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Topos Uranos
Español

La expresión decimal de los números racionales

Resumen

Esta clase estudia la escritura decimal de los números racionales. Muestra que las cifras de un cociente nacen de los restos de la división larga, define el valor de una expresión decimal infinita mediante intervalos encajados y la propiedad arquimediana, y demuestra los tres teoremas que la caracterizan: una fracción irreducible tiene expresión finita si y solo si su denominador no tiene más factores primos que 22 y 55; la expresión de todo racional es finita o periódica, con un período de longitud menor que el denominador; y, recíprocamente, toda expresión periódica representa un racional, cuya fracción generatriz se obtiene con la suma de una progresión geométrica. De ello se siguen la igualdad entre 0,999… y 11, la caracterización de los irracionales por sus expresiones no periódicas y, por último, la notación científica, las cifras significativas y la cota del error que comete el redondeo.

Objetivos de aprendizaje

  1. Obtener la expresión decimal de una fracción mediante la división larga y justificar, con los restos, por qué cada cifra está entre 00 y 99 y por qué la expresión aproxima a la fracción.
  2. Decidir, a partir de la factorización del denominador, si una fracción tiene expresión finita o periódica, y acotar la longitud de su período.
  3. Hallar la fracción generatriz de una expresión periódica y justificar con rigor igualdades como la de 0,999… con 11.
  4. Escribir números en notación científica, redondearlos a un número dado de cifras significativas y acotar los errores absoluto y relativo que se cometen.

La división larga y las cifras decimales

En la clase sobre los números racionales se estudiaron las fracciones y sus operaciones; en la clase sobre los sistemas de numeración posicional, la escritura de los naturales con cifras. La expresión decimal reúne ambas cosas: extiende la notación posicional a la derecha de la coma, con potencias negativas de 1010. Así, el número que se escribe 0,375 es, por definición, una suma de décimas, centésimas y milésimas:

310+7102+5103=375103=38\frac{3}{10} + \frac{7}{10^2} + \frac{5}{10^3} = \frac{375}{10^3} = \frac{3}{8}

En general, una expresión decimal finita consta de una parte entera NN y de un número finito de cifras c1,c2,…,cnc_1, c_2, \ldots, c_n, cada una entre 00 y 99, y representa el número siguiente:

N+c110+c2102+⋯+cn10n=N+∑k=1nck10kN + \frac{c_1}{10} + \frac{c_2}{10^2} + \cdots + \frac{c_n}{10^n} = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k}

Como el signo de un racional se escribe aparte, basta estudiar los racionales positivos. Para hallar la expresión de una fracción pq\frac{p}{q} de naturales se usa la división larga, que no es otra cosa que la división con resto repetida: primero se divide pp entre qq, lo que da la parte entera NN y un resto r0r_0; después, en cada paso, se multiplica por 1010 el último resto y se lo divide entre qq. El cociente de esa división es la cifra siguiente y su resto alimenta el paso que sigue:

p=qN+r0,10rk−1=qck+rk,0≤rk<qp = qN + r_0, \qquad 10 r_{k - 1} = q c_k + r_k, \qquad 0 \le r_k < q
EjemploLa división larga de 3 entre 7

Calculamos las cifras de 37\frac{3}{7}. En cada paso se escriben el dividendo, que es diez veces el resto anterior, la cifra que se obtiene y el nuevo resto. La figura muestra la escalera de divisiones y, arriba, las cifras que se acumulan.

Demostración

  1. 10⋅3=30=7⋅4+210 \cdot \dato{r0}{3} = 30 = 7 \cdot \resaltar{4} + \resaltar{2}

    Como 3<73 < 7, la parte entera es 00 y el primer resto es el propio numerador, r0=3r_0 = 3. Multiplicamos el resto por 1010 y dividimos entre 77: la cifra de las décimas es 44.

  2. 10⋅2=20=7⋅2+610 \cdot 2 = 20 = 7 \cdot \resaltar{2} + \resaltar{6}

    Con el resto 22 se obtiene la cifra de las centésimas.

  3. 10⋅6=60=7⋅8+410 \cdot 6 = 60 = 7 \cdot \resaltar{8} + \resaltar{4}

    Con el resto 66, la de las milésimas.

  4. 10⋅4=40=7⋅5+510 \cdot 4 = 40 = 7 \cdot \resaltar{5} + \resaltar{5}

    Con el resto 44, la cuarta cifra.

  5. 10⋅5=50=7⋅7+110 \cdot 5 = 50 = 7 \cdot \resaltar{7} + \resaltar{1}

    Con el resto 55, la quinta.

