المستقيم الحقيقي: الترتيب والفترات والقيمة المطلقة

ملخص

يدرس هذا الدرس الأعداد الحقيقية بوصفها نقاطًا على مستقيم. فهو يستنتج من ثلاث مسلّمات قواعد العمليات على المتباينات، ويبرهن بخاصية أرخميدس أن الأعداد النسبية كثيفة في المستقيم، ويبرهن بالتمام أن لكل عدد حقيقي غير سالب جذرًا ذا دليل $n$ ، ويعرّف الفترات ويميّزها بأنها المجموعات الخالية من الثغرات، ويقدّم القيمة المطلقة مقياسًا للمسافة، مع مبرهنتها المساعدة الأساسية في المتباينات ومتباينة المثلث. وتطبّق المسائل هذه الأدوات على حصر الجداءات، وحل المعادلات والمتراجحات ذات القيم المطلقة، وضبط خطأ التقريب، وجعل مجموع مسافات أصغر ما يمكن.

أهداف التعلم

استنتاج قواعد جمع المتباينات وضربها وقلبها من مسلّمات الترتيب، وتطبيقها دون الضرب في أعداد مجهولة الإشارة.
تطبيق خاصية أرخميدس والبرهنة بها على أنه يوجد دائمًا عدد نسبي بين أي عددين حقيقيين مختلفين.
وصف مجموعات الأعداد الحقيقية بواسطة الفترات، وإجراء العمليات عليها، والتعرّف على الحالات التي تكون فيها المجموعة فترة.
تفسير القيمة المطلقة بوصفها مسافة، وترجمة الشروط ذات القيم المطلقة إلى فترات، وتطبيق متباينة المثلث.

المستقيم الحقيقي

نختار على مستقيم نقطتين: إحداهما تمثّل العدد $0$ والأخرى، الواقعة على يمينها، العدد $1$ . ويُتّخذ طول القطعة المستقيمة الواصلة بينهما مقياسًا للأطوال، ويقابل كلَّ عدد حقيقي $x$ نقطةٌ: إذا كان $x$ موجبًا فهي النقطة الواقعة على يمين المبدأ على المسافة $x$ ؛ وإذا كان سالبًا فهي الواقعة على اليسار على المسافة $-x$ . وتشغل الأعداد النسبية نقاطًا تُنشأ بالمسطرة والفرجار، وتمثيلها العشري، المدروس في الدرس الخاص بـالتمثيل العشري للأعداد النسبية، يبيّن في أي تقسيم عشري لطول المقياس يقع كل منها. غير أنه تبيّن في الدرس الخاص بـالمجموعات العددية أن الأعداد النسبية تترك ثغرات، كالثغرة التي يشغلها $\sqrt{2}$ ، وقُبل أن الأعداد الحقيقية تكوّن حقلًا مرتبًا تامًّا، تملأ مسلّمةُ التمام فيه تلك الثغرات. ولذلك نقبل أن التقابل بين الأعداد الحقيقية والنقاط تقابل: لكل عدد حقيقي نقطة تقابله ولكل نقطة عدد حقيقي. وهذا التطابق لا يُبرهن، لأن مستقيم الهندسة لا يُعرّف هنا مستقلًّا عن الأعداد؛ إنه القراءة الهندسية للتمام، ويسمّى المستقيم الحقيقي.

مسلّمات الترتيب

تُترجم علاقة «يقع على يسار» إلى علاقة الترتيب بين الأعداد الحقيقية، التي تُعرّف انطلاقًا من مجموعة الأعداد الموجبة. ومن بين المسلّمات التي يقبلها الدرس الخاص بـالمجموعات العددية للأعداد الحقيقية، إلى جانب مسلّمات الحقل ومسلّمة التمام، تتعلق مسلّمات الترتيب بتلك المجموعة، ومن المفيد التذكير بها:

التثليث: لكل عدد حقيقي $x$ يتحقق واحد بالضبط من التأكيدات الثلاثة $x > 0$ أو $x = 0$ أو $-x > 0$ .
مجموع عددين موجبين موجب.
جداء عددين موجبين موجب.

