Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Числовые множества: от натуральных чисел к комплексным

Краткое содержание

Этот урок показывает, как, исходя из натуральных чисел, последовательно строятся целые, рациональные, действительные и комплексные числа. Каждое расширение возникает для того, чтобы обратная операция (вычитание, деление, извлечение корня) была определена без ограничений, и сохраняет свойства предыдущего множества. Напоминается, почему 2\sqrt{2} не является рациональным числом, доказывается, что рациональные числа не полны, формулируются аксиомы, принимаемые для действительных чисел (аксиомы поля, аксиомы порядка и аксиома полноты), и объясняется, почему действительные числа требуют, помимо корней, полноты.

Цели обучения

  1. Определять, какая обратная операция побуждает к каждому расширению, от натуральных чисел до комплексных.
  2. Точно формулировать свойства сложения и умножения в каждом числовом множестве, а также аксиомы полного упорядоченного поля, принимаемые для действительных чисел.
  3. Применять свойства степеней с целым показателем и определение арифметического корня.
  4. Доказывать от противного, что корень не является рациональным числом.
  5. Различать рациональные, иррациональные, действительные и комплексные числа.

Обратные операции как движущая сила расширения

Натуральные числа, определённые в уроке об аксиомах Пеано, позволяют складывать и умножать без каких-либо ограничений: сумма и произведение двух натуральных чисел всегда натуральны. С обратными операциями дело обстоит иначе. Каждое из следующих уравнений записано натуральными числами, и тем не менее ни одно из них не имеет среди них решения:

x+5=3,3x=2,x2=2,x2=−1x + 5 = 3, \qquad 3x = 2, \qquad x^2 = 2, \qquad x^2 = -1

Первое требует вычитания, которого натуральные числа не допускают; второе требует деления; третье требует извлечения корня; четвёртое требует корня из отрицательного числа. Чтобы их решить, множество натуральных чисел расширяют в четыре этапа, каждый из которых содержит предыдущий:

N⊂Z⊂Q⊂R⊂C\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

Все расширения подчиняются одному и тому же принципу, который направляет весь дальнейший урок:

Каждое новое числовое множество сохраняет операции и свойства предыдущего и добавляет элементы, необходимые для того, чтобы обратная операция, прежде ограниченная, стала определённой.