Divisibilidad y división con resto

La divisibilidad en los enteros

En la clase sobre las operaciones con números naturales se dijo que un natural $b$ divide a otro natural $a$, y se escribió $b \mid a$, cuando $a$ es múltiplo de $b$. La definición se extiende sin cambios a los números enteros, cuya construcción se estudia en la clase sobre los números enteros: el entero $b$ divide al entero $a$ si $a$ es el producto de $b$ por algún entero. Esa clase pertenece a la unidad siguiente; aquí los enteros se anticipan, y se admiten sin demostración las reglas de su aritmética y de su orden que allí se fundamentan: la regla de los signos, que el producto de un entero por un natural conserva el sentido de las desigualdades, que un factor no nulo puede cancelarse en un producto, y que los enteros son los naturales, el $0$ y los opuestos de los naturales. Su demostración exige la construcción de los enteros a partir de los naturales, que no usa nada de esta clase, de modo que no hay círculo.

Se dice también que $b$ es un divisor de $a$ y que $a$ es un múltiplo de $b$. De la definición se siguen de inmediato algunos casos extremos: el $0$ es múltiplo de todo entero, porque $0 = b \cdot 0$; los números $1$ y $-1$ dividen a todo entero; y el $0$ divide solo al $0$, porque $0 \cdot k = 0$ para todo $k$. Ahora bien, $a = bk$ equivale a $-a = b(-k)$ y a $a = (-b)(-k)$; de donde $a$ y $-a$ tienen los mismos divisores, y $b$ y $-b$ dividen a los mismos números. Por eso, en la práctica, basta con estudiar los divisores naturales.

Propiedades de la divisibilidad

Para todos los enteros $a$, $b$, $c$, $d$, $x$ e $y$ se cumplen las siguientes propiedades, cuyas demostraciones se reducen a la definición:

1. Reflexividad: $a \mid a$, porque $a = a \cdot 1$.
2. Transitividad: si $a \mid b$ y $b \mid c$, entonces $a \mid c$. En efecto, si $b = ak$ y $c = bl$, entonces $c = a(kl)$.
3. Combinaciones lineales: si $d \mid a$ y $d \mid b$, entonces $d \mid ax + by$, como se demuestra en la proposición siguiente.
4. Acotación: si $b \mid a$ y $a > 0$, entonces $-a \leq b \leq a$. Basta verlo para $b > 0$: en ese caso $a = bk$ con $k$ natural, y como $k \geq 1$, se tiene $a = b + b(k - 1) \geq b$.
5. Antisimetría en los naturales: si $a$ y $b$ son naturales, $a \mid b$ y $b \mid a$, entonces $a = b$, porque la acotación da $a \leq b$ y $b \leq a$.

La acotación tiene una consecuencia que se usará a menudo: un entero distinto de cero tiene solo una cantidad finita de divisores. De todas las propiedades, la tercera es la más fecunda, y conviene retenerla con su enunciado completo y su demostración.

Leída al revés, la propiedad sirve para descartar divisores: si $d$ divide a $a$ pero no a $b$, entonces no divide a $a + b$, porque si lo hiciera dividiría también a la diferencia $(a + b) - a = b$.