La recta real: orden, intervalos y valor absoluto

Resumen

Esta clase estudia los números reales como puntos de una recta. Deduce de tres axiomas las reglas para operar con desigualdades, demuestra con la propiedad arquimediana que los racionales son densos en la recta, demuestra con la completitud que todo real no negativo tiene raíz $n$ -ésima, define los intervalos y los caracteriza como los conjuntos sin huecos, e introduce el valor absoluto como medida de la distancia, con su lema fundamental sobre las desigualdades y la desigualdad triangular. Los problemas aplican estas herramientas a acotar productos, resolver ecuaciones e inecuaciones con valores absolutos, controlar el error de una aproximación y minimizar una suma de distancias.

Objetivos de aprendizaje

Deducir de los axiomas del orden las reglas para sumar, multiplicar e invertir desigualdades, y aplicarlas sin multiplicar por números de signo desconocido.
Aplicar la propiedad arquimediana y demostrar con ella que entre dos reales distintos hay siempre un racional.
Describir conjuntos de números reales mediante intervalos, operar con ellos y reconocer cuándo un conjunto es un intervalo.
Interpretar el valor absoluto como distancia, traducir condiciones con valores absolutos a intervalos y aplicar la desigualdad triangular.

La recta real

Sobre una recta se eligen dos puntos: uno representa el $0$ y otro, situado a su derecha, el $1$ . La longitud del segmento que los une sirve de unidad, y a cada número real $x$ le corresponde un punto: si $x$ es positivo, el situado a la derecha del origen a distancia $x$ ; si es negativo, el situado a la izquierda a distancia $-x$ . Los racionales ocupan puntos que se construyen con regla y compás, y su expresión decimal, estudiada en la clase sobre la expresión decimal de los racionales, indica en qué subdivisión decimal de la unidad cae cada uno. Ahora bien, en la clase sobre los conjuntos numéricos se vio que los racionales dejan huecos, como el que ocupa $\sqrt{2}$ , y se admitió que los reales forman un cuerpo ordenado completo, cuyo axioma de completitud los llena. Por eso se admite que la correspondencia entre reales y puntos es biyectiva: a cada real le corresponde un punto y a cada punto, un real. Esta identificación no se demuestra, porque la recta de la geometría no está definida aquí con independencia de los números; es la lectura geométrica de la completitud, y se llama recta real.

Los axiomas del orden

La relación «estar a la izquierda de» se traduce en la relación de orden entre reales, que se define a partir del conjunto de los números positivos. Entre los axiomas que la clase sobre los conjuntos numéricos admite para los reales, junto con los de cuerpo y el de completitud, los de orden se refieren a ese conjunto, y conviene recordarlos:

Tricotomía: para cada real $x$ se cumple exactamente una de las tres afirmaciones $x > 0$ , $x = 0$ o $-x > 0$ .
La suma de dos positivos es positiva.
El producto de dos positivos es positivo.

Un real $x$ es negativo si $-x$ es positivo. Se escribe $x < y$ , o $y > x$ , cuando la diferencia $y - x$ es positiva, y $x \leq y$ cuando $x < y$ o $x = y$ . Aplicada a $y - x$ , la tricotomía dice que para dos reales cualesquiera se cumple exactamente una de las afirmaciones $x < y$ , $x = y$ o $y < x$ : dos puntos distintos de la recta están siempre uno a la izquierda del otro. Además, en el problema resuelto 5 de la misma clase se demostró, solo con estos axiomas y la regla de los signos, que el cuadrado de todo real no nulo es positivo; en particular, $1 = 1^2 > 0$ . Las reglas para operar con desigualdades son consecuencia de estos axiomas y de los de cuerpo; la clase sobre los conjuntos numéricos las dedujo en su lema de las reglas del orden, y aquí se reúnen y se interpretan sobre la recta.

TeoremaLas propiedades del orden

Para todos los reales $x$ , $y$ y $z$ : si $x < y$ e $y < z$ , entonces $x < z$ ; si $x < y$ , entonces $x + z < y + z$ ; si $x < y$ y $z > 0$ , entonces $xz < yz$ ; si $x < y$ y $z < 0$ , entonces $xz > yz$ ; si $x > 0$ , su inverso es positivo; y si $0 < x < y$ , entonces $0 < \frac{1}{y} < \frac{1}{x}$ . Cada afirmación se reduce a decidir el signo de una diferencia, como en la clase sobre los números enteros, donde se demostraron estas reglas para los enteros; la demostración, que repite la de la clase sobre los conjuntos numéricos, se deduce solo de los axiomas, y las reglas valen, por tanto, para todos los reales. La figura representa cada propiedad sobre la recta: trasladar conserva el orden de dos puntos, dilatar desde el origen también, y reflejar o invertir lo invierte.

