정수: 구성, 부호, 순서

정수의 구성

수 집합에 관한 수업에서는 정수를 자연수, 영, 자연수의 덧셈의 역원을 모은 집합으로 소개하고 그 성질을 진술하였다. 그러나 성질을 진술하는 것은 그것을 증명하는 것이 아니다. 음수가 무엇인지 말하지 않는 한, 부호 규칙이나 순서와 곱셈의 양립성은 약속일 뿐 정리가 아니다. 이 수업에서는 페아노 공리와 자연수의 연산만을 수단으로 정수를 구성하고, 그 구성으로부터 이 모든 규칙을 이끌어 낸다. 이 강좌의 나머지 부분과 마찬가지로 자연수는 $1$부터 시작한다. 영은 이 구성에서 처음으로 나타난다.

생각은 다음과 같다. 방정식 $x + b = a$은 $b < a$일 때에만 자연수 해를 가지며, 그 해는 차 $a - b$이다. 그렇다면 음수는 그것을 만들어 낼 자연수의 순서쌍 $(a, b)$로 기술되는, 아직 실행할 수 없는 뺄셈으로 생각할 수 있다. 많은 순서쌍이 같은 뺄셈을 기술한다. 예를 들어 $(5, 2)$, $(4, 1)$, $(9, 6)$은 $3$을 기술하고, $(2, 5)$와 $(1, 4)$는 아직 존재하지 않으며 앞으로 $-3$이 될 것을 기술한다. 두 순서쌍 $(a, b)$와 $(c, d)$는 $a - b = c - d$일 때 같은 뺄셈을 기술한다. 이 조건은 존재하지 않을 수도 있는 차를 쓰지만, 양변에 $b + d$를 더하면 언제나 의미가 있는 자연수 사이의 등식이 된다.

정의 (동치인 순서쌍). 자연수의 두 순서쌍 $(a, b)$와 $(c, d)$가 동치라는 것은(이때 $(a, b) \sim (c, d)$이라고 쓴다) $a + d = b + c$가 성립한다는 것이다.

자연수의 순서쌍을 점으로 하는 격자에서 $a$를 가로축에, $b$를 세로축에 두면, 순서쌍 $(a + 1, b + 1)$은 $(a, b)$와 동치이다. $a + (b + 1) = b + (a + 1)$이기 때문이다. 따라서 주어진 순서쌍과 동치인 순서쌍들은 대각선에 평행한 한 직선 위에 늘어서며, 그 직선을 따라 오른쪽으로 하나, 위로 하나씩 나아간다. 이 관계를 순서쌍을 같은 것으로 보는 데 쓰려면, 이 관계가 등호처럼 행동해야 한다. 즉 모든 순서쌍은 자기 자신과 동치이고, 관계는 순서쌍을 부르는 순서에 의존하지 않으며, 셋째 순서쌍과 동치인 두 순서쌍은 서로 동치이다. 다시 말해 반사적, 대칭적, 추이적이어야 한다. 이것이 집합, 관계, 함수에 관한 수업의 의미에서의 동치 관계이며, 그 수업에서 정수를 구성하게 될 관계에 대한 예는 이 구성을 미리 보여 주었다.

순서쌍의 동치류로서의 정수

순서쌍의 동치는 동치 관계이므로, 집합, 관계, 함수에 관한 수업의 일반적인 결과가 그대로 성립하며, 이를 되풀이할 필요는 없다. 순서쌍 $(a, b)$의 동치류는 $(a, b)$와 동치인 자연수 순서쌍 전체의 집합이다. 그 수업의 기호로는 $C((a, b))$가 되겠지만, 여기서는 간단히 $C(a, b)$로 쓴다. 동치류에 속하는 각 순서쌍을 그 동치류의 대표원이라 한다. 격자에서 동치류는 대각선에 평행한 한 직선 위의 점들의 집합이다. 그 수업에서 증명한 동치류에 관한 보조정리에 의해, 두 순서쌍이 동치일 필요충분조건은 그 동치류가 같다는 것이고, 공통인 순서쌍을 갖는 두 동치류는 일치한다. 또 동치 관계와 분할에 관한 정리에 의해, 동치류들은 자연수 순서쌍 전체의 분할을 이룬다. 이로부터 두 동치류를 비교하는 규칙이 나온다.

