Числовая прямая: порядок, промежутки и модуль

Краткое содержание

В этом уроке действительные числа изучаются как точки прямой. Из трёх аксиом выводятся правила действий с неравенствами, с помощью свойства Архимеда доказывается, что рациональные числа плотны на прямой, с помощью полноты доказывается, что всякое неотрицательное действительное число имеет корень $n$ -й степени, определяются промежутки и характеризуются как множества без пробелов, а модуль вводится как мера расстояния, вместе с его основной леммой о неравенствах и неравенством треугольника. Задачи применяют эти средства к оценке произведений, решению уравнений и неравенств с модулями, контролю погрешности приближения и минимизации суммы расстояний.

Цели обучения

Вывести из аксиом порядка правила сложения, умножения и обращения неравенств и применять их, не умножая на числа неизвестного знака.
Применять свойство Архимеда и доказывать с его помощью, что между двумя различными действительными числами всегда есть рациональное.
Описывать множества действительных чисел с помощью промежутков, выполнять над ними операции и распознавать, когда множество является промежутком.
Истолковывать модуль как расстояние, переводить условия с модулями на язык промежутков и применять неравенство треугольника.

Числовая прямая

На прямой выбирают две точки: одна изображает число $0$ , а другая, расположенная правее неё, число $1$ . Длина отрезка, соединяющего их, служит единицей, и каждому действительному числу $x$ соответствует точка: если $x$ положительно, то точка, лежащая правее начала отсчёта на расстоянии $x$ ; если отрицательно, то точка, лежащая левее на расстоянии $-x$ . Рациональные числа занимают точки, которые строятся циркулем и линейкой, а их десятичная запись, изученная в уроке о десятичной записи рациональных чисел, указывает, в какое десятичное деление единицы попадает каждое из них. Однако в уроке о числовых множествах было показано, что рациональные числа оставляют пробелы, например тот, который занимает $\sqrt{2}$ , и было принято, что действительные числа образуют полное упорядоченное поле, аксиома полноты которого эти пробелы заполняет. Поэтому принимается, что соответствие между действительными числами и точками взаимно однозначно: каждому действительному числу соответствует точка, а каждой точке действительное число. Это отождествление не доказывается, потому что прямая геометрии не определяется здесь независимо от чисел; оно есть геометрическое прочтение полноты и называется числовой прямой.

Аксиомы порядка

Отношение «лежать левее» переводится в отношение порядка между действительными числами, которое определяется через множество положительных чисел. Среди аксиом, которые урок о числовых множествах принимает для действительных чисел наряду с аксиомами поля и аксиомой полноты, аксиомы порядка относятся к этому множеству, и их полезно напомнить:

Трихотомия: для каждого действительного $x$ выполняется ровно одно из трёх утверждений $x > 0$ , $x = 0$ или $-x > 0$ .
Сумма двух положительных чисел положительна.
Произведение двух положительных чисел положительно.

Действительное число $x$ называется отрицательным, если $-x$ положительно. Пишут $x < y$ , или $y > x$ , когда разность $y - x$ положительна, и $x \leq y$ , когда $x < y$ или $x = y$ . Применённая к $y - x$ , трихотомия утверждает, что для любых двух действительных чисел выполняется ровно одно из утверждений $x < y$ , $x = y$ или $y < x$ : из двух различных точек прямой одна всегда лежит левее другой. Кроме того, в решённой задаче 5 того же урока только с помощью этих аксиом и правила знаков было доказано, что квадрат всякого ненулевого действительного числа положителен; в частности, $1 = 1^2 > 0$ . Правила действий с неравенствами являются следствиями этих аксиом и аксиом поля; урок о числовых множествах вывел их в своей лемме о правилах порядка, а здесь они собраны вместе и истолкованы на прямой.

