Teilbarkeit und Division mit Rest

Die Teilbarkeit in den ganzen Zahlen

In der Lektion über die Rechenoperationen mit natürlichen Zahlen wurde gesagt, dass eine natürliche Zahl $b$ eine andere natürliche Zahl $a$ teilt, und man schrieb $b \mid a$, wenn $a$ ein Vielfaches von $b$ ist. Die Definition überträgt sich unverändert auf die ganzen Zahlen, deren Konstruktion in der Lektion über die ganzen Zahlen untersucht wird: Die ganze Zahl $b$ teilt die ganze Zahl $a$, wenn $a$ das Produkt von $b$ mit einer ganzen Zahl ist. Jene Lektion gehört zur nächsten Einheit; hier werden die ganzen Zahlen vorweggenommen, und die dort begründeten Regeln ihrer Arithmetik und ihrer Ordnung werden ohne Beweis angenommen: die Vorzeichenregel, dass das Produkt einer ganzen Zahl mit einer natürlichen Zahl die Richtung von Ungleichungen erhält, dass ein von null verschiedener Faktor in einem Produkt gekürzt werden kann, und dass die ganzen Zahlen die natürlichen Zahlen, die $0$ und die Gegenzahlen der natürlichen Zahlen sind. Ihr Beweis erfordert die Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen, die nichts aus dieser Lektion verwendet, sodass kein Zirkel entsteht.

Man sagt auch, $b$ sei ein Teiler von $a$ und $a$ sei ein Vielfaches von $b$. Aus der Definition folgen unmittelbar einige Grenzfälle: Die $0$ ist ein Vielfaches jeder ganzen Zahl, denn $0 = b \cdot 0$; die Zahlen $1$ und $-1$ teilen jede ganze Zahl; und die $0$ teilt nur die $0$, denn $0 \cdot k = 0$ für jedes $k$. Nun ist $a = bk$ gleichwertig mit $-a = b(-k)$ und mit $a = (-b)(-k)$; daher haben $a$ und $-a$ dieselben Teiler, und $b$ und $-b$ teilen dieselben Zahlen. Deshalb genügt es in der Praxis, die natürlichen Teiler zu untersuchen.

Eigenschaften der Teilbarkeit

Für alle ganzen Zahlen $a$, $b$, $c$, $d$, $x$ und $y$ gelten die folgenden Eigenschaften, deren Beweise sich auf die Definition zurückführen lassen:

1. Reflexivität: $a \mid a$, denn $a = a \cdot 1$.
2. Transitivität: Aus $a \mid b$ und $b \mid c$ folgt $a \mid c$. In der Tat: Ist $b = ak$ und $c = bl$, so ist $c = a(kl)$.
3. Linearkombinationen: Aus $d \mid a$ und $d \mid b$ folgt $d \mid ax + by$, wie die folgende Proposition beweist.
4. Beschränktheit: Aus $b \mid a$ und $a > 0$ folgt $-a \leq b \leq a$. Es genügt, dies für $b > 0$ zu zeigen: In diesem Fall ist $a = bk$ mit natürlichem $k$, und da $k \geq 1$, gilt $a = b + b(k - 1) \geq b$.
5. Antisymmetrie in den natürlichen Zahlen: Sind $a$ und $b$ natürliche Zahlen mit $a \mid b$ und $b \mid a$, so ist $a = b$, denn die Beschränktheit liefert $a \leq b$ und $b \leq a$.

Die Beschränktheit hat eine Folgerung, die oft verwendet wird: Eine von null verschiedene ganze Zahl hat nur endlich viele Teiler. Von allen Eigenschaften ist die dritte die fruchtbarste, und es lohnt sich, sie mit ihrer vollständigen Formulierung und ihrem Beweis im Gedächtnis zu behalten.

Umgekehrt gelesen dient die Eigenschaft dazu, Teiler auszuschließen: Ist $d$ ein Teiler von $a$, aber nicht von $b$, so ist er kein Teiler von $a + b$, denn sonst wäre er auch ein Teiler der Differenz $(a + b) - a = b$.