Demostración

$z - x = \resaltar{(z - y) + (y - x)} > 0$
Transitividad: si $x < y$ e $y < z$ , las diferencias $y - x$ y $z - y$ son positivas, y por el segundo axioma también su suma, que es $z - x$ .
$(y + z) - (x + z) = \resaltar{y - x} > 0$
Compatibilidad con la suma: sumar el mismo número $z$ a ambos miembros no altera la diferencia.
$\dato{pos}{yz - xz = \resaltar{(y - x) z} > 0}$
Producto por un positivo: si $z > 0$ , la diferencia $yz - xz$ es el producto de dos positivos, y lo es por el tercer axioma.
$\dato{neg}{xz - yz = (y - x)\resaltar{(-z)} > 0}$
Producto por un negativo: si $z < 0$ , su opuesto $-z$ es positivo, y el paso anterior, aplicado a $-z$ , da una diferencia positiva en el orden contrario.
$\dato{inv}{x > 0 \rightarrow \frac{1}{x} > 0}$
Signo del inverso: sea $x > 0$ . Si su inverso fuera negativo, al multiplicar $0 < x$ por él la desigualdad se invertiría, y resultaría $0 > 1$ , lo que es falso; y el inverso no es nulo, porque su producto por $x$ vale $1$ .
$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \resaltar{\frac{y - x}{xy}} > 0$
Inversos: si $0 < x < y$ , la diferencia de los inversos es el producto de $y - x$ por el inverso de $xy$ , ambos positivos. Tomar inversos de dos positivos invierte su orden.

De estas reglas se siguen otras que se usan constantemente. Dos desigualdades del mismo sentido pueden sumarse: si $a < b$ y $c < d$ , entonces $a + c < b + c < b + d$ . Dos desigualdades entre números no negativos pueden multiplicarse: si $0 \leq a \leq b$ y $0 \leq c \leq d$ , entonces $ac \leq bc \leq bd$ . En cambio, no pueden restarse ni dividirse miembro a miembro, y no pueden multiplicarse si algún miembro es negativo, como muestra el problema resuelto 1. Por último, entre números no negativos elevar al cuadrado conserva el orden y lo refleja, como se demostró en la clase sobre los conjuntos numéricos para las potencias:

0 \leq p \wedge 0 \leq q \rightarrow \left(p < q \leftrightarrow p^2 < q^2\right)

La densidad de los racionales en la recta

El axioma de completitud, enunciado en la clase sobre los conjuntos numéricos, afirma que todo conjunto no vacío de reales acotado superiormente tiene un supremo, es decir, una menor cota superior. En la clase sobre la expresión decimal de los racionales se dedujo de ella la propiedad arquimediana: para todo real existe un natural mayor que él, de modo que los puntos $1, 2, 3, \ldots$ avanzan por la recta sin cota alguna. De ello se sigue una forma que se usa a menudo: si $h > 0$ y $x$ es cualquier real, existe un natural $n$ mayor que $\frac{x}{h}$ , y al multiplicar por $h$ , que es positivo, resulta $nh > x$ . Geométricamente, un segmento, por pequeño que sea, repetido suficientes veces, supera a cualquier otro; así la usó Arquímedes, de quien toma el nombre.

h > 0 \rightarrow (\forall x \in \mathbb{R})(\exists n \in \mathbb{N})(nh > x)

En la clase sobre los números racionales se demostró que entre dos racionales distintos hay infinitos racionales. Con la propiedad arquimediana puede demostrarse algo más fuerte, el hecho que la clase sobre los conjuntos numéricos dejó admitido: los racionales están repartidos por toda la recta real, sin que haya tramo alguno, por corto que sea, que no contenga uno.

TeoremaDensidad de los racionales en la recta real

Entre dos reales distintos hay siempre un número racional: si $x < y$ , existe un racional $q$ tal que $x < q < y$ . La idea es ampliar el tramo entre $x$ e $y$ hasta que su longitud supere a $1$ , de modo que contenga un entero, y después reducirlo. La figura muestra el tramo original arriba y el ampliado abajo.

Demostración

$\dato{n}{ny > nx + 1}$
Por la propiedad arquimediana, aplicada a $h = y - x > 0$ , existe un natural $n$ tal que $n(y - x) > 1$ : ampliado $n$ veces, el tramo mide más que la unidad.
$\dato{m}{m - 1 \leq nx < m}$
Sea $m$ el menor entero mayor que $nx$ . Existe: por la propiedad arquimediana hay un natural $k$ con $k > -nx$ , de modo que $nx + k > 0$ ; por el principio del buen orden, el conjunto no vacío de los naturales mayores que $nx + k$ tiene un menor elemento $j$ . El entero $m = j - k$ es mayor que $nx$ , y $m - 1$ no lo es, porque $j - 1$ es nulo o es un natural que no supera a $nx + k$ .
$nx < m \leq \resaltar{nx + 1} < ny$
Sumando $1$ a la primera desigualdad y encadenando con la del primer paso, el entero $m$ queda estrictamente entre $nx$ y $ny$ .
$x < \resaltar{\frac{m}{n}} < y$
Dividiendo entre $n$ , que es positivo, las desigualdades se conservan: el cociente de $m$ entre $n$ , que es racional, está entre $x$ e $y$ .

