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Topos Uranos
日本語

有理数の小数表示

要約

この課では、有理数の小数による表し方を学ぶ。商の各桁の数字が筆算の割り算の余りから生まれることを示し、入れ子になった区間とアルキメデスの性質によって無限小数表示の値を定義し、小数表示を特徴づける三つの定理を証明する。既約分数の小数表示が有限であるのは、その分母が 22 と 55 以外の素因数をもたないとき、かつそのときに限ること。すべての有理数の小数表示は有限または循環し、循環節の長さは分母より小さいこと。逆に、すべての循環小数は有理数を表し、その生成分数は等比数列の和によって得られること。そこから、0.999… と 11 が等しいこと、無理数が循環しない小数表示によって特徴づけられること、そして最後に科学的記数法、有効数字、四捨五入による誤差の上界が導かれる。

学習目標

  1. 分数の小数表示を筆算の割り算で求め、各数字が 00 と 99 の間にある理由と、小数表示が分数を近似する理由を余りを用いて説明すること。
  2. 分母の素因数分解から、分数の小数表示が有限か循環するかを判定し、循環節の長さの上界を与えること。
  3. 循環小数の生成分数を求め、0.999… と 11 が等しいといった等式を厳密に正当化すること。
  4. 数を科学的記数法で書き、与えられた桁数の有効数字に四捨五入し、そのとき生じる絶対誤差と相対誤差の上界を与えること。

筆算の割り算と小数部分の数字

有理数の課では分数とその演算を、位取り記数法の課では数字による自然数の書き方を学んだ。小数表示はその二つを結びつける。すなわち、1010 の負の累乗を用いて、位取りの記法を小数点の右側へ延長する。こうして、0.375 と書かれる数は、定義により、十分の一の位、百分の一の位、千分の一の位の数の和である：

310+7102+5103=375103=38\frac{3}{10} + \frac{7}{10^2} + \frac{5}{10^3} = \frac{375}{10^3} = \frac{3}{8}

一般に、有限小数は、整数部分 NN と有限個の数字 c1,c2,…,cnc_1, c_2, \ldots, c_n からなり、各数字は 00 と 99 の間にあって、次の数を表す：

N+c110+c2102+⋯+cn10n=N+∑k=1nck10kN + \frac{c_1}{10} + \frac{c_2}{10^2} + \cdots + \frac{c_n}{10^n} = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k}

有理数の符号は別に書くので、正の有理数を調べれば十分である。分子と分母が自然数である分数 pq\frac{p}{q} の小数表示を求めるには、筆算の割り算を用いる。これは余りのある割り算を繰り返すことにほかならない。まず pp を qq で割って、整数部分 NN と余り r0r_0 を得る。次に、各ステップで、最後の余りに 1010 を掛けて qq で割る。この割り算の商が次の数字であり、その余りが次のステップに引き継がれる：

p=qN+r0,10rk−1=qck+rk,0≤rk<qp = qN + r_0, \qquad 10 r_{k - 1} = q c_k + r_k, \qquad 0 \le r_k < q
例3 を 7 で割る筆算

37\frac{3}{7} の各桁の数字を計算する。各ステップでは、被除数（直前の余りの十倍）、得られる数字、新しい余りを書く。図は割り算の階段と、その上に積み重なっていく数字を示している。

証明

  1. 10⋅3=30=7⋅4+210 \cdot \dato{r0}{3} = 30 = 7 \cdot \resaltar{4} + \resaltar{2}

    3<73 < 7 なので、整数部分は 00 であり、最初の余りは分子そのもの、r0=3r_0 = 3 である。余りに 1010 を掛けて 77 で割ると、十分の一の位の数字は 44 である。

  2. 10⋅2=20=7⋅2+610 \cdot 2 = 20 = 7 \cdot \resaltar{2} + \resaltar{6}

    余り 22 から百分の一の位の数字が得られる。

  3. 10⋅6=60=7⋅8+410 \cdot 6 = 60 = 7 \cdot \resaltar{8} + \resaltar{4}

    余り 66 から、千分の一の位の数字が得られる。

  4. 10⋅4=40=7⋅5+510 \cdot 4 = 40 = 7 \cdot \resaltar{5} + \resaltar{5}

    余り 44 から、四番目の数字が得られる。

  5. 10⋅5=50=7⋅7+110 \cdot 5 = 50 = 7 \cdot \resaltar{7} + \resaltar{1}

    余り 55 から、五番目が得られる。

  6. 10⋅1=10=7⋅1+310 \cdot 1 = 10 = 7 \cdot \resaltar{1} + \resaltar{3}

    余り 11 から、六番目が得られる。そして新しい余りは 33 であり、最初の余りと同じである。

  7. 37=428571106+1106⋅37\frac{3}{7} = \frac{428571}{10^6} + \frac{1}{10^6} \cdot \resaltar{\frac{3}{7}}

    ここから先、割り算は一歩ずつ繰り返される。残りの割られる部分、つまり 37\frac{3}{7} に 1106\frac{1}{10^6} を掛けたものは、同じ商を六桁ずらしたものである。数字は、限りなく繰り返されるひとかたまりを作る。

したがって、37\frac{3}{7} の小数表示は 0.428571428571… であり、循環節は 428571 である。この例には課全体が萌芽として含まれている。数字は余りから生まれ、余りは除数より小さく、余りが一つ繰り返されるやいなや、その後のすべてが繰り返される。最初に確かめておくべきことは、こうして得られる数字が本当に数字であり、分数をいくらでも精密に近似することである。

補題筆算の割り算の数字

pp と qq を自然数とし、NN、r0r_0、および（各自然数 kk について）ckc_k と rkr_k を、pp を qq で割る筆算が与える数とする。このとき、各 ckc_k は数字であって 00 と 99 の間にあり、すべての自然数 nn について次の等式が成り立つ。ここで、最後の項は負でなく、110n\frac{1}{10^n} より小さい。

pq=N+∑k=1nck10k+rnq⋅10n\frac{p}{q} = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k} + \frac{r_n}{q \cdot 10^n}

証明は nn についての帰納法による。図は 37\frac{3}{7} を例に議論に寄り添う。新しい数字はそれぞれ直前の区間の十個の部分の一つを選び、その区間は見えるように拡大される。

証明

  1. qck≤10rk−1<10q→0≤ck≤9q c_k \le 10 r_{k - 1} < 10q \rightarrow 0 \le c_k \le 9

    各 ckc_k は数字である。直前の余りは qq より小さいので、被除数 10rk−110 r_{k - 1} は 10q10q より小さく、商は 1010 より小さい。

  2. pq=N+r0q\dato{base}{\frac{p}{q} = N + \frac{r_0}{q}}

    n=0n = 0 のとき、数字はなく、等式は最初の余りのある割り算の両辺を qq で割ったものである。

  3. rnq⋅10n=10rnq⋅10n+1=qcn+1+rn+1q⋅10n+1=cn+110n+1+rn+1q⋅10n+1\dato{paso}{\frac{r_n}{q \cdot 10^n} = \frac{\resaltar{10 r_n}}{q \cdot 10^{n + 1}} = \frac{\resaltar{q c_{n + 1} + r_{n + 1}}}{q \cdot 10^{n + 1}} = \frac{c_{n + 1}}{10^{n + 1}} + \frac{r_{n + 1}}{q \cdot 10^{n + 1}}}

    帰納段階：最後の項を次の割り算 10rn=qcn+1+rn+110 r_n = q c_{n + 1} + r_{n + 1} によって書き直し、二つの分数に分ける。

  4. pq=N+∑k=1n+1ck10k+rn+1q⋅10n+1\frac{p}{q} = N + \sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{c_k}{10^k} + \frac{r_{n + 1}}{q \cdot 10^{n + 1}}

    nn の場合の等式に代入すると、n+1n + 1 の場合の等式が得られる。帰納法により、等式はすべての nn について成り立つ。

  5. 0≤pq−Tn=rnq⋅10n<110n0 \le \frac{p}{q} - T_n = \frac{\resaltar{r_n}}{q \cdot 10^n} < \frac{1}{10^n}

    0≤rn<q0 \le r_n < q なので、最後の項は負でなく、110n\frac{1}{10^n} より小さい。すなわち、分数とその切り捨てとの距離は 110n\frac{1}{10^n} より小さい。ここでの切り捨ては第 nn 位までのもので、数 TnT_n のこと、つまり整数部分と最初の nn 個の数字からなる数である。

補題によれば、pq\frac{p}{q} は、TnT_n から始まり長さが 110n\frac{1}{10^n} の区間に属し、左端は含まれ右端は含まれない。これらの区間は実数直線の課で詳しく学ぶが、次のように書かれる：

Tn=N+∑k=1nck10k,pq∈[Tn,Tn+110n)T_n = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k}, \qquad \frac{p}{q} \in \ico{T_n}{T_n + \frac{1}{10^n}}