整数：構成・符号・順序

整数の構成

数の集合についての課では、整数を自然数、零、自然数の反数を合わせた集合として紹介し、その性質を述べた。しかし、性質を述べることはそれを証明することではない。負の数とは何かを言わないかぎり、符号の規則や、順序と乗法の両立性は取り決めであって定理ではない。この課では、ペアノの公理と自然数の演算だけを手段として整数を構成し、構成からそれらの規則をすべて導く。このコースの他の部分と同じく、自然数は $1$ から始まる。零はこの構成で初めて現れる。

考え方は次のとおりである。方程式 $x + b = a$ が自然数の解をもつのは $b < a$ のときに限り、その解は差 $a - b$ である。そうであるならば、負の数は、それを生じさせるはずの自然数の対 $(a, b)$ によって表される、まだ実行できない引き算と考えることができる。多くの対が同じ引き算を表す。例えば、$(5, 2)$、$(4, 1)$、$(9, 6)$ は $3$ を表し、$(2, 5)$ と $(1, 4)$ はまだ存在せず、やがて $-3$ となるものを表す。二つの対 $(a, b)$ と $(c, d)$ は、$a - b = c - d$ のとき同じ引き算を表す。この条件は存在しないかもしれない差を用いるが、両辺に $b + d$ を加えると、つねに意味をもつ自然数の間の等式になる。

定義（同値な対）。二つの自然数の対 $(a, b)$ と $(c, d)$ が同値であるとは（このとき $(a, b) \sim (c, d)$ と書く）、$a + d = b + c$ が成り立つことである。

自然数の対を点とする格子において、$a$ を横軸に、$b$ を縦軸にとると、対 $(a + 1, b + 1)$ は $(a, b)$ と同値である。$a + (b + 1) = b + (a + 1)$ だからである。したがって、与えられた対と同値な対は、対角線に平行な一本の直線の上に並び、その直線に沿って右へ一つ、上へ一つずつ進む。この関係を対の同一視に使うには、それが等号のようにふるまわなければならない。すなわち、どの対もそれ自身と同値であり、関係は対を挙げる順序によらず、第三の対と同値な二つの対は互いに同値である。言いかえれば、反射的、対称的、推移的でなければならない。これが集合・関係・関数についての課の意味での同値関係であり、その課の、整数を構成することになる関係についての例は、この構成を予告していた。

対の類としての整数

対の同値は同値関係であるから、集合・関係・関数についての課の一般的な結果がそのまま成り立ち、繰り返す必要はない。対 $(a, b)$ の類とは、$(a, b)$ と同値な自然数の対全体の集合である。その課の記法では $C((a, b))$ となるが、ここでは簡単に $C(a, b)$ と書く。類に属する各対を、その類の代表元という。格子の上では、類は対角線に平行な一本の直線上の点の集合である。そこで証明した同値類についての補題により、二つの対が同値であるのはそれらの類が等しいとき、かつそのときに限り、共通の対をもつ二つの類は一致する。さらに、同値関係と分割についての定理により、類は自然数の対全体の分割をなす。このことから、二つの類を比べる規則が得られる。

定義（整数）。整数とは自然数の対の類のことである。整数全体の集合を $\mathbb{Z}$ で表す。これは、自然数の対全体の、対の同値による商集合である。

この定義は奇妙に見えるかもしれない。一つの数が対の無限集合になってしまうからである。しかし、分数ではすでに同じことが起きている。$\frac{1}{2}$ と $\frac{2}{4}$ は同じ数の異なる表し方であり、定義されるのはそれらすべてに共通するものである。類 $C(5, 2)$ が $3$ となり、類 $C(2, 5)$ が $-3$ となり、類 $C(1, 1)$ が $0$ となる。これらの名前を使う前に、演算を定義し、自然数が実際に整数の中に含まれていることを確かめなければならない。

類の和と積

演算は、差が存在したとしたら起こるはずのことをまねて定義する。$(a, b)$ が $a - b$ を表し、$(c, d)$ が $c - d$ を表すならば、二つの差の和は $(a + c) - (b + d)$ となり、積は展開すると $(ac + bd) - (ad + bc)$ となるはずである。この計算は証明ではない。まだ存在しない差を用いているからである。これは定義を選ぶのに役立つものであり、定義には自然数の和と積だけが現れる。

定義は代表元を用いて計算するが、一つの類には代表元が無限にある。代表元を取りかえると結果が変わるのなら、この定義は何も定義していないことになる。同じ演算に対していくつもの値を与えてしまうからである。したがって、結果が類だけによることを証明しなければならない。このとき、演算は矛盾なく定義されるという。

加法と乗法の性質

演算が矛盾なく定義されたので、整数の各性質は代表元を用いた計算で証明でき、それぞれがそれを支える自然数の性質を受け継ぐ。すべての整数 $x$、$y$、$z$ について、次の性質が成り立つ。

1. 加法の交換法則と結合法則。自然数のそれぞれの法則から成分ごとに受け継がれる。
2. 乗法の交換法則。前の証明のステップ 5 と同じように、自然数の加法と乗法の交換法則から受け継がれる。
3. 乗法の結合法則と分配法則。自然数の結合法則、交換法則、分配法則から受け継がれる。
4. 加法の単位元：類 $C(1, 1)$。これはすべての対 $(m, m)$ を含む。
5. 反数：各類 $C(a, b)$ に対して類 $C(b, a)$。これは対を対角線に関して折り返して得られる。
6. 乗法の単位元：類 $C(2, 1)$。

後の四つは短い計算である。分配法則については、両辺を定義によって展開すると同じ対が得られる。

乗法の結合法則については、$C(a, b) \cdot C(c, d) \cdot C(e, f)$ の二通りのまとめ方が、分配した後に、四つの項の和からなる同じ対を与える。

単位元と反数については、類を比べる規則を適用すればよい。$C(a + 1, b + 1) = C(a, b)$ である。$(a + 1) + b = (b + 1) + a$ だからである。対 $(2a + b, a + 2b)$ は $C(a, b) \cdot C(2, 1)$ を定めるが、これは $(a, b)$ と同値である。条件の両辺がともに $2a + 2b$ に等しいからである。そして $C(a, b) + C(b, a) = C(a + b, a + b)$ であり、これは二つの成分が等しい対の類である。