Aplicado de nuevo al tramo entre $x$ y el racional obtenido, el teorema da otro racional, y así sucesivamente: entre dos reales distintos hay infinitos racionales. Lo mismo ocurre con los irracionales, como se pide demostrar en el problema propuesto 4. Racionales e irracionales están, por tanto, entremezclados en toda la recta, aunque sus expresiones decimales sean de naturaleza tan distinta.

La existencia de las raíces

En la clase sobre los conjuntos numéricos se definió la raíz $n$ -ésima principal de un real no negativo $a$ como el único real no negativo cuya potencia $n$ -ésima es $a$ ; allí se demostró la unicidad y se dejó admitida la existencia, porque su prueba exige un argumento con supremos. Con la completitud y las reglas del orden puede darse ahora ese argumento. Se usa una cota para la diferencia de dos potencias: si $0 \leq c \leq b$ , al distribuir el producto siguiente los términos intermedios se cancelan, como en la suma de una progresión geométrica, y cada uno de los $n$ sumandos del segundo factor es a lo sumo $b^{n - 1}$ .

b^n - c^n = (b - c)\left(b^{n - 1} + b^{n - 2} c + \cdots + c^{n - 1}\right) \leq (b - c) \cdot n b^{n - 1}

TeoremaExistencia de la raíz

n

-ésima

Sea $n \geq 2$ un natural. Para todo real $a \geq 0$ existe un real $s \geq 0$ tal que $s^n = a$ . Si $a = 0$ , basta tomar $s = 0$ ; en lo que sigue, $a > 0$ . La raíz buscada se obtiene como el supremo de los números no negativos cuya potencia $n$ -ésima no supera a $a$ , y se descartan por separado las dos desigualdades estrictas. La figura dibuja la curva $y = x^n$ y la recta de altura $a$ : el conjunto $S$ es el tramo del eje bajo la parte de la curva que no sube por encima de la recta, y cada supuesto falso sobre $s$ se refuta con un punto que queda del lado equivocado.

Demostración

$x > 1 + a \rightarrow x^n \geq x > a$
El conjunto $S$ de los reales no negativos cuya potencia $n$ -ésima no supera a $a$ contiene al $0$ . Está acotado por $1 + a$ : si $x > 1 + a$ , entonces $x > 1$ , y su potencia es al menos $x$ , que ya supera a $a$ .
$\dato{s}{x \in S \rightarrow x \leq s}$
Por la completitud, $S$ tiene un supremo $s$ , que es no negativo porque $0$ pertenece a $S$ .
$\dato{h}{h = \frac{a - s^n}{a + n(s + 1)^{n - 1}}}$
Supongamos que $s^n < a$ . Tomamos un número $h$ positivo y menor que $1$ , porque su numerador es menor que su denominador.
$(s + h)^n - s^n \leq h \cdot n(s + 1)^{n - 1} \leq \resaltar{a - s^n}$
Por la cota de la diferencia de potencias, con $b = s + h \leq s + 1$ y $c = s$ , la potencia de $s + h$ no supera a $a$ ; de modo que $s + h$ pertenece a $S$ y es mayor que su supremo, lo que es imposible.
$\dato{k}{h = \frac{s^n - a}{n s^{n - 1}}}$
Supongamos que $s^n > a$ . Entonces $s > 0$ , y tomamos otro número $h$ , positivo y menor que $s$ , porque $h \cdot n s^{n - 1} = s^n - a < s^n \leq n s^n$ .
$s^n - (s - h)^n \leq h \cdot n s^{n - 1} = \resaltar{s^n - a}$
Con $b = s$ y $c = s - h$ , la cota da que la potencia de $s - h$ es al menos $a$ .
$x \in S \rightarrow x \leq s - h < s$
Si un $x$ de $S$ fuera mayor que $s - h$ , por la conservación del orden de las potencias se tendría $x^n > (s - h)^n \geq a$ , contra la definición de $S$ . Así, $s - h$ sería una cota superior de $S$ menor que $s$ , lo que es imposible.
$s^n = a$
Por la tricotomía, solo queda la igualdad: $s$ es la raíz $n$ -ésima principal de $a$ , única por lo demostrado en la clase sobre los conjuntos numéricos.

Con este teorema y la densidad de los racionales se completa también la identificación que la clase sobre los conjuntos numéricos dejó admitida: el supremo del conjunto $A$ de los racionales cuyo cuadrado es menor que $2$ es $\sqrt{2}$ . En efecto, $\sqrt{2}$ es cota superior de $A$ , porque si un racional $x$ fuera mayor que $\sqrt{2}$ , sería positivo y su cuadrado superaría a $2$ . Y ninguna cota menor sirve: si $u < \sqrt{2}$ , la densidad da un racional $q$ con $0 < q < \sqrt{2}$ y $u < q$ , cuyo cuadrado es menor que $2$ ; de modo que $q$ pertenece a $A$ y supera a $u$ .