有理数：分数とその演算

分数とその同値

数の集合についての課では、有理数を分母が零でない整数の分数として紹介し、分数を割り算として定義することはできないと注意した。割り算こそ整数では許されない演算だからである。この課では、そこで予告した構成を実行する。出発点は整数についての課の整数であり、その加法、乗法、順序と、絶えず用いる一つの性質、すなわち零でない二つの整数の積は零でないという性質である。この性質から、零でない因数は消去できることがわかる。$ab = ac$ かつ $a \neq 0$ ならば $a(b - c) = 0$ であり、したがって $b - c = 0$ となるからである。

定義（分数）。分数とは、整数の順序対 $(p, q)$（ただし $q \neq 0$）のことであり、$\frac{p}{q}$ と書く。整数 $p$ をその分子、$q$ をその分母という。$\frac{p}{q}$ と $\frac{r}{s}$ は、たすき掛けの積が一致するとき、すなわち $ps = qr$ のとき、同値な分数であるという。

たとえば、$\frac{2}{3}$ と $\frac{4}{6}$ は同値である。$2 \cdot 6 = 3 \cdot 4$ だからである。一方、$\frac{2}{3}$ と $\frac{3}{4}$ は同値でない。$2 \cdot 4 \neq 3 \cdot 3$ だからである。この定義は恣意的なものではない。分数が商であるべきなら、等式 $\frac{p}{q} = \frac{r}{s}$ は、両辺に $qs$ を掛けることで、等式 $ps = qr$ と同値でなければならない。定義はこの帰結を出発点とする。それは整数の積だけを含むので、割り算が存在する前から意味をもつ。しかし、同値が等号の代わりを務めるためには、等号と同じようにふるまわなければならない。すなわち、集合・関係・関数についての課の意味での同値関係でなければならない。

そうであれば、分数の同値には集合・関係・関数についての課の一般的な結果があてはまり、それを繰り返す必要はない。同値関係と分割についての定理により、同値な分数の類は分数全体の集合の分割をなす。したがって、各分数はただ一つの類に属し、異なる二つの類には共通の分数が一つもない。各類が一つの数である。

定義（有理数）。有理数とは、ある分数の同値類、すなわちそれと同値なすべての分数の集合のことであり、そのうちのどれもがその有理数を表すという。集合・関係・関数についての課の記号では、$\frac{p}{q}$ が表す有理数は類 $C\left( \frac{p}{q} \right)$ であり、ここでは単に $\frac{p}{q}$ と書く。有理数全体の集合は、分数の集合をその同値で割った商集合であり、$\mathbb{Q}$ で表す。二つの分数が同じ有理数を表すとき、すなわち同値であるとき、$\frac{p}{q} = \frac{r}{s}$ と書く。これは、そこで証明した同値類についての補題が述べるとおりである。

各整数 $p$ を、$\frac{p}{1}$ が表す有理数と同一視する。この同一視は異なる整数を混同しない。$\frac{p}{1} = \frac{r}{1}$ は $p \cdot 1 = 1 \cdot r$ と同値であり、すなわち $p = r$ と同値だからである。この意味で $\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}$ である。有理数の演算を整数に適用すると通常の演算が得られることは、後で確かめる。数を変えずに分数を取りかえるためにもっともよく使う実用的な規則は、次のものである。