나누어떨어짐과 나머지가 있는 나눗셈

정수에서의 나누어떨어짐

자연수의 연산에 관한 수업에서, 자연수 $b$가 다른 자연수 $a$의 약수라고 하고 $b \mid a$로 쓰는 것은 $a$가 $b$의 배수일 때라고 하였다. 이 정의는 그대로 정수로 확장되며, 정수의 구성은 정수에 관한 수업에서 다룬다. 정수 $b$가 정수 $a$의 약수라는 것은 $a$가 $b$와 어떤 정수의 곱이라는 뜻이다. 그 수업은 다음 단원에 속한다. 여기서는 정수를 미리 사용하며, 그곳에서 근거를 세우는 정수의 산술과 순서의 규칙을 증명 없이 받아들인다. 곧 부호 규칙, 정수에 자연수를 곱해도 부등식의 방향이 유지된다는 것, 곱에서 영이 아닌 인수는 소거할 수 있다는 것, 그리고 정수는 자연수, $0$, 자연수의 덧셈의 역원으로 이루어진다는 것이다. 이 규칙들의 증명에는 자연수로부터 정수를 구성하는 일이 필요한데, 그 구성은 이 수업의 내용을 전혀 사용하지 않으므로 순환 논증은 없다.

또한 $b$는 $a$의 약수이고 $a$는 $b$의 배수라고 한다. 정의로부터 몇 가지 극단적인 경우가 곧바로 나온다. $0$은 모든 정수의 배수이다. $0 = b \cdot 0$이기 때문이다. 수 $1$과 $-1$은 모든 정수의 약수이다. 그리고 $0$은 $0$만의 약수이다. $0 \cdot k = 0$이 모든 $k$에 대하여 성립하기 때문이다. 또한 $a = bk$는 $-a = b(-k)$ 및 $a = (-b)(-k)$와 동치이다. 따라서 $a$와 $-a$는 같은 약수를 가지고, $b$와 $-b$는 같은 수들의 약수이다. 그래서 실제로는 자연수인 약수만 살펴보면 충분하다.

나누어떨어짐의 성질

모든 정수 $a$, $b$, $c$, $d$, $x$, $y$에 대하여 다음 성질이 성립하며, 그 증명은 정의로 귀착된다:

1. 반사성: $a \mid a$. $a = a \cdot 1$이기 때문이다.
2. 추이성: $a \mid b$이고 $b \mid c$이면 $a \mid c$이다. 실제로 $b = ak$이고 $c = bl$이면 $c = a(kl)$이다.
3. 일차결합: $d \mid a$이고 $d \mid b$이면 $d \mid ax + by$이다. 이것은 다음 명제에서 증명한다.
4. 유계성: $b \mid a$이고 $a > 0$이면 $-a \leq b \leq a$이다. $b > 0$인 경우에 보이면 충분하다. 이때 $a = bk$이고 $k$는 자연수이며, $k \geq 1$이므로 $a = b + b(k - 1) \geq b$이다.
5. 자연수에서의 반대칭성: $a$와 $b$가 자연수이고 $a \mid b$이며 $b \mid a$이면 $a = b$이다. 유계성에서 $a \leq b$와 $b \leq a$가 나오기 때문이다.

유계성에서는 앞으로 자주 쓰일 결과가 나온다. 영이 아닌 정수는 유한 개의 약수만 가진다. 모든 성질 가운데 셋째가 가장 풍성한 결과를 낳으므로, 완전한 진술과 증명을 함께 기억해 두는 것이 좋다.

이 성질을 거꾸로 읽으면 약수를 배제하는 데 쓸 수 있다. $d$가 $a$의 약수이지만 $b$의 약수가 아니면, $a + b$의 약수도 아니다. 만약 약수라면 차 $(a + b) - a = b$의 약수이기도 할 것이기 때문이다.