ТеоремаСвойства порядка

Для всех действительных $x$ , $y$ и $z$ : если $x < y$ и $y < z$ , то $x < z$ ; если $x < y$ , то $x + z < y + z$ ; если $x < y$ и $z > 0$ , то $xz < yz$ ; если $x < y$ и $z < 0$ , то $xz > yz$ ; если $x > 0$ , то обратное к нему число положительно; и если $0 < x < y$ , то $0 < \frac{1}{y} < \frac{1}{x}$ . Каждое утверждение сводится к определению знака разности, как в уроке о целых числах, где эти правила были доказаны для целых чисел; доказательство, повторяющее доказательство из урока о числовых множествах, выводится только из аксиом, и поэтому правила верны для всех действительных чисел. Рисунок изображает каждое свойство на прямой: сдвиг сохраняет порядок двух точек, растяжение от начала отсчёта тоже, а отражение или обращение меняет его на противоположный.

Доказательство

$z - x = \resaltar{(z - y) + (y - x)} > 0$
Транзитивность: если $x < y$ и $y < z$ , то разности $y - x$ и $z - y$ положительны, и по второй аксиоме положительна и их сумма, равная $z - x$ .
$(y + z) - (x + z) = \resaltar{y - x} > 0$
Согласованность со сложением: прибавление одного и того же числа $z$ к обеим частям не меняет разности.
$\dato{pos}{yz - xz = \resaltar{(y - x) z} > 0}$
Умножение на положительное число: если $z > 0$ , то разность $yz - xz$ есть произведение двух положительных чисел и положительна по третьей аксиоме.
$\dato{neg}{xz - yz = (y - x)\resaltar{(-z)} > 0}$
Умножение на отрицательное число: если $z < 0$ , то противоположное ему число $-z$ положительно, и предыдущий шаг, применённый к $-z$ , даёт положительную разность в обратном порядке.
$\dato{inv}{x > 0 \rightarrow \frac{1}{x} > 0}$
Знак обратного числа: пусть $x > 0$ . Если бы обратное к нему число было отрицательным, то при умножении $0 < x$ на него неравенство изменило бы знак, и получилось бы $0 > 1$ , что неверно; а обратное число не равно нулю, потому что его произведение на $x$ равно $1$ .
$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \resaltar{\frac{y - x}{xy}} > 0$
Обратные числа: если $0 < x < y$ , то разность обратных чисел есть произведение $y - x$ на число, обратное к $xy$ , и оба множителя положительны. Переход к обратным числам для двух положительных чисел меняет их порядок на противоположный.

Из этих правил следуют другие, которые используются постоянно. Два неравенства одного знака можно складывать: если $a < b$ и $c < d$ , то $a + c < b + c < b + d$ . Два неравенства между неотрицательными числами можно перемножать: если $0 \leq a \leq b$ и $0 \leq c \leq d$ , то $ac \leq bc \leq bd$ . Напротив, их нельзя почленно вычитать или делить, и их нельзя перемножать, если какая-нибудь часть отрицательна, как показывает решённая задача 1. Наконец, для неотрицательных чисел возведение в квадрат сохраняет порядок и отражает его, как было доказано в уроке о числовых множествах для степеней:

0 \leq p \wedge 0 \leq q \rightarrow \left(p < q \leftrightarrow p^2 < q^2\right)

Плотность рациональных чисел на прямой

Аксиома полноты, сформулированная в уроке о числовых множествах, утверждает, что всякое непустое ограниченное сверху множество действительных чисел имеет точную верхнюю грань, то есть наименьшую верхнюю границу. В уроке о десятичной записи рациональных чисел из неё было выведено свойство Архимеда: для всякого действительного числа существует натуральное число, большее его, так что точки $1, 2, 3, \ldots$ уходят по прямой неограниченно. Отсюда следует форма, которая часто используется: если $h > 0$ и $x$ есть любое действительное число, то существует натуральное $n$ , большее $\frac{x}{h}$ , и при умножении на $h$ , которое положительно, получается $nh > x$ . Геометрически, отрезок, сколь бы мал он ни был, повторённый достаточное число раз, превосходит любой другой; именно так им пользовался Архимед, по имени которого оно названо.

h > 0 \rightarrow (\forall x \in \mathbb{R})(\exists n \in \mathbb{N})(nh > x)

В уроке о рациональных числах было доказано, что между двумя различными рациональными числами бесконечно много рациональных. С помощью свойства Архимеда можно доказать нечто более сильное, тот факт, который урок о числовых множествах оставил принятым без доказательства: рациональные числа распределены по всей числовой прямой, так что нет ни одного промежутка, сколь бы коротким он ни был, который не содержал бы рационального числа.

