Divisibilità e divisione con resto

La divisibilità negli interi

Nella lezione sulle operazioni con i numeri naturali si è detto che un naturale $b$ divide un altro naturale $a$, e si è scritto $b \mid a$, quando $a$ è multiplo di $b$. La definizione si estende senza modifiche ai numeri interi, la cui costruzione si studia nella lezione sui numeri interi: l’intero $b$ divide l’intero $a$ se $a$ è il prodotto di $b$ per un qualche intero. Quella lezione appartiene all’unità successiva; qui gli interi vengono anticipati, e si ammettono senza dimostrazione le regole della loro aritmetica e del loro ordine che vi sono fondate: la regola dei segni, il fatto che il prodotto di un intero per un naturale conserva il verso delle disuguaglianze, il fatto che un fattore non nullo si può cancellare in un prodotto, e il fatto che gli interi sono i naturali, lo $0$ e gli opposti dei naturali. La loro dimostrazione richiede la costruzione degli interi a partire dai naturali, che non usa nulla di questa lezione, sicché non c’è circolo.

Si dice anche che $b$ è un divisore di $a$ e che $a$ è un multiplo di $b$. Dalla definizione seguono subito alcuni casi estremi: lo $0$ è multiplo di ogni intero, perché $0 = b \cdot 0$; i numeri $1$ e $-1$ dividono ogni intero; e lo $0$ divide solo lo $0$, perché $0 \cdot k = 0$ per ogni $k$. Ora, $a = bk$ equivale a $-a = b(-k)$ e a $a = (-b)(-k)$; da cui $a$ e $-a$ hanno gli stessi divisori, e $b$ e $-b$ dividono gli stessi numeri. Per questo, in pratica, basta studiare i divisori naturali.

Proprietà della divisibilità

Per tutti gli interi $a$, $b$, $c$, $d$, $x$ e $y$ valgono le seguenti proprietà, le cui dimostrazioni si riducono alla definizione:

1. Riflessività: $a \mid a$, perché $a = a \cdot 1$.
2. Transitività: se $a \mid b$ e $b \mid c$, allora $a \mid c$. Infatti, se $b = ak$ e $c = bl$, allora $c = a(kl)$.
3. Combinazioni lineari: se $d \mid a$ e $d \mid b$, allora $d \mid ax + by$, come si dimostra nella proposizione seguente.
4. Limitazione: se $b \mid a$ e $a > 0$, allora $-a \leq b \leq a$. Basta verificarlo per $b > 0$: in tal caso $a = bk$ con $k$ naturale, e poiché $k \geq 1$, si ha $a = b + b(k - 1) \geq b$.
5. Antisimmetria nei naturali: se $a$ e $b$ sono naturali, $a \mid b$ e $b \mid a$, allora $a = b$, perché la limitazione dà $a \leq b$ e $b \leq a$.

La limitazione ha una conseguenza che si userà spesso: un intero diverso da zero ha solo un numero finito di divisori. Di tutte le proprietà, la terza è la più feconda, e conviene ricordarla con il suo enunciato completo e la sua dimostrazione.

Letta al contrario, la proprietà serve a escludere divisori: se $d$ divide $a$ ma non $b$, allora non divide $a + b$, perché se lo dividesse dividerebbe anche la differenza $(a + b) - a = b$.