يكون العدد الحقيقي $x$ سالبًا إذا كان $-x$ موجبًا. ونكتب $x < y$ ، أو $y > x$ ، حين يكون الفرق $y - x$ موجبًا، و $x \leq y$ حين يكون $x < y$ أو $x = y$ . وإذا طُبّق التثليث على $y - x$ فإنه يقول إنه لأي عددين حقيقيين يتحقق واحد بالضبط من التأكيدات $x < y$ أو $x = y$ أو $y < x$ : من نقطتين مختلفتين على المستقيم تقع إحداهما دائمًا على يسار الأخرى. وفضلًا عن ذلك، بُرهن في المسألة المحلولة 5 من الدرس نفسه، بهذه المسلّمات وقاعدة الإشارات وحدها، أن مربع كل عدد حقيقي غير منعدم موجب؛ وبالخصوص $1 = 1^2 > 0$ . وقواعد العمليات على المتباينات نتائج لهذه المسلّمات ولمسلّمات الحقل؛ وقد استنتجها الدرس الخاص بالمجموعات العددية في مبرهنته المساعدة عن قواعد الترتيب، وهي تُجمع هنا وتُفسَّر على المستقيم.

مبرهنةخصائص الترتيب

لكل الأعداد الحقيقية $x$ و $y$ و $z$ : إذا كان $x < y$ و $y < z$ فإن $x < z$ ؛ وإذا كان $x < y$ فإن $x + z < y + z$ ؛ وإذا كان $x < y$ و $z > 0$ فإن $xz < yz$ ؛ وإذا كان $x < y$ و $z < 0$ فإن $xz > yz$ ؛ وإذا كان $x > 0$ فإن مقلوبه موجب؛ وإذا كان $0 < x < y$ فإن $0 < \frac{1}{y} < \frac{1}{x}$ . يؤول كل تأكيد إلى تحديد إشارة فرق، كما في الدرس الخاص بـالأعداد الصحيحة، حيث بُرهنت هذه القواعد للأعداد الصحيحة؛ والبرهان، الذي يكرّر برهان الدرس الخاص بالمجموعات العددية، يُستنتج من المسلّمات وحدها، فالقواعد صحيحة إذن لكل الأعداد الحقيقية. ويمثّل الرسم كل خاصية على المستقيم: الانسحاب يحفظ ترتيب نقطتين، وكذلك التمديد انطلاقًا من المبدأ، أما الانعكاس أو أخذ المقلوب فيعكسه.

البرهان

$z - x = \resaltar{(z - y) + (y - x)} > 0$
التعدي: إذا كان $x < y$ و $y < z$ فإن الفرقين $y - x$ و $z - y$ موجبان، وبحسب المسلّمة الثانية يكون مجموعهما موجبًا أيضًا، وهو $z - x$ .
$(y + z) - (x + z) = \resaltar{y - x} > 0$
التوافق مع الجمع: إضافة العدد نفسه $z$ إلى الطرفين كليهما لا تغيّر الفرق.
$\dato{pos}{yz - xz = \resaltar{(y - x) z} > 0}$
الضرب في عدد موجب: إذا كان $z > 0$ فإن الفرق $yz - xz$ جداء عددين موجبين، وهو موجب بحسب المسلّمة الثالثة.
$\dato{neg}{xz - yz = (y - x)\resaltar{(-z)} > 0}$
الضرب في عدد سالب: إذا كان $z < 0$ فإن معاكسه $-z$ موجب، والخطوة السابقة، مطبّقةً على $-z$ ، تعطي فرقًا موجبًا بالترتيب المعاكس.
$\dato{inv}{x > 0 \rightarrow \frac{1}{x} > 0}$
إشارة المقلوب: ليكن $x > 0$ . لو كان مقلوبه سالبًا لانعكست المتباينة عند ضرب $0 < x$ فيه، ولنتج $0 > 1$ ، وهذا خطأ؛ والمقلوب ليس منعدمًا، لأن جداءه في $x$ يساوي $1$ .
$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \resaltar{\frac{y - x}{xy}} > 0$
المقلوبات: إذا كان $0 < x < y$ فإن فرق المقلوبين هو جداء $y - x$ في مقلوب $xy$ ، وكلاهما موجب. فأخذ مقلوبي عددين موجبين يعكس ترتيبهما.