  6. 10⋅1=10=7⋅1+310 \cdot 1 = 10 = 7 \cdot \resaltar{1} + \resaltar{3}

    Con el resto 11, la sexta; y el nuevo resto es 33, el mismo con que se empezó.

  7. 37=428571106+1106⋅37\frac{3}{7} = \frac{428571}{10^6} + \frac{1}{10^6} \cdot \resaltar{\frac{3}{7}}

    Desde aquí la división se repite paso por paso: lo que queda por dividir, 37\frac{3}{7} multiplicado por 1106\frac{1}{10^6}, es el mismo cociente desplazado seis lugares. Las cifras forman un bloque que se repite sin fin.

La expresión de 37\frac{3}{7} es, por tanto, 0,428571428571…, con período 428571. El ejemplo contiene en germen toda la clase: las cifras salen de los restos, los restos son menores que el divisor y, en cuanto uno se repite, se repite todo lo que sigue. El primer hecho que conviene asegurar es que las cifras así obtenidas son verdaderas cifras y que aproximan a la fracción tanto como se quiera.

LemaLas cifras de la división larga

Sean pp y qq naturales, y sean NN, r0r_0 y, para cada natural kk, ckc_k y rkr_k los números que da la división larga de pp entre qq. Entonces cada ckc_k es una cifra, entre 00 y 99, y para todo natural nn se cumple la igualdad siguiente, en la que el último sumando es no negativo y menor que 110n\frac{1}{10^n}.

pq=N+∑k=1nck10k+rnq⋅10n\frac{p}{q} = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k} + \frac{r_n}{q \cdot 10^n}

La demostración procede por inducción sobre nn. La figura acompaña el argumento con 37\frac{3}{7}: cada nueva cifra elige una de las diez partes del intervalo anterior, que se amplía para verla.

Demostración

  1. qck≤10rk−1<10q→0≤ck≤9q c_k \le 10 r_{k - 1} < 10q \rightarrow 0 \le c_k \le 9

    Cada ckc_k es una cifra: como el resto anterior es menor que qq, el dividendo 10rk−110 r_{k - 1} es menor que 10q10q, y el cociente es menor que 1010.

  2. pq=N+r0q\dato{base}{\frac{p}{q} = N + \frac{r_0}{q}}

    Para n=0n = 0, sin cifras, la igualdad es la primera división con resto, dividida entre qq.

  3. rnq⋅10n=10rnq⋅10n+1=qcn+1+rn+1q⋅10n+1=cn+110n+1+rn+1q⋅10n+1\dato{paso}{\frac{r_n}{q \cdot 10^n} = \frac{\resaltar{10 r_n}}{q \cdot 10^{n + 1}} = \frac{\resaltar{q c_{n + 1} + r_{n + 1}}}{q \cdot 10^{n + 1}} = \frac{c_{n + 1}}{10^{n + 1}} + \frac{r_{n + 1}}{q \cdot 10^{n + 1}}}

    Paso inductivo: el último sumando se reescribe con la división siguiente, 10rn=qcn+1+rn+110 r_n = q c_{n + 1} + r_{n + 1}, y se separa en dos fracciones.

  4. pq=N+∑k=1n+1ck10k+rn+1q⋅10n+1\frac{p}{q} = N + \sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{c_k}{10^k} + \frac{r_{n + 1}}{q \cdot 10^{n + 1}}

    Sustituyendo en la igualdad de orden nn se obtiene la de orden n+1n + 1; por inducción, la igualdad vale para todo nn.

  5. 0≤pq−Tn=rnq⋅10n<110n0 \le \frac{p}{q} - T_n = \frac{\resaltar{r_n}}{q \cdot 10^n} < \frac{1}{10^n}

    Como 0≤rn<q0 \le r_n < q, el último sumando es no negativo y menor que 110n\frac{1}{10^n}: la fracción dista menos de 110n\frac{1}{10^n} de su truncamiento de orden nn, el número TnT_n formado por la parte entera y las nn primeras cifras.

El lema dice que pq\frac{p}{q} está en el intervalo que comienza en TnT_n y tiene longitud 110n\frac{1}{10^n}, incluido el extremo izquierdo y excluido el derecho; estos intervalos, que se estudiarán con detalle en la clase sobre la recta real, se escriben así:

Tn=N+∑k=1nck10k,pq∈[Tn,Tn+110n)T_n = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k}, \qquad \frac{p}{q} \in \ico{T_n}{T_n + \frac{1}{10^n}}