유리수: 분수와 그 연산

분수와 그 동치

수 집합에 관한 수업에서는 유리수를 분모가 0이 아닌 정수의 분수로 소개하고, 분수를 나눗셈으로 정의할 수는 없다고 지적하였다. 나눗셈이야말로 정수가 허용하지 않는 연산이기 때문이다. 이 수업에서는 거기서 예고한 구성을 실행한다. 출발점은 정수에 관한 수업의 정수이며, 그 덧셈, 곱셈, 순서와, 끊임없이 쓰일 한 가지 성질, 곧 0이 아닌 두 정수의 곱은 0이 아니라는 성질이다. 이로부터 0이 아닌 인수는 소거할 수 있다. $ab = ac$이고 $a \neq 0$이면 $a(b - c) = 0$이고, 따라서 $b - c = 0$이기 때문이다.

정의 (분수). 분수란 정수의 순서쌍 $(p, q)$(단, $q \neq 0$)을 말하며, $\frac{p}{q}$로 쓴다. 정수 $p$를 그 분자, $q$를 그 분모라고 한다. $\frac{p}{q}$와 $\frac{r}{s}$는 엇갈려 곱한 곱이 일치할 때, 곧 $ps = qr$일 때 동치인 분수라고 한다.

예를 들어 $\frac{2}{3}$과 $\frac{4}{6}$은 동치이다. $2 \cdot 6 = 3 \cdot 4$이기 때문이다. 반면 $\frac{2}{3}$과 $\frac{3}{4}$는 동치가 아니다. $2 \cdot 4 \neq 3 \cdot 3$이기 때문이다. 이 정의는 자의적이지 않다. 분수가 몫이어야 한다면, 등식 $\frac{p}{q} = \frac{r}{s}$은 양변에 $qs$를 곱함으로써 등식 $ps = qr$와 동치여야 한다. 정의는 이 결론을 출발점으로 삼는다. 이 결론에는 정수의 곱만 들어 있으므로 나눗셈이 존재하기 전부터 의미를 가진다. 그러나 동치가 등식의 역할을 하려면 등식처럼 행동해야 한다. 곧 집합, 관계, 함수에 관한 수업에서 말하는 뜻의 동치 관계여야 한다.

그렇다면 분수의 동치에는 집합, 관계, 함수에 관한 수업의 일반적인 결과가 적용되며, 이를 되풀이할 필요는 없다. 동치 관계와 분할에 관한 정리에 의하여, 동치인 분수들의 동치류는 분수 전체 집합의 분할을 이룬다. 따라서 각 분수는 오직 하나의 동치류에 속하고, 서로 다른 두 동치류에는 공통인 분수가 하나도 없다. 각 동치류가 하나의 수이다.

정의 (유리수). 유리수란 어떤 분수의 동치류, 곧 그 분수와 동치인 모든 분수의 집합을 말하며, 그 가운데 어느 분수든 그 유리수를 나타낸다고 한다. 집합, 관계, 함수에 관한 수업의 기호로는 $\frac{p}{q}$가 나타내는 유리수는 동치류 $C\left( \frac{p}{q} \right)$이고, 여기서는 간단히 $\frac{p}{q}$로 쓴다. 유리수 전체의 집합은 분수들을 그 동치로 나눈 몫집합이며, $\mathbb{Q}$로 나타낸다. 두 분수가 같은 유리수를 나타낼 때, 곧 동치일 때 $\frac{p}{q} = \frac{r}{s}$로 쓴다. 이는 거기서 증명한 동치류에 관한 보조정리가 말하는 바와 같다.

각 정수 $p$를 $\frac{p}{1}$이 나타내는 유리수와 동일시한다. 이 동일시는 서로 다른 정수를 혼동하지 않는다. $\frac{p}{1} = \frac{r}{1}$은 $p \cdot 1 = 1 \cdot r$와 동치이고, 곧 $p = r$와 동치이기 때문이다. 이런 뜻에서 $\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}$이다. 유리수의 연산을 정수에 적용하면 평소의 연산이 나온다는 것은 뒤에서 확인한다. 수를 바꾸지 않고 분수를 바꾸는 데 가장 많이 쓰는 실용적인 규칙은 다음과 같다.