ومن هذه القواعد تنتج قواعد أخرى تُستعمل باستمرار. فالمتباينتان من الاتجاه نفسه يمكن جمعهما: إذا كان $a < b$ و $c < d$ فإن $a + c < b + c < b + d$ . والمتباينتان بين أعداد غير سالبة يمكن ضربهما: إذا كان $0 \leq a \leq b$ و $0 \leq c \leq d$ فإن $ac \leq bc \leq bd$ . في المقابل، لا يمكن طرحهما ولا قسمتهما طرفًا بطرف، ولا يمكن ضربهما إذا كان أحد الأطراف سالبًا، كما تبيّن المسألة المحلولة 1. وأخيرًا، بين الأعداد غير السالبة يحفظ التربيع الترتيب ويعكسه في الاتجاه الآخر أيضًا، كما بُرهن في الدرس الخاص بالمجموعات العددية للقوى:

0 \leq p \wedge 0 \leq q \rightarrow \left(p < q \leftrightarrow p^2 < q^2\right)

كثافة الأعداد النسبية في المستقيم

تؤكد مسلّمة التمام، المنصوص عليها في الدرس الخاص بالمجموعات العددية، أن لكل مجموعة غير خالية من الأعداد الحقيقية محدودة من الأعلى حدًّا أعلى أصغر، أي أصغر حد أعلى. وفي الدرس الخاص بـالتمثيل العشري للأعداد النسبية استُنتجت منها خاصية أرخميدس: لكل عدد حقيقي يوجد عدد طبيعي أكبر منه، بحيث إن النقاط $1, 2, 3, \ldots$ تتقدّم على المستقيم دون أي حد. ومن ذلك تنتج صيغة تُستعمل كثيرًا: إذا كان $h > 0$ وكان $x$ أي عدد حقيقي، فإنه يوجد عدد طبيعي $n$ أكبر من $\frac{x}{h}$ ، وبالضرب في $h$ ، وهو موجب، ينتج $nh > x$ . وهندسيًا، فإن قطعة مستقيمة، مهما صغرت، إذا كُرّرت عددًا كافيًا من المرات تتجاوز أي قطعة أخرى؛ وهكذا استعملها أرخميدس، الذي تحمل اسمه.

h > 0 \rightarrow (\forall x \in \mathbb{R})(\exists n \in \mathbb{N})(nh > x)

في الدرس الخاص بـالأعداد النسبية بُرهن أنه يوجد بين أي عددين نسبيين مختلفين عدد لا نهائي من الأعداد النسبية. وبخاصية أرخميدس يمكن البرهنة على ما هو أقوى، أي على الحقيقة التي تركها الدرس الخاص بالمجموعات العددية مقبولة دون برهان: الأعداد النسبية موزّعة على المستقيم الحقيقي كله، فلا توجد فترة، مهما قصرت، لا تحتوي واحدًا منها.

مبرهنةكثافة الأعداد النسبية في المستقيم الحقيقي

بين أي عددين حقيقيين مختلفين يوجد دائمًا عدد نسبي: إذا كان $x < y$ فإنه يوجد عدد نسبي $q$ بحيث $x < q < y$ . الفكرة هي توسيع الفترة بين $x$ و $y$ حتى يتجاوز طولها $1$ ، فتحتوي عددًا صحيحًا، ثم تصغيرها. ويُظهر الرسم الفترة الأصلية في الأعلى والموسّعة في الأسفل.

