Divisibilidade e divisão com resto

A divisibilidade nos inteiros

Na aula sobre as operações com números naturais disse-se que um natural $b$ divide outro natural $a$, e escreveu-se $b \mid a$, quando $a$ é múltiplo de $b$. A definição se estende sem mudanças aos números inteiros, cuja construção se estuda na aula sobre os números inteiros: o inteiro $b$ divide o inteiro $a$ se $a$ é o produto de $b$ por algum inteiro. Essa aula pertence à unidade seguinte; aqui os inteiros são antecipados, e admitem-se sem demonstração as regras de sua aritmética e de sua ordem que lá se fundamentam: a regra dos sinais, que o produto de um inteiro por um natural conserva o sentido das desigualdades, que um fator não nulo pode ser cancelado num produto, e que os inteiros são os naturais, o $0$ e os opostos dos naturais. Sua demonstração exige a construção dos inteiros a partir dos naturais, que não usa nada desta aula, de modo que não há círculo.

Diz-se também que $b$ é um divisor de $a$ e que $a$ é um múltiplo de $b$. Da definição seguem-se imediatamente alguns casos extremos: o $0$ é múltiplo de todo inteiro, porque $0 = b \cdot 0$; os números $1$ e $-1$ dividem todo inteiro; e o $0$ divide apenas o $0$, porque $0 \cdot k = 0$ para todo $k$. Ora, $a = bk$ equivale a $-a = b(-k)$ e a $a = (-b)(-k)$; donde $a$ e $-a$ têm os mesmos divisores, e $b$ e $-b$ dividem os mesmos números. Por isso, na prática, basta estudar os divisores naturais.

Propriedades da divisibilidade

Para todos os inteiros $a$, $b$, $c$, $d$, $x$ e $y$ valem as seguintes propriedades, cujas demonstrações se reduzem à definição:

1. Reflexividade: $a \mid a$, porque $a = a \cdot 1$.
2. Transitividade: se $a \mid b$ e $b \mid c$, então $a \mid c$. De fato, se $b = ak$ e $c = bl$, então $c = a(kl)$.
3. Combinações lineares: se $d \mid a$ e $d \mid b$, então $d \mid ax + by$, como se demonstra na proposição seguinte.
4. Limitação: se $b \mid a$ e $a > 0$, então $-a \leq b \leq a$. Basta vê-lo para $b > 0$: nesse caso $a = bk$ com $k$ natural, e como $k \geq 1$, tem-se $a = b + b(k - 1) \geq b$.
5. Antissimetria nos naturais: se $a$ e $b$ são naturais, $a \mid b$ e $b \mid a$, então $a = b$, porque a limitação dá $a \leq b$ e $b \leq a$.

A limitação tem uma consequência que será usada com frequência: um inteiro diferente de zero tem apenas uma quantidade finita de divisores. De todas as propriedades, a terceira é a mais fecunda, e convém retê-la com seu enunciado completo e sua demonstração.

Lida ao contrário, a propriedade serve para descartar divisores: se $d$ divide $a$ mas não $b$, então não divide $a + b$, porque, se o fizesse, dividiria também a diferença $(a + b) - a = b$.