정의 (정수). 정수란 자연수 순서쌍의 동치류이다. 정수 전체의 집합을 $\mathbb{Z}$로 나타낸다. 이것은 자연수 순서쌍 전체를 순서쌍의 동치로 나눈 몫집합이다.

이 정의는 이상하게 보일 수 있다. 하나의 수가 순서쌍들의 무한집합이 되기 때문이다. 그러나 분수에서 이미 같은 일이 일어난다. $\frac{1}{2}$와 $\frac{2}{4}$는 같은 수의 서로 다른 표기이며, 정의되는 것은 그 모든 표기에 공통인 것이다. 동치류 $C(5, 2)$는 $3$이 되고, 동치류 $C(2, 5)$는 $-3$이 되며, 동치류 $C(1, 1)$은 $0$이 된다. 이 이름들을 쓰기 전에, 연산을 정의하고 자연수가 실제로 정수 안에 들어 있음을 확인해야 한다.

동치류의 합과 곱

연산은 차가 존재한다면 일어날 일을 흉내 내어 정의한다. $(a, b)$가 $a - b$를 나타내고 $(c, d)$가 $c - d$를 나타낸다면, 두 차의 합은 $(a + c) - (b + d)$가 되고, 곱은 전개하면 $(ac + bd) - (ad + bc)$가 될 것이다. 이 계산은 증명이 아니다. 아직 존재하지 않는 차를 쓰기 때문이다. 이는 정의를 고르는 데 쓰이며, 정의에는 자연수의 합과 곱만 나타난다.

정의는 대표원으로 계산하는데, 한 동치류에는 대표원이 무한히 많다. 대표원을 바꾸었을 때 결과가 바뀐다면 정의는 아무것도 정의하지 못한다. 같은 연산에 여러 값을 주게 되기 때문이다. 따라서 결과가 동치류에만 의존함을 증명해야 한다. 이때 연산이 잘 정의된다고 한다.

덧셈과 곱셈의 성질

연산이 잘 정의되었으므로, 정수의 각 성질은 대표원으로 계산하여 증명되며, 각 성질은 그것을 뒷받침하는 자연수의 성질을 물려받는다. 모든 정수 $x$, $y$, $z$에 대하여 다음 성질이 성립한다.

1. 덧셈의 교환법칙과 결합법칙. 자연수의 해당 법칙으로부터 성분별로 물려받는다.
2. 곱셈의 교환법칙. 앞의 증명의 5단계에서처럼 자연수의 덧셈과 곱셈의 교환법칙으로부터 물려받는다.
3. 곱셈의 결합법칙과 분배법칙. 자연수의 결합법칙, 교환법칙, 분배법칙으로부터 물려받는다.
4. 덧셈의 항등원: 동치류 $C(1, 1)$. 이것은 모든 순서쌍 $(m, m)$을 포함한다.
5. 덧셈의 역원: 각 동치류 $C(a, b)$에 대하여 동치류 $C(b, a)$. 이것은 순서쌍들을 대각선에 대하여 대칭이동하여 얻는다.
6. 곱셈의 항등원: 동치류 $C(2, 1)$.

뒤의 네 성질은 짧은 계산이다. 분배법칙은 양변을 정의에 따라 전개하면 같은 순서쌍이 얻어진다.

곱셈의 결합법칙은 $C(a, b) \cdot C(c, d) \cdot C(e, f)$를 묶는 두 방법이 분배한 뒤 네 항의 합으로 이루어진 같은 순서쌍을 준다.

항등원과 역원은 동치류를 비교하는 규칙을 적용하면 충분하다. $C(a + 1, b + 1) = C(a, b)$이다. $(a + 1) + b = (b + 1) + a$이기 때문이다. 순서쌍 $(2a + b, a + 2b)$는 $C(a, b) \cdot C(2, 1)$을 정하는데, 이것은 $(a, b)$와 동치이다. 조건의 양변이 모두 $2a + 2b$와 같기 때문이다. 그리고 $C(a, b) + C(b, a) = C(a + b, a + b)$이며, 이것은 두 성분이 같은 순서쌍들의 동치류이다.