatif est une classe de couples d’entiers naturels. L’ensemble des entiers relatifs se note $\mathbb{Z}$ ; c’est l’ensemble quotient des couples d’entiers naturels par l’équivalence des couples.

La définition peut paraître étrange, car un nombre se révèle être un ensemble infini de couples. Mais c’est ce qui se passe déjà avec les fractions : $\frac{1}{2}$ et $\frac{2}{4}$ sont des écritures différentes d’un même nombre, et ce que l’on définit est ce qu’elles ont toutes en commun. La classe $C(5, 2)$ sera le $3$ ; la classe $C(2, 5)$, le $-3$ ; la classe $C(1, 1)$, le $0$. Avant d’utiliser ces noms, il faut définir les opérations et vérifier que les entiers naturels se trouvent, en effet, à l’intérieur des entiers relatifs.

La somme et le produit de classes

Les opérations se définissent en imitant ce qui se passerait si les soustractions existaient. Si $(a, b)$ représente $a - b$ et $(c, d)$ représente $c - d$, la somme des deux soustractions serait $(a + c) - (b + d)$, et leur produit, une fois développé, $(ac + bd) - (ad + bc)$. Ce calcul n’est pas une démonstration, car il utilise des soustractions qui n’existent pas encore ; il sert à choisir les définitions, dans lesquelles n’interviennent que des sommes et des produits d’entiers naturels :

La définition calcule avec des représentants, et une même classe en a une infinité. Si le résultat changeait lorsqu’on change de représentant, la définition ne définirait rien : elle donnerait plusieurs valeurs pour une même opération. Il faut donc démontrer que le résultat ne dépend que des classes ; on dit alors que l’opération est bien définie.

Les propriétés de l’addition et de la multiplication

Les opérations étant bien définies, chaque propriété des entiers relatifs se démontre en calculant avec des représentants, et chacune hérite de la propriété des entiers naturels qui la soutient. Pour tous les entiers relatifs $x$, $y$ et $z$, on a les propriétés suivantes :

1. Commutativité et associativité de l’addition, héritées composante par composante de celles des entiers naturels.
2. Commutativité de la multiplication, héritée de la commutativité de l’addition et de la multiplication des entiers naturels, comme à l’étape 5 de la démonstration précédente.
3. Associativité de la multiplication et distributivité, héritées de l’associativité, de la commutativité et de la distributivité des entiers naturels.
4. Élément neutre de l’addition : la classe $C(1, 1)$, qui contient tous les couples $(m, m)$.
5. Opposé : pour chaque classe $C(a, b)$, la classe $C(b, a)$, que l’on obtient en réfléchissant les couples par rapport à la diagonale.
6. Élément neutre de la multiplication : la classe $C(2, 1)$.

Les quatre dernières sont de brefs calculs. Pour la distributivité, on développe les deux membres avec les définitions et l’on obtient le même couple :

Pour l’associativité de la multiplication, les deux façons de grouper $C(a, b) \cdot C(c, d) \cdot C(e, f)$ donnent, après distribution, le même couple de sommes de quatre termes :

Pour les éléments neutres et l’opposé, il suffit d’appliquer la règle de comparaison des classes : $C(a + 1, b + 1) = C(a, b)$, car $(a + 1) + b = (b + 1) + a$ ; le couple $(2a + b, a + 2b)$, qui définit $C(a, b) \cdot C(2, 1)$, est équivalent à $(a, b)$, car les deux membres de la condition valent $2a + 2b$ ; et $C(a, b) + C(b, a) = C(a + b, a + b)$, qui est la classe des couples à deux termes égaux.