انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

التمثيل العشري للأعداد النسبية

ملخص

يدرس هذا الدرس الكتابة العشرية للأعداد النسبية. فهو يبيّن أن أرقام خارج القسمة تنشأ من بواقي القسمة المطولة، ويعرّف قيمة تمثيل عشري غير منتهٍ بواسطة فترات متداخلة وخاصية أرخميدس، ويبرهن المبرهنات الثلاث التي تميّزه: يكون للكسر غير القابل للاختزال تمثيل منتهٍ إذا وفقط إذا لم يكن لمقامه عوامل أولية غير 22 و55؛ وتمثيل كل عدد نسبي منتهٍ أو دوري، وطول دوره أصغر من المقام؛ وبالعكس، كل تمثيل دوري يمثّل عددًا نسبيًا يُحصل على كسره المولِّد بمجموع متتالية هندسية. ويترتب على ذلك تساوي 0,999… و11، وتمييز الأعداد غير النسبية بتمثيلاتها غير الدورية، وأخيرًا الكتابة العلمية والأرقام المعنوية والحد الأعلى للخطأ الذي يُحدثه التقريب.

أهداف التعلم

  1. الحصول على التمثيل العشري لكسر بالقسمة المطولة، وتعليل، بواسطة البواقي، لماذا يقع كل رقم بين 00 و99 ولماذا يقرّب التمثيل الكسر.
  2. تقرير ما إذا كان تمثيل كسر منتهيًا أو دوريًا انطلاقًا من تحليل مقامه إلى عوامل أولية، وحدّ طول دوره من الأعلى.
  3. إيجاد الكسر المولِّد لتمثيل دوري، وتعليل مساواة كمساواة 0,999… و11 تعليلًا دقيقًا.
  4. كتابة الأعداد بالكتابة العلمية، وتقريبها إلى عدد معطى من الأرقام المعنوية، وحدّ الخطأين المطلق والنسبي الناتجين من الأعلى.

القسمة المطولة والأرقام العشرية

في الدرس الخاص بـالأعداد النسبية دُرست الكسور والعمليات عليها؛ وفي الدرس الخاص بـأنظمة العدّ الموضعية دُرست كتابة الأعداد الطبيعية بالأرقام. والتمثيل العشري يجمع الأمرين: فهو يمدّ الكتابة الموضعية إلى يمين الفاصلة، بقوى سالبة للعدد 1010. وهكذا فإن العدد الذي يُكتب 0,375 هو، بالتعريف، مجموع أعشار وأجزاء من مئة وأجزاء من ألف:

310+7102+5103=375103=38\frac{3}{10} + \frac{7}{10^2} + \frac{5}{10^3} = \frac{375}{10^3} = \frac{3}{8}

وبوجه عام، يتكوّن التمثيل العشري المنتهي من جزء صحيح NN ومن عدد منتهٍ من الأرقام c1,c2,…,cnc_1, c_2, \ldots, c_n، يقع كل منها بين 00 و99، ويمثّل العدد الآتي:

N+c110+c2102+⋯+cn10n=N+∑k=1nck10kN + \frac{c_1}{10} + \frac{c_2}{10^2} + \cdots + \frac{c_n}{10^n} = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k}

لمّا كانت إشارة العدد النسبي تُكتب على حدة، كفى أن ندرس الأعداد النسبية الموجبة. ولإيجاد تمثيل كسر pq\frac{p}{q} حدّاه طبيعيان تُستعمل القسمة المطولة، وما هي إلا القسمة مع الباقي مكرّرة: أولًا يُقسم pp على qq، فيعطي ذلك الجزء الصحيح NN وباقيًا r0r_0؛ ثم في كل خطوة يُضرب في 1010 الباقي الأخير ويُقسم على qq. وخارج هذه القسمة هو الرقم اللاحق، وباقيها يغذّي الخطوة التي تليها:

p=qN+r0,10rk−1=qck+rk,0≤rk<qp = qN + r_0, \qquad 10 r_{k - 1} = q c_k + r_k, \qquad 0 \le r_k < q
مثالالقسمة المطولة لـ 3 على 7

نحسب أرقام 37\frac{3}{7}. في كل خطوة يُكتب المقسوم، وهو عشرة أمثال الباقي السابق، والرقم الناتج والباقي الجديد. ويبيّن الرسم سُلّم القسمات، وفي أعلاه الأرقام التي تتراكم.

البرهان

  1. 10⋅3=30=7⋅4+210 \cdot \dato{r0}{3} = 30 = 7 \cdot \resaltar{4} + \resaltar{2}

    بما أن 3<73 < 7، فإن الجزء الصحيح هو 00 والباقي الأول هو البسط نفسه، r0=3r_0 = 3. نضرب الباقي في 1010 ونقسم على 77: رقم الأعشار هو 44.

  2. 10⋅2=20=7⋅2+610 \cdot 2 = 20 = 7 \cdot \resaltar{2} + \resaltar{6}

    بالباقي 22 نحصل على رقم أجزاء المئة.