البرهان

$\dato{n}{ny > nx + 1}$
بحسب خاصية أرخميدس، مطبّقةً على $h = y - x > 0$ ، يوجد عدد طبيعي $n$ بحيث $n(y - x) > 1$ : إذا وُسّعت الفترة $n$ مرات صار طولها أكبر من الواحد.
$\dato{m}{m - 1 \leq nx < m}$
ليكن $m$ أصغر عدد صحيح أكبر من $nx$ . إنه موجود: بحسب خاصية أرخميدس يوجد عدد طبيعي $k$ يحقق $k > -nx$ ، بحيث $nx + k > 0$ ؛ ومجموعة الأعداد الطبيعية الأكبر من $nx + k$ غير خالية، بحسب خاصية أرخميدس مرة أخرى، ولها بحسب مبدأ الترتيب الحسن عنصر أصغر $j$ . والعدد الصحيح $m = j - k$ أكبر من $nx$ ، أما $m - 1$ فليس كذلك، لأن $j - 1$ إما منعدم وإما عدد طبيعي لا يتجاوز $nx + k$ .
$nx < m \leq \resaltar{nx + 1} < ny$
بإضافة $1$ إلى المتباينة الأولى وربطها بمتباينة الخطوة الأولى، يقع العدد الصحيح $m$ بين $nx$ و $ny$ قطعًا.
$x < \resaltar{\frac{m}{n}} < y$
بالقسمة على $n$ ، وهو موجب، تُحفظ المتباينات: خارج قسمة $m$ على $n$ ، وهو عدد نسبي، يقع بين $x$ و $y$ .

إذا طُبّقت المبرهنة مرة أخرى على الفترة بين $x$ والعدد النسبي الذي حُصل عليه أعطت عددًا نسبيًا آخر، وهكذا دواليك: بين أي عددين حقيقيين مختلفين يوجد عدد لا نهائي من الأعداد النسبية. والأمر نفسه يصح للأعداد غير النسبية، كما يُطلب البرهان عليه في المسألة المقترحة 4. فالأعداد النسبية وغير النسبية إذن متداخلة على المستقيم كله، وإن كانت تمثيلاتها العشرية مختلفة الطبيعة إلى هذا الحد.

وجود الجذور

في الدرس الخاص بالمجموعات العددية عُرّف الجذر الرئيسي ذو الدليل $n$ لعدد حقيقي غير سالب $a$ بأنه العدد الحقيقي غير السالب الوحيد الذي قوته ذات الرتبة $n$ تساوي $a$ ؛ وهناك بُرهنت الوحدانية وتُرك الوجود مقبولًا دون برهان، لأن برهانه يتطلب حجة بالحدود العليا الصغرى. وبالتمام وقواعد الترتيب يمكن الآن تقديم تلك الحجة. ونستعمل حدًّا لفرق قوتين: إذا كان $0 \leq c \leq b$ فإنه عند نشر الجداء الآتي تتلاشى الحدود الوسطى، كما في مجموع متتالية هندسية، وكل حد من حدود العامل الثاني، وعددها $n$ ، لا يتجاوز $b^{n - 1}$ .

b^n - c^n = (b - c)\left(b^{n - 1} + b^{n - 2} c + \cdots + c^{n - 1}\right) \leq (b - c) \cdot n b^{n - 1}

مبرهنةوجود الجذر ذي الدليل

n

ليكن $n \geq 2$ عددًا طبيعيًا. لكل عدد حقيقي $a \geq 0$ يوجد عدد حقيقي $s \geq 0$ بحيث $s^n = a$ . إذا كان $a = 0$ يكفي أخذ $s = 0$ ؛ وفيما يلي $a > 0$ . ويُحصل على الجذر المطلوب بوصفه الحد الأعلى الأصغر للأعداد غير السالبة التي لا تتجاوز قوتها ذات الرتبة $n$ العدد $a$ ، وتُستبعد المتباينتان الصارمتان كل على حدة. ويرسم الرسمُ المنحنى $y = x^n$ والمستقيم الذي ارتفاعه $a$ : المجموعة $S$ هي جزء المحور الواقع تحت قسم المنحنى الذي لا يرتفع فوق المستقيم، وكل افتراض خاطئ حول $s$ يُدحض بنقطة تقع في الجهة الخاطئة.