ТеоремаПлотность рациональных чисел на числовой прямой

Между двумя различными действительными числами всегда есть рациональное число: если $x < y$ , то существует рациональное $q$ , такое что $x < q < y$ . Идея состоит в том, чтобы растянуть промежуток между $x$ и $y$ так, чтобы его длина превзошла $1$ , и он содержал целое число, а затем сжать его обратно. Рисунок показывает исходный промежуток сверху, а растянутый снизу.

Доказательство

$\dato{n}{ny > nx + 1}$
По свойству Архимеда, применённому к $h = y - x > 0$ , существует натуральное $n$ , такое что $n(y - x) > 1$ : растянутый в $n$ раз, промежуток длиннее единицы.
$\dato{m}{m - 1 \leq nx < m}$
Пусть $m$ есть наименьшее целое число, большее $nx$ . Оно существует: по свойству Архимеда есть натуральное $k$ , для которого $k > -nx$ , так что $nx + k > 0$ ; множество натуральных чисел, больших $nx + k$ , непусто, снова по свойству Архимеда, и по принципу вполне упорядоченности имеет наименьший элемент $j$ . Целое число $m = j - k$ больше $nx$ , а $m - 1$ нет, потому что $j - 1$ либо равно нулю, либо есть натуральное число, не превосходящее $nx + k$ .
$nx < m \leq \resaltar{nx + 1} < ny$
Прибавив $1$ к первому неравенству и соединив результат с неравенством из первого шага, получаем, что целое $m$ лежит строго между $nx$ и $ny$ .
$x < \resaltar{\frac{m}{n}} < y$
При делении на $n$ , которое положительно, неравенства сохраняются: частное от деления $m$ на $n$ , которое рационально, лежит между $x$ и $y$ .

Применённая снова к промежутку между $x$ и полученным рациональным числом, теорема даёт ещё одно рациональное число, и так далее: между двумя различными действительными числами бесконечно много рациональных. То же верно и для иррациональных чисел, как предлагается доказать в задаче для самостоятельного решения 4. Таким образом, рациональные и иррациональные числа перемешаны по всей прямой, хотя их десятичные записи столь различны по своей природе.

Существование корней

В уроке о числовых множествах арифметический корень $n$ -й степени из неотрицательного действительного числа $a$ был определён как единственное неотрицательное действительное число, $n$ -я степень которого равна $a$ ; там была доказана единственность, а существование было принято без доказательства, потому что его доказательство требует рассуждения с точными верхними гранями. С помощью полноты и правил порядка это рассуждение можно теперь провести. Используется оценка разности двух степеней: если $0 \leq c \leq b$ , то при раскрытии следующего произведения промежуточные члены взаимно уничтожаются, как в сумме геометрической прогрессии, и каждое из $n$ слагаемых второго множителя не больше $b^{n - 1}$ .

b^n - c^n = (b - c)\left(b^{n - 1} + b^{n - 2} c + \cdots + c^{n - 1}\right) \leq (b - c) \cdot n b^{n - 1}

ТеоремаСуществование корня

n

-й степени

Пусть $n \geq 2$ есть натуральное число. Для всякого действительного $a \geq 0$ существует действительное $s \geq 0$ , такое что $s^n = a$ . Если $a = 0$ , достаточно взять $s = 0$ ; далее считаем, что $a > 0$ . Искомый корень получается как точная верхняя грань неотрицательных чисел, $n$ -я степень которых не превосходит $a$ , а два строгих неравенства исключаются по отдельности. На рисунке изображены кривая $y = x^n$ и прямая на высоте $a$ : множество $S$ есть часть оси под той частью кривой, которая не поднимается выше прямой, и каждое ложное предположение о $s$ опровергается точкой, оказавшейся не с той стороны.

