Zum Inhalt springen
Topos Uranos
Deutsch

Die Dezimaldarstellung der rationalen Zahlen

Zusammenfassung

Diese Lektion untersucht die Dezimalschreibweise der rationalen Zahlen. Sie zeigt, dass die Ziffern eines Quotienten aus den Resten der schriftlichen Division entstehen, definiert den Wert einer unendlichen Dezimaldarstellung mithilfe von Intervallschachtelungen und der archimedischen Eigenschaft und beweist die drei Sätze, die sie charakterisieren: Ein gekürzter Bruch hat genau dann eine abbrechende Darstellung, wenn sein Nenner keine anderen Primfaktoren als 22 und 55 hat; die Darstellung jeder rationalen Zahl ist abbrechend oder periodisch, mit einer Periode, deren Länge kleiner als der Nenner ist; und umgekehrt stellt jede periodische Darstellung eine rationale Zahl dar, deren erzeugender Bruch sich aus der Summe einer geometrischen Folge ergibt. Daraus folgen die Gleichheit von 0,999… und 11, die Charakterisierung der irrationalen Zahlen durch ihre nichtperiodischen Darstellungen und schließlich die wissenschaftliche Schreibweise, die signifikanten Stellen und die Schranke für den Fehler, den das Runden begeht.

Lernziele

  1. Die Dezimaldarstellung eines Bruchs mit der schriftlichen Division gewinnen und mit den Resten begründen, warum jede Ziffer zwischen 00 und 99 liegt und warum die Darstellung den Bruch annähert.
  2. Anhand der Zerlegung des Nenners entscheiden, ob ein Bruch eine abbrechende oder eine periodische Darstellung hat, und die Länge seiner Periode abschätzen.
  3. Den erzeugenden Bruch einer periodischen Darstellung bestimmen und Gleichheiten wie die von 0,999… mit 11 streng begründen.
  4. Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise schreiben, sie auf eine gegebene Anzahl signifikanter Stellen runden und die dabei begangenen absoluten und relativen Fehler abschätzen.

Die schriftliche Division und die Dezimalstellen

In der Lektion über die rationalen Zahlen wurden die Brüche und ihre Rechenoperationen untersucht; in der Lektion über Stellenwertsysteme die Schreibweise der natürlichen Zahlen mit Ziffern. Die Dezimaldarstellung vereint beides: Sie setzt die Stellenwertschreibweise rechts vom Komma fort, mit negativen Potenzen von 1010. So ist die Zahl, die man 0,375 schreibt, nach Definition eine Summe von Zehnteln, Hundertsteln und Tausendsteln:

310+7102+5103=375103=38\frac{3}{10} + \frac{7}{10^2} + \frac{5}{10^3} = \frac{375}{10^3} = \frac{3}{8}

Allgemein besteht eine abbrechende Dezimaldarstellung aus einem ganzzahligen Anteil NN und aus endlich vielen Ziffern c1,c2,…,cnc_1, c_2, \ldots, c_n, jede zwischen 00 und 99, und sie stellt die folgende Zahl dar:

N+c110+c2102+⋯+cn10n=N+∑k=1nck10kN + \frac{c_1}{10} + \frac{c_2}{10^2} + \cdots + \frac{c_n}{10^n} = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k}

Da das Vorzeichen einer rationalen Zahl gesondert geschrieben wird, genügt es, die positiven rationalen Zahlen zu untersuchen. Um die Darstellung eines Bruchs pq\frac{p}{q} natürlicher Zahlen zu finden, verwendet man die schriftliche Division, die nichts anderes ist als die wiederholte Division mit Rest: Zuerst wird pp durch qq geteilt, was den ganzzahligen Anteil NN und einen Rest r0r_0 ergibt; danach wird in jedem Schritt mit 1010 der letzte Rest multipliziert und das Ergebnis durch qq geteilt. Der Quotient dieser Division ist die nächste Ziffer, und ihr Rest speist den Schritt, der darauf folgt:

p=qN+r0,10rk−1=qck+rk,0≤rk<qp = qN + r_0, \qquad 10 r_{k - 1} = q c_k + r_k, \qquad 0 \le r_k < q
BeispielDie schriftliche Division von 3 durch 7

Wir berechnen die Ziffern von 37\frac{3}{7}. In jedem Schritt werden der Dividend, der das Zehnfache des vorigen Restes ist, die erhaltene Ziffer und der neue Rest notiert. Die Abbildung zeigt die Treppe der Divisionen und darüber die Ziffern, die sich ansammeln.

Beweis

  1. 10⋅3=30=7⋅4+210 \cdot \dato{r0}{3} = 30 = 7 \cdot \resaltar{4} + \resaltar{2}

    Wegen 3<73 < 7 ist der ganzzahlige Anteil 00, und der erste Rest ist der Zähler selbst, r0=3r_0 = 3. Wir multiplizieren den Rest mit 1010 und teilen durch 77: Die Zehntelziffer ist 44.

  2. 10⋅2=20=7⋅2+610 \cdot 2 = 20 = 7 \cdot \resaltar{2} + \resaltar{6}

    Mit dem Rest 22 erhält man die Hundertstelziffer.

  3. 10⋅6=60=7⋅8+410 \cdot 6 = 60 = 7 \cdot \resaltar{8} + \resaltar{4}

    Mit dem Rest 66 die Tausendstelziffer.