  3. 10⋅6=60=7⋅8+410 \cdot 6 = 60 = 7 \cdot \resaltar{8} + \resaltar{4}

    وبالباقي 66، على رقم أجزاء الألف.

  4. 10⋅4=40=7⋅5+510 \cdot 4 = 40 = 7 \cdot \resaltar{5} + \resaltar{5}

    وبالباقي 44، على الرقم الرابع.

  5. 10⋅5=50=7⋅7+110 \cdot 5 = 50 = 7 \cdot \resaltar{7} + \resaltar{1}

    وبالباقي 55، على الخامس.

  6. 10⋅1=10=7⋅1+310 \cdot 1 = 10 = 7 \cdot \resaltar{1} + \resaltar{3}

    وبالباقي 11، على السادس؛ والباقي الجديد هو 33، وهو نفسه الذي بدأنا به.

  7. 37=428571106+1106⋅37\frac{3}{7} = \frac{428571}{10^6} + \frac{1}{10^6} \cdot \resaltar{\frac{3}{7}}

    من هنا تتكرر القسمة خطوة خطوة: ما بقي للقسمة، أي 37\frac{3}{7} مضروبًا في 1106\frac{1}{10^6}، هو خارج القسمة نفسه مزاحًا ستة مواضع. وتشكّل الأرقام كتلة تتكرر بلا نهاية.

فتمثيل 37\frac{3}{7} إذن هو 0,428571428571…، ودوره 428571. ويحوي هذا المثال في بذرته الدرس كله: الأرقام تخرج من البواقي، والبواقي أصغر من المقسوم عليه، وما إن يتكرر أحدها حتى يتكرر كل ما يليه. وأول حقيقة ينبغي التثبت منها هي أن الأرقام التي نحصل عليها هكذا أرقام حقًا وأنها تقرّب الكسر بالقدر الذي نشاء.

توطئةأرقام القسمة المطولة

ليكن pp وqq عددين طبيعيين، ولتكن NN وr0r_0، ولكل عدد طبيعي kk، ckc_k وrkr_k الأعداد التي تعطيها القسمة المطولة لـ pp على qq. عندئذ كل ckc_k رقم يقع بين 00 و99، ولكل عدد طبيعي nn تتحقق المساواة الآتية، التي يكون فيها الحد الأخير غير سالب وأصغر من 110n\frac{1}{10^n}.

pq=N+∑k=1nck10k+rnq⋅10n\frac{p}{q} = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k} + \frac{r_n}{q \cdot 10^n}

يجري البرهان بالاستقراء على nn. ويرافق الرسم الحجة بالمثال 37\frac{3}{7}: كل رقم جديد يختار أحد الأجزاء العشرة للفترة السابقة، التي تُكبَّر لكي يُرى.

البرهان

  1. qck≤10rk−1<10q→0≤ck≤9q c_k \le 10 r_{k - 1} < 10q \rightarrow 0 \le c_k \le 9

    كل ckc_k رقم: لأن الباقي السابق أصغر من qq، فإن المقسوم 10rk−110 r_{k - 1} أصغر من 10q10q، وخارج القسمة أصغر من 1010.

  2. pq=N+r0q\dato{base}{\frac{p}{q} = N + \frac{r_0}{q}}

    من أجل n=0n = 0، أي دون أرقام، المساواة هي القسمة الأولى مع الباقي، مقسومة على qq.

  3. rnq⋅10n=10rnq⋅10n+1=qcn+1+rn+1q⋅10n+1=cn+110n+1+rn+1q⋅10n+1\dato{paso}{\frac{r_n}{q \cdot 10^n} = \frac{\resaltar{10 r_n}}{q \cdot 10^{n + 1}} = \frac{\resaltar{q c_{n + 1} + r_{n + 1}}}{q \cdot 10^{n + 1}} = \frac{c_{n + 1}}{10^{n + 1}} + \frac{r_{n + 1}}{q \cdot 10^{n + 1}}}

    الخطوة الاستقرائية: يُعاد كتابة الحد الأخير بالقسمة اللاحقة، 10rn=qcn+1+rn+110 r_n = q c_{n + 1} + r_{n + 1}، ويُفصل إلى كسرين.

  4. pq=N+∑k=1n+1ck10k+rn+1q⋅10n+1\frac{p}{q} = N + \sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{c_k}{10^k} + \frac{r_{n + 1}}{q \cdot 10^{n + 1}}

    بالتعويض في مساواة الرتبة nn نحصل على مساواة الرتبة n+1n + 1؛ وبالاستقراء تصح المساواة لكل nn.

  5. 0≤pq−Tn=rnq⋅10n<110n0 \le \frac{p}{q} - T_n = \frac{\resaltar{r_n}}{q \cdot 10^n} < \frac{1}{10^n}

    بما أن 0≤rn<q0 \le r_n < q، فإن الحد الأخير غير سالب وأصغر من 110n\frac{1}{10^n}: يبعد الكسر أقل من 110n\frac{1}{10^n} عن بتره من الرتبة nn، وهو العدد TnT_n المكوَّن من الجزء الصحيح ومن الأرقام nn الأولى.

تقول التوطئة إن pq\frac{p}{q} يقع في الفترة التي تