Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Десятичная запись рациональных чисел

Краткое содержание

Этот урок изучает десятичную запись рациональных чисел. Он показывает, что цифры частного рождаются из остатков деления столбиком, определяет значение бесконечной десятичной записи с помощью вложенных промежутков и свойства Архимеда и доказывает три теоремы, которые её характеризуют: несократимая дробь имеет конечную запись тогда и только тогда, когда её знаменатель не имеет простых множителей, кроме 22 и 55; запись всякого рационального числа конечна или периодична, причём длина периода меньше знаменателя; и, обратно, всякая периодическая запись представляет рациональное число, порождающая дробь которого получается суммированием геометрической прогрессии. Отсюда следуют равенство 0,999… и 11, характеристика иррациональных чисел их непериодическими записями и, наконец, стандартный вид числа, значащие цифры и оценка погрешности, которую даёт округление.

Цели обучения

  1. Находить десятичную запись дроби делением столбиком и обосновывать с помощью остатков, почему каждая цифра заключена между 00 и 99 и почему запись приближает дробь.
  2. Определять по разложению знаменателя на простые множители, конечна или периодична запись дроби, и оценивать длину её периода.
  3. Находить порождающую дробь периодической записи и строго обосновывать равенства, подобные равенству 0,999… и 11.
  4. Записывать числа в стандартном виде, округлять их до заданного числа значащих цифр и оценивать возникающие при этом абсолютную и относительную погрешности.

Деление столбиком и десятичные знаки

В уроке о рациональных числах изучались дроби и действия над ними; в уроке о позиционных системах счисления изучалась запись натуральных чисел цифрами. Десятичная запись объединяет то и другое: она продолжает позиционную запись вправо от запятой, с помощью отрицательных степеней 1010. Так, число, которое записывается 0,375, по определению есть сумма десятых, сотых и тысячных:

310+7102+5103=375103=38\frac{3}{10} + \frac{7}{10^2} + \frac{5}{10^3} = \frac{375}{10^3} = \frac{3}{8}

В общем случае конечная десятичная запись состоит из целой части NN и конечного числа цифр c1,c2,…,cnc_1, c_2, \ldots, c_n, каждая из которых заключена между 00 и 99, и представляет следующее число:

N+c110+c2102+⋯+cn10n=N+∑k=1nck10kN + \frac{c_1}{10} + \frac{c_2}{10^2} + \cdots + \frac{c_n}{10^n} = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k}

Поскольку знак рационального числа пишется отдельно, достаточно изучить положительные рациональные числа. Чтобы найти запись дроби pq\frac{p}{q} с натуральными числителем и знаменателем, применяют деление столбиком, которое есть не что иное, как повторённое деление с остатком: сначала pp делят на qq, что даёт целую часть NN и остаток r0r_0; затем на каждом шаге последний остаток умножают на 1010 и делят на qq. Неполное частное этого деления есть следующая цифра, а его остаток питает следующий шаг:

p=qN+r0,10rk−1=qck+rk,0≤rk<qp = qN + r_0, \qquad 10 r_{k - 1} = q c_k + r_k, \qquad 0 \le r_k < q
ПримерДеление 3 на 7 столбиком

Вычислим цифры числа 37\frac{3}{7}. На каждом шаге записываются делимое, равное десятикратному предыдущему остатку, получаемая цифра и новый остаток. Рисунок показывает лестницу делений и, сверху, накапливающиеся цифры.

Доказательство

  1. 10⋅3=30=7⋅4+210 \cdot \dato{r0}{3} = 30 = 7 \cdot \resaltar{4} + \resaltar{2}

    Так как 3<73 < 7, целая часть равна 00, а первый остаток есть сам числитель, r0=3r_0 = 3. Умножаем остаток на 1010 и делим на 77: цифра десятых равна 44.

  2. 10⋅2=20=7⋅2+610 \cdot 2 = 20 = 7 \cdot \resaltar{2} + \resaltar{6}

    С остатком 22 получается цифра сотых.

  3. 10⋅6=60=7⋅8+410 \cdot 6 = 60 = 7 \cdot \resaltar{8} + \resaltar{4}

    С остатком 66 получается цифра тысячных.

  4. 10⋅4=40=7⋅5+510 \cdot 4 = 40 = 7 \cdot \resaltar{5} + \resaltar{5}

    С остатком 44 получается четвёртая цифра.

  5. 10⋅5=50=7⋅7+110 \cdot 5 = 50 = 7 \cdot \resaltar{7} + \resaltar{1}

    С остатком 55 получается пятая.

  6. 10⋅1=10=7⋅1+310 \cdot 1 = 10 = 7 \cdot \resaltar{1} + \resaltar{3}

    С остатком 11 получается шестая; а новый остаток равен 33, тому же, с которого мы начали.

  7. 37=428571106+1106⋅37\frac{3}{7} = \frac{428571}{10^6} + \frac{1}{10^6} \cdot \resaltar{\frac{3}{7}}

    Отсюда деление повторяется шаг за шагом: то, что остаётся поделить, то есть 37\frac{3}{7}, умноженное на 1106\frac{1}{10^6}, есть то же частное, сдвинутое на шесть мест. Цифры образуют блок, который повторяется без конца.

Итак, запись числа 37\frac{3}{7} есть 0,428571428571…, с периодом 428571. В этом примере в зародыше содержится весь урок: цифры получаются из остатков, остатки меньше делителя, и, как только один из них повторяется, повторяется и всё, что следует за ним. Первый факт, который нужно обеспечить, состоит в том, что полученные так цифры действительно являются цифрами и что они приближают дробь сколь угодно точно.

ЛеммаЦифры деления столбиком

Пусть pp и qq суть натуральные числа, и пусть NN, r0r_0 и, для каждого натурального kk, ckc_k и rkr_k суть числа, которые даёт деление pp на qq столбиком. Тогда каждое ckc_k есть цифра, заключённая между 00 и 99, и для всякого натурального nn выполняется следующее равенство, в котором последнее слагаемое неотрицательно и меньше 110n\frac{1}{10^n}.

pq=N+∑k=1nck10k+rnq⋅10n\frac{p}{q} = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k} + \frac{r_n}{q \cdot 10^n}

Доказательство проводится индукцией по nn. Рисунок сопровождает рассуждение на примере 37\frac{3}{7}: каждая новая цифра выбирает одну из десяти частей предыдущего промежутка, который увеличивается, чтобы её было видно.

Доказательство

  1. qck≤10rk−1<10q→0≤ck≤9q c_k \le 10 r_{k - 1} < 10q \rightarrow 0 \le c_k \le 9

    Каждое ckc_k есть цифра: так как предыдущий остаток меньше qq, делимое 10rk−110 r_{k - 1} меньше 10q10q, и частное меньше 1010.

  2. pq=N+r0q\dato{base}{\frac{p}{q} = N + \frac{r_0}{q}}

    При n=0n = 0, без цифр, равенство есть первое деление с остатком, поделённое на qq.

  3. rnq⋅10n=10rnq⋅10n+1=qcn+1+rn+1q⋅10n+1=cn+110n+1+rn+1q⋅10n+1\dato{paso}{\frac{r_n}{q \cdot 10^n} = \frac{\resaltar{10 r_n}}{q \cdot 10^{n + 1}} = \frac{\resaltar{q c_{n + 1} + r_{n + 1}}}{q \cdot 10^{n + 1}} = \frac{c_{n + 1}}{10^{n + 1}} + \frac{r_{n + 1}}{q \cdot 10^{n + 1}}}

    Шаг индукции: последнее слагаемое переписывается с помощью следующего деления, 10rn=qcn+1+rn+110 r_n = q c_{n + 1} + r_{n + 1}, и разбивается на две дроби.

  4. pq=N+∑k=1n+1ck10k+rn+1q⋅10n+1\frac{p}{q} = N + \sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{c_k}{10^k} + \frac{r_{n + 1}}{q \cdot 10^{n + 1}}

    Подставляя это в равенство порядка nn, получаем равенство порядка n+1n + 1; по индукции равенство верно для всякого nn.

  5. 0≤pq−Tn=rnq⋅10n<110n0 \le \frac{p}{q} - T_n = \frac{\resaltar{r_n}}{q \cdot 10^n} < \frac{1}{10^n}

    Так как 0≤rn<q0 \le r_n < q, последнее слагаемое неотрицательно и меньше 110n\frac{1}{10^n}: дробь отстоит меньше чем на 110n\frac{1}{10^n} от своего усечения порядка nn, то есть от числа TnT_n, образованного целой частью и nn первыми цифрами.

Лемма утверждает, что pq\frac{p}{q} лежит в промежутке, который начинается в TnT_n и имеет длину 110n\frac{1}{10^n}, причём левый конец включается, а правый исключается; эти промежутки, которые будут подробно изучены в уроке о числовой прямой, записываются так:

Tn=N+∑k=1nck10k,pq∈[Tn,Tn+110n)T_n = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k}, \qquad \frac{p}{q} \in \ico{T_n}{T_n + \frac{1}{10^n}}