  4. 10⋅4=40=7⋅5+510 \cdot 4 = 40 = 7 \cdot \resaltar{5} + \resaltar{5}

    Mit dem Rest 44 die vierte Ziffer.

  5. 10⋅5=50=7⋅7+110 \cdot 5 = 50 = 7 \cdot \resaltar{7} + \resaltar{1}

    Mit dem Rest 55 die fünfte.

  6. 10⋅1=10=7⋅1+310 \cdot 1 = 10 = 7 \cdot \resaltar{1} + \resaltar{3}

    Mit dem Rest 11 die sechste; und der neue Rest ist 33, derselbe, mit dem wir begonnen haben.

  7. 37=428571106+1106⋅37\frac{3}{7} = \frac{428571}{10^6} + \frac{1}{10^6} \cdot \resaltar{\frac{3}{7}}

    Von hier an wiederholt sich die Division Schritt für Schritt: Was noch zu teilen bleibt, nämlich 37\frac{3}{7} multipliziert mit 1106\frac{1}{10^6}, ist derselbe Quotient, um sechs Stellen verschoben. Die Ziffern bilden einen Block, der sich endlos wiederholt.

Die Darstellung von 37\frac{3}{7} ist also 0,428571428571…, mit der Periode 428571. Das Beispiel enthält die ganze Lektion im Keim: Die Ziffern entstehen aus den Resten, die Reste sind kleiner als der Divisor, und sobald sich einer wiederholt, wiederholt sich alles, was folgt. Als Erstes ist sicherzustellen, dass die so gewonnenen Ziffern echte Ziffern sind und dass sie den Bruch beliebig genau annähern.

LemmaDie Ziffern der schriftlichen Division

Seien pp und qq natürliche Zahlen, und seien NN, r0r_0 und, für jede natürliche Zahl kk, ckc_k und rkr_k die Zahlen, die die schriftliche Division von pp durch qq liefert. Dann ist jedes ckc_k eine Ziffer, zwischen 00 und 99, und für jede natürliche Zahl nn gilt die folgende Gleichung, in der der letzte Summand nichtnegativ und kleiner als 110n\frac{1}{10^n} ist.

pq=N+∑k=1nck10k+rnq⋅10n\frac{p}{q} = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k} + \frac{r_n}{q \cdot 10^n}

Der Beweis wird durch Induktion über nn geführt. Die Abbildung begleitet das Argument mit 37\frac{3}{7}: Jede neue Ziffer wählt eines der zehn Teilstücke des vorigen Intervalls, das vergrößert wird, damit man es sieht.

Beweis

  1. qck≤10rk−1<10q→0≤ck≤9q c_k \le 10 r_{k - 1} < 10q \rightarrow 0 \le c_k \le 9

    Jedes ckc_k ist eine Ziffer: Da der vorige Rest kleiner als qq ist, ist der Dividend 10rk−110 r_{k - 1} kleiner als 10q10q, und der Quotient ist kleiner als 1010.

  2. pq=N+r0q\dato{base}{\frac{p}{q} = N + \frac{r_0}{q}}

    Für n=0n = 0, ohne Ziffern, ist die Gleichung die erste Division mit Rest, geteilt durch qq.

  3. rnq⋅10n=10rnq⋅10n+1=qcn+1+rn+1q⋅10n+1=cn+110n+1+rn+1q⋅10n+1\dato{paso}{\frac{r_n}{q \cdot 10^n} = \frac{\resaltar{10 r_n}}{q \cdot 10^{n + 1}} = \frac{\resaltar{q c_{n + 1} + r_{n + 1}}}{q \cdot 10^{n + 1}} = \frac{c_{n + 1}}{10^{n + 1}} + \frac{r_{n + 1}}{q \cdot 10^{n + 1}}}

    Induktionsschritt: Der letzte Summand wird mit der nächsten Division, 10rn=qcn+1+rn+110 r_n = q c_{n + 1} + r_{n + 1}, umgeschrieben und in zwei Brüche zerlegt.

  4. pq=N+∑k=1n+1ck10k+rn+1q⋅10n+1\frac{p}{q} = N + \sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{c_k}{10^k} + \frac{r_{n + 1}}{q \cdot 10^{n + 1}}

    Durch Einsetzen in die Gleichung der Ordnung nn erhält man die der Ordnung n+1n + 1; nach dem Induktionsprinzip gilt die Gleichung für jedes nn.

  5. 0≤pq−Tn=rnq⋅10n<110n0 \le \frac{p}{q} - T_n = \frac{\resaltar{r_n}}{q \cdot 10^n} < \frac{1}{10^n}

    Wegen 0≤rn<q0 \le r_n < q ist der letzte Summand nichtnegativ und kleiner als 110n\frac{1}{10^n}: Der Bruch hat einen Abstand kleiner als 110n\frac{1}{10^n} von seiner Abschneidung der Ordnung nn, der Zahl TnT_n, die aus dem ganzzahligen Anteil und den ersten nn Ziffern gebildet wird.

Das Lemma besagt, dass pq\frac{p}{q} in dem Intervall liegt, das bei TnT_n beginnt und die Länge 110n\frac{1}{10^n} hat, wobei der linke Endpunkt eingeschlossen und der rechte ausgeschlossen ist; diese Intervalle, die in der Lektion über die Zahlengerade ausführlich untersucht werden, schreibt man so:

Tn=N+∑k=1nck10k,pq∈[Tn,Tn+110n)T_n = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k}, \qquad \frac{p}{q} \in \ico{T_n}{T_n + \frac{1}{10^n}}