Die rationalen Zahlen: Brüche und ihre Rechenoperationen

Die Brüche und ihre Äquivalenz

In der Lektion über die Zahlbereiche wurden die rationalen Zahlen als Brüche ganzer Zahlen mit von null verschiedenem Nenner vorgestellt, und es wurde darauf hingewiesen, dass der Bruch nicht als Division definiert werden kann, weil gerade die Division das ist, was die ganzen Zahlen nicht erlauben. Diese Lektion führt die dort angekündigte Konstruktion durch. Ihr Ausgangspunkt sind die ganzen Zahlen aus der Lektion über die ganzen Zahlen, mit ihrer Summe, ihrem Produkt, ihrer Ordnung und einer Eigenschaft, die ständig gebraucht wird: Das Produkt zweier von null verschiedener ganzer Zahlen ist ungleich null. Daraus folgt, dass ein von null verschiedener Faktor gekürzt werden kann, denn gilt $ab = ac$ mit $a \neq 0$, so folgt $a(b - c) = 0$ und daher $b - c = 0$.

Definition (Bruch). Ein Bruch ist ein geordnetes Paar $(p, q)$ ganzer Zahlen mit $q \neq 0$, das man $\frac{p}{q}$ schreibt; die ganze Zahl $p$ ist sein Zähler und $q$ sein Nenner. Die Brüche $\frac{p}{q}$ und $\frac{r}{s}$ heißen äquivalent, wenn ihre Überkreuzprodukte übereinstimmen, das heißt, wenn $ps = qr$.

So sind $\frac{2}{3}$ und $\frac{4}{6}$ äquivalent, denn $2 \cdot 6 = 3 \cdot 4$, während $\frac{2}{3}$ und $\frac{3}{4}$ es nicht sind, denn $2 \cdot 4 \neq 3 \cdot 3$. Die Definition ist nicht willkürlich. Wenn Brüche Quotienten sein sollen, muss die Gleichung $\frac{p}{q} = \frac{r}{s}$, nach Multiplikation beider Seiten mit $qs$, gleichwertig mit der Gleichung $ps = qr$ sein; die Definition nimmt diese Folgerung zum Ausgangspunkt, die nur Produkte ganzer Zahlen enthält und daher schon sinnvoll ist, bevor es die Division gibt. Damit aber die Äquivalenz die Rolle einer Gleichheit übernehmen kann, muss sie sich wie eine solche verhalten: Sie muss eine Äquivalenzrelation sein, im Sinne der Lektion über Mengen, Relationen und Funktionen.

Wenn dem so ist, gelten für die Äquivalenz von Brüchen die allgemeinen Ergebnisse der Lektion über Mengen, Relationen und Funktionen, die nicht wiederholt werden müssen: Nach dem Satz über Äquivalenzen und Partitionen bilden die Klassen äquivalenter Brüche eine Partition der Menge der Brüche, sodass jeder Bruch genau einer Klasse angehört und zwei verschiedene Klassen keinen Bruch gemeinsam haben. Jede Klasse ist eine Zahl.

Definition (rationale Zahl). Eine rationale Zahl ist die Äquivalenzklasse eines Bruchs, das heißt die Menge aller zu ihm äquivalenten Brüche, und jeder von ihnen stellt sie dar; in der Schreibweise der Lektion über Mengen, Relationen und Funktionen ist die durch $\frac{p}{q}$ dargestellte rationale Zahl die Klasse $C\left( \frac{p}{q} \right)$, und hier schreibt man einfach $\frac{p}{q}$. Die Menge der rationalen Zahlen, die die Quotientenmenge der Brüche nach ihrer Äquivalenz ist, wird mit $\mathbb{Q}$ bezeichnet. Man schreibt $\frac{p}{q} = \frac{r}{s}$, wenn beide Brüche dieselbe rationale Zahl darstellen, das heißt, wenn sie äquivalent sind, wie es das dort bewiesene Lemma über die Äquivalenzklassen besagt.

Jede ganze Zahl $p$ wird mit der durch $\frac{p}{1}$ dargestellten rationalen Zahl identifiziert. Die Identifizierung vermengt keine verschiedenen ganzen Zahlen, denn $\frac{p}{1} = \frac{r}{1}$ ist gleichwertig mit $p \cdot 1 = 1 \cdot r$, also mit $p = r$; in diesem Sinne gilt $\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}$. Später wird nachgeprüft, dass die Rechenoperationen der rationalen Zahlen, auf ganze Zahlen angewandt, die gewohnten ergeben. Die meistgebrauchte praktische Regel, um den Bruch zu wechseln, ohne die Zahl zu wechseln, lautet folgendermaßen.