Целые числа: построение, знаки и порядок

Построение целых чисел

В уроке о числовых множествах целые числа были представлены как множество, объединяющее натуральные числа, нуль и числа, противоположные натуральным, и были сформулированы их свойства. Однако сформулировать эти свойства не значит их доказать: пока не сказано, что такое отрицательное число, правило знаков или согласованность порядка с умножением остаются соглашениями, а не теоремами. В этом уроке целые числа строятся только средствами аксиом Пеано и операций с натуральными числами, и все эти правила выводятся из построения. Как и во всём курсе, натуральные числа начинаются с $1$; нуль впервые появляется в этом построении.

Идея состоит в следующем. Уравнение $x + b = a$ имеет натуральное решение только тогда, когда $b < a$, и это решение есть разность $a - b$. Если это так, то отрицательное число можно мыслить как невыполненное вычитание, описываемое парой натуральных чисел $(a, b)$, которая его порождала бы. Одно и то же вычитание описывают многие пары; например, $(5, 2)$, $(4, 1)$ и $(9, 6)$ описывают $3$, а $(2, 5)$ и $(1, 4)$ описывают то, что ещё не существует и будет числом $-3$. Две пары $(a, b)$ и $(c, d)$ описывают одно и то же вычитание, когда $a - b = c - d$; это условие использует разности, которые могут не существовать, но если прибавить $b + d$ к обеим частям, оно превращается в равенство натуральных чисел, которое всегда имеет смысл:

Определение (эквивалентные пары). Две пары натуральных чисел $(a, b)$ и $(c, d)$ называются эквивалентными, и пишут $(a, b) \sim (c, d)$, если $a + d = b + c$.

На сетке, точки которой суть пары натуральных чисел, с $a$ на горизонтальной оси и $b$ на вертикальной, пара $(a + 1, b + 1)$ эквивалентна паре $(a, b)$, поскольку $a + (b + 1) = b + (a + 1)$; следовательно, пары, эквивалентные данной, выстраиваются на прямой, параллельной диагонали, вдоль которой продвигаются на единицу вправо и на единицу вверх. Чтобы это отношение годилось для отождествления пар, оно должно вести себя как равенство: всякая пара эквивалентна самой себе, отношение не зависит от порядка, в котором названы пары, и две пары, эквивалентные третьей, эквивалентны между собой. Иначе говоря, оно должно быть рефлексивным, симметричным и транзитивным, то есть отношением эквивалентности в смысле урока о множествах, отношениях и функциях, чей пример об отношении, из которого будут построены целые числа, предвосхищал это построение.

Целые числа как классы пар

Поскольку эквивалентность пар является отношением эквивалентности, для неё справедливы общие результаты урока о множествах, отношениях и функциях, которые нет нужды повторять. Класс пары $(a, b)$ есть множество всех пар натуральных чисел, эквивалентных $(a, b)$; в обозначениях того урока это было бы $C((a, b))$, а здесь пишется короче: $C(a, b)$. Каждая пара класса называется его представителем. На сетке класс есть множество точек прямой, параллельной диагонали. По доказанной там лемме о классах эквивалентности две пары эквивалентны тогда и только тогда, когда их классы равны, и два класса с какой-либо общей парой совпадают; а по теореме об эквивалентностях и разбиениях классы образуют разбиение множества пар натуральных чисел. Отсюда следует правило, по которому сравниваются два класса:

Определение (целые числа). Целое число есть класс пар натуральных чисел. Множество целых чисел обозначается $\mathbb{Z}$; оно есть фактормножество множества пар натуральных чисел по эквивалентности пар.

Определение может показаться странным, ведь число оказывается бесконечным множеством пар. Но так уже обстоит дело с дробями: $\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{4}$ суть разные записи одного и того же числа, и определяется то, что у всех них общего. Класс $C(5, 2)$ будет числом $3$; класс $C(2, 5)$ будет числом $-3$; класс $C(1, 1)$ будет числом $0$. Прежде чем пользоваться этими именами, нужно определить операции и проверить, что натуральные числа действительно находятся внутри целых.

Сумма и произведение классов

Операции определяются в подражание тому, что происходило бы, если бы разности существовали. Если $(a, b)$ представляет $a - b$, а $(c, d)$ представляет $c - d$, то сумма обеих разностей была бы равна $(a + c) - (b + d)$, а их произведение после раскрытия скобок $(ac + bd) - (ad + bc)$. Это вычисление не является доказательством, потому что использует разности, которых ещё нет; оно служит для выбора определений, в которых участвуют только суммы и произведения натуральных чисел:

Определение вычисляет через представителей, а у одного класса их бесконечно много. Если бы при смене представителя менялся результат, определение ничего бы не определяло: оно давало бы несколько значений для одной и той же операции. Следовательно, нужно доказать, что результат зависит только от классов; тогда говорят, что операция определена корректно.

Свойства сложения и умножения

Когда операции определены корректно, каждое свойство целых чисел доказывается вычислением через представителей, и каждое наследует то свойство натуральных чисел, на которое опирается. Для всех целых чисел $x$, $y$ и $z$ выполняются следующие свойства:

1. Коммутативность и ассоциативность сложения, унаследованные покомпонентно от соответствующих свойств натуральных чисел.
2. Коммутативность умножения, унаследованная от коммутативности сложения и умножения натуральных чисел, как на шаге 5 предыдущего доказательства.
3. Ассоциативность умножения и дистрибутивность, унаследованные от ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности натуральных чисел.
4. Нейтральный элемент по сложению: класс $C(1, 1)$, содержащий все пары $(m, m)$.
5. Противоположное число: для каждого класса $C(a, b)$ класс $C(b, a)$, который получается отражением пар относительно диагонали.
6. Нейтральный элемент по умножению: класс $C(2, 1)$.

Четыре последних свойства проверяются короткими вычислениями. Для дистрибутивности обе части раскрываются по определениям, и получается одна и та же пара:

Для ассоциативности умножения оба способа расставить скобки в $C(a, b) \cdot C(c, d) \cdot C(e, f)$ дают после раскрытия скобок одну и ту же пару сумм из четырёх слагаемых:

Для нейтральных элементов и противоположного числа достаточно применить правило сравнения классов: $C(a + 1, b + 1) = C(a, b)$, поскольку $(a + 1) + b = (b + 1) + a$; пара $(2a + b, a + 2b)$, задающая $C(a, b) \cdot C(2, 1)$, эквивалентна $(a, b)$, поскольку обе части условия равны $2a + 2b$; и $C(a, b) + C(b, a) = C(a + b, a + b)$, а это класс пар с двумя равными компонентами.