Доказательство

$x > 1 + a \rightarrow x^n \geq x > a$
Множество $S$ неотрицательных действительных чисел, $n$ -я степень которых не превосходит $a$ , содержит $0$ . Оно ограничено числом $1 + a$ : если $x > 1 + a$ , то $x > 1$ , и его степень не меньше $x$ , которое уже больше $a$ .
$\dato{s}{x \in S \rightarrow x \leq s}$
По полноте $S$ имеет точную верхнюю грань $s$ , которая неотрицательна, потому что $0$ принадлежит $S$ .
$\dato{h}{h = \frac{a - s^n}{a + n(s + 1)^{n - 1}}}$
Предположим, что $s^n < a$ . Возьмём число $h$ , положительное и меньшее $1$ , потому что его числитель меньше знаменателя.
$(s + h)^n - s^n \leq h \cdot n(s + 1)^{n - 1} \leq \resaltar{a - s^n}$
По оценке разности степеней, при $b = s + h \leq s + 1$ и $c = s$ , степень числа $s + h$ не превосходит $a$ ; значит, $s + h$ принадлежит $S$ и больше точной верхней грани этого множества, что невозможно.
$\dato{k}{h = \frac{s^n - a}{n s^{n - 1}}}$
Предположим, что $s^n > a$ . Тогда $s > 0$ , и возьмём другое число $h$ , положительное и меньшее $s$ , потому что $h \cdot n s^{n - 1} = s^n - a < s^n \leq n s^n$ .
$s^n - (s - h)^n \leq h \cdot n s^{n - 1} = \resaltar{s^n - a}$
При $b = s$ и $c = s - h$ оценка даёт, что степень числа $s - h$ не меньше $a$ .
$x \in S \rightarrow x \leq s - h < s$
Если бы некоторый элемент $x$ множества $S$ был больше $s - h$ , то по сохранению порядка степенями было бы $x^n > (s - h)^n \geq a$ , вопреки определению $S$ . Тогда $s - h$ было бы верхней границей $S$ , меньшей $s$ , что невозможно.
$s^n = a$
По трихотомии остаётся только равенство: $s$ есть арифметический корень $n$ -й степени из $a$ , единственный по доказанному в уроке о числовых множествах.

С помощью этой теоремы и плотности рациональных чисел завершается и отождествление, которое урок о числовых множествах оставил принятым без доказательства: точная верхняя грань множества $A$ рациональных чисел, квадрат которых меньше $2$ , равна $\sqrt{2}$ . Действительно, $\sqrt{2}$ есть верхняя граница $A$ , потому что если бы рациональное $x$ было больше $\sqrt{2}$ , то оно было бы положительным и его квадрат превосходил бы $2$ . И никакая меньшая граница не годится: если $u < \sqrt{2}$ , то плотность, применённая к промежутку от большего из чисел $u$ и $0$ до $\sqrt{2}$ , даёт рациональное $q$ , для которого $0 < q < \sqrt{2}$ и $u < q$ ; его квадрат меньше $2$ , потому что для неотрицательных чисел степени сохраняют порядок, так что $q$ принадлежит $A$ и больше $u$ .

Далее в этом уроке

Промежутки
Модуль
Решённые задачи
Промежуток для произведения
Сумма двух расстояний
Ближе к одной точке, чем к другой
Контроль погрешности квадрата
Точка, ближайшая к пяти домам
Задачи для самостоятельного решения
Наибольшее и наименьшее из двух чисел
Объединение двух промежутков
Ближе к первому
Иррациональное число между двумя действительными
Недостижимая точная верхняя грань

Продолжите чтение с бесплатным аккаунтом

Создайте бесплатный аккаунт, чтобы прочитать этот урок полностью и первые уроки каждого курса, а также сохранять свой прогресс.

Создать аккаунт Войти

Получите доступ ко всему курсу

Продолжение этого урока доступно по подписке. Подписка открывает доступ ко всем урокам каждого курса, с задачами и доказательствами.

Создать аккаунт Войти