البرهان

$x > 1 + a \rightarrow x^n \geq x > a$
المجموعة $S$ للأعداد الحقيقية غير السالبة التي لا تتجاوز قوتها ذات الرتبة $n$ العدد $a$ تحتوي $0$ . وهي محدودة بـ $1 + a$ : إذا كان $x > 1 + a$ فإن $x > 1$ ، وقوته لا تقل عن $x$ ، الذي يتجاوز $a$ أصلًا.
$\dato{s}{x \in S \rightarrow x \leq s}$
بحسب التمام، للمجموعة $S$ حد أعلى أصغر $s$ ، وهو غير سالب لأن $0$ ينتمي إلى $S$ .
$\dato{h}{h = \frac{a - s^n}{a + n(s + 1)^{n - 1}}}$
لنفترض أن $s^n < a$ . نأخذ عددًا $h$ موجبًا وأصغر من $1$ ، لأن بسطه أصغر من مقامه.
$(s + h)^n - s^n \leq h \cdot n(s + 1)^{n - 1} \leq \resaltar{a - s^n}$
بحسب حد فرق القوى، مع $b = s + h \leq s + 1$ و $c = s$ ، لا تتجاوز قوة $s + h$ العدد $a$ ؛ فينتمي $s + h$ إذن إلى $S$ ويكون أكبر من حدها الأعلى الأصغر، وهذا مستحيل.
$\dato{k}{h = \frac{s^n - a}{n s^{n - 1}}}$
لنفترض أن $s^n > a$ . عندئذ $s > 0$ ، ونأخذ عددًا آخر $h$ ، موجبًا وأصغر من $s$ ، لأن $h \cdot n s^{n - 1} = s^n - a < s^n \leq n s^n$ .
$s^n - (s - h)^n \leq h \cdot n s^{n - 1} = \resaltar{s^n - a}$
مع $b = s$ و $c = s - h$ ، يعطي الحد أن قوة $s - h$ لا تقل عن $a$ .
$x \in S \rightarrow x \leq s - h < s$
لو كان عنصر $x$ من $S$ أكبر من $s - h$ ، لكان لدينا بحفظ القوى للترتيب $x^n > (s - h)^n \geq a$ ، خلافًا لتعريف $S$ . فيكون $s - h$ حدًّا أعلى لـ $S$ أصغر من $s$ ، وهذا مستحيل.
$s^n = a$
بحسب التثليث، لا تبقى إلا المساواة: $s$ هو الجذر الرئيسي ذو الدليل $n$ للعدد $a$ ، وهو وحيد بما بُرهن في الدرس الخاص بالمجموعات العددية.

وبهذه المبرهنة وبكثافة الأعداد النسبية يكتمل أيضًا التطابق الذي تركه الدرس الخاص بالمجموعات العددية مقبولًا دون برهان: الحد الأعلى الأصغر للمجموعة $A$ من الأعداد النسبية التي مربعها أصغر من $2$ هو $\sqrt{2}$ . ذلك أن $\sqrt{2}$ حد أعلى لـ $A$ ، لأنه لو كان عدد نسبي $x$ أكبر من $\sqrt{2}$ لكان موجبًا ولتجاوز مربعه $2$ . ولا يصلح أي حد أصغر: إذا كان $u < \sqrt{2}$ فإن الكثافة، مطبّقةً على الفترة الممتدة من أكبر العددين $u$ و $0$ إلى $\sqrt{2}$ ، تعطي عددًا نسبيًا $q$ يحقق $0 < q < \sqrt{2}$ و $u < q$ ؛ ومربعه أصغر من $2$ ، لأن القوى تحفظ الترتيب بين الأعداد غير السالبة، فينتمي $q$ إلى $A$ ويتجاوز $u$ .