विभाज्यता और शेषफल सहित विभाजन

पूर्णांकों में विभाज्यता

प्राकृत संख्याओं पर संक्रियाओं वाले पाठ में कहा गया था कि एक प्राकृत संख्या $b$ किसी दूसरी प्राकृत संख्या $a$ को विभाजित करती है, और लिखा गया था $b \mid a$, जब $a$, $b$ का गुणज हो। यह परिभाषा बिना किसी परिवर्तन के पूर्णांकों तक विस्तारित होती है, जिनकी रचना का अध्ययन पूर्णांकों वाले पाठ में होता है: पूर्णांक $b$ पूर्णांक $a$ को विभाजित करता है यदि $a$, $b$ और किसी पूर्णांक का गुणनफल हो। वह पाठ अगली इकाई का है; यहाँ पूर्णांकों का प्रयोग पहले से किया जाता है, और उनके अंकगणित और क्रम के वे नियम बिना प्रमाण स्वीकार किए जाते हैं जिनकी नींव वहाँ रखी जाती है: चिह्नों का नियम, यह कि किसी पूर्णांक को किसी प्राकृत संख्या से गुणा करने पर असमिकाओं की दिशा बनी रहती है, यह कि किसी गुणनफल में शून्येतर गुणनखंड का विलोपन किया जा सकता है, और यह कि पूर्णांक हैं प्राकृत संख्याएँ, $0$ और प्राकृत संख्याओं के योज्य प्रतिलोम। इनके प्रमाण के लिए प्राकृत संख्याओं से पूर्णांकों की रचना आवश्यक है, जो इस पाठ की किसी बात का प्रयोग नहीं करती, अतः कोई चक्रीय प्रमाण नहीं है।

यह भी कहा जाता है कि $b$, $a$ का एक भाजक है और $a$, $b$ का एक गुणज है। परिभाषा से तुरंत कुछ चरम स्थितियाँ निकलती हैं: $0$ प्रत्येक पूर्णांक का गुणज है, क्योंकि $0 = b \cdot 0$; संख्याएँ $1$ और $-1$ प्रत्येक पूर्णांक को विभाजित करती हैं; और $0$ केवल $0$ को विभाजित करता है, क्योंकि $0 \cdot k = 0$ प्रत्येक $k$ के लिए। इसके अतिरिक्त, $a = bk$, $-a = b(-k)$ के तुल्य है और $a = (-b)(-k)$ के भी; अतः $a$ और $-a$ के भाजक एक ही हैं, और $b$ और $-b$ एक ही संख्याओं को विभाजित करते हैं। इसलिए व्यवहार में प्राकृत भाजकों का अध्ययन करना पर्याप्त है।

विभाज्यता के गुण

सभी पूर्णांकों $a$, $b$, $c$, $d$, $x$ और $y$ के लिए निम्नलिखित गुण सत्य हैं, जिनके प्रमाण परिभाषा पर आ जाते हैं:

1. स्वतुल्यता: $a \mid a$, क्योंकि $a = a \cdot 1$।
2. संक्रामकता: यदि $a \mid b$ और $b \mid c$, तो $a \mid c$। वस्तुतः, यदि $b = ak$ और $c = bl$, तो $c = a(kl)$।
3. रैखिक संयोजन: यदि $d \mid a$ और $d \mid b$, तो $d \mid ax + by$, जैसा कि आगे के साध्य में सिद्ध किया जाता है।
4. परिबद्धता: यदि $b \mid a$ और $a > 0$, तो $-a \leq b \leq a$। इसे $b > 0$ के लिए देखना पर्याप्त है: उस स्थिति में $a = bk$, जहाँ $k$ प्राकृत है, और चूँकि $k \geq 1$, अतः $a = b + b(k - 1) \geq b$।
5. प्राकृत संख्याओं में प्रतिसममिति: यदि $a$ और $b$ प्राकृत हैं, $a \mid b$ और $b \mid a$, तो $a = b$, क्योंकि परिबद्धता से $a \leq b$ और $b \leq a$ मिलते हैं।

परिबद्धता का एक परिणाम है जिसका प्रयोग अक्सर होगा: शून्य से अलग किसी पूर्णांक के भाजकों की संख्या परिमित ही होती है। सभी गुणों में तीसरा सबसे फलदायी है, और उसे उसके पूरे कथन और प्रमाण के साथ याद रखना उचित है।

उलटी दिशा में पढ़ने पर, यह गुण भाजकों को अलग करने में काम आता है: यदि $d$, $a$ को विभाजित करता है पर $b$ को नहीं, तो वह $a + b$ को विभाजित नहीं करता, क्योंकि यदि करता तो अंतर $(a + b) - a = b$ को भी विभाजित करता।