Les nombres rationnels : les fractions et leurs opérations

Les fractions et leur équivalence

Dans la leçon sur les ensembles de nombres, les rationnels ont été présentés comme les fractions d’entiers de dénominateur non nul, et l’on a averti que la fraction ne peut pas être définie comme une division, car la division est précisément ce que les entiers ne permettent pas. Cette leçon mène à bien la construction qui y était annoncée. Son point de départ est l’ensemble des entiers de la leçon sur les entiers relatifs, avec leur somme, leur produit, leur ordre et une propriété qui servira constamment : le produit de deux entiers non nuls est non nul. Il s’ensuit qu’un facteur non nul peut être simplifié, car si $ab = ac$ avec $a \neq 0$, alors $a(b - c) = 0$, et par conséquent $b - c = 0$.

Définition (fraction). Une fraction est un couple $(p, q)$ d’entiers avec $q \neq 0$, que l’on écrit $\frac{p}{q}$ ; l’entier $p$ est son numérateur et $q$ son dénominateur. On dit que $\frac{p}{q}$ et $\frac{r}{s}$ sont des fractions équivalentes lorsque leurs produits en croix coïncident, c’est-à-dire lorsque $ps = qr$.

Ainsi, $\frac{2}{3}$ et $\frac{4}{6}$ sont équivalentes, car $2 \cdot 6 = 3 \cdot 4$, tandis que $\frac{2}{3}$ et $\frac{3}{4}$ ne le sont pas, car $2 \cdot 4 \neq 3 \cdot 3$. La définition n’est pas arbitraire. Si les fractions doivent être des quotients, l’égalité $\frac{p}{q} = \frac{r}{s}$ doit équivaloir, en multipliant les deux membres par $qs$, à l’égalité $ps = qr$ ; la définition prend pour point de départ cette conséquence, qui ne contient que des produits d’entiers et qui a donc un sens avant que la division n’existe. Or, pour que l’équivalence puisse tenir lieu d’égalité, elle doit se comporter comme elle : elle doit être une relation d’équivalence, au sens de la leçon sur les ensembles, les relations et les fonctions.

S’il en est ainsi, les résultats généraux de la leçon sur les ensembles, les relations et les fonctions valent pour l’équivalence des fractions, et il n’est pas nécessaire de les répéter : par le théorème sur les équivalences et les partitions, les classes de fractions équivalentes forment une partition de l’ensemble des fractions, de sorte que chaque fraction appartient à une seule classe et que deux classes distinctes n’ont aucune fraction en commun. Chaque classe est un nombre.

Définition (nombre rationnel). Un nombre rationnel est la classe d’équivalence d’une fraction, c’est-à-dire l’ensemble de toutes les fractions qui lui sont équivalentes, et n’importe laquelle d’entre elles le représente ; dans la notation de la leçon sur les ensembles, les relations et les fonctions, le rationnel représenté par $\frac{p}{q}$ est la classe $C\left( \frac{p}{q} \right)$, et on l’écrit ici simplement $\frac{p}{q}$. L’ensemble des nombres rationnels, qui est l’ensemble quotient des fractions par leur équivalence, est noté $\mathbb{Q}$. On écrit $\frac{p}{q} = \frac{r}{s}$ lorsque les deux fractions représentent le même rationnel, c’est-à-dire lorsqu’elles sont équivalentes, comme l’affirme le lemme sur les classes d’équivalence qui y est démontré.

Chaque entier $p$ est identifié au rationnel représenté par $\frac{p}{1}$. L’identification ne confond pas des entiers distincts, car $\frac{p}{1} = \frac{r}{1}$ équivaut à $p \cdot 1 = 1 \cdot r$, c’est-à-dire à $p = r$ ; en ce sens, $\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}$. On vérifiera plus loin que les opérations des rationnels, appliquées aux entiers, donnent les opérations habituelles. La règle pratique la plus employée pour changer de fraction sans changer de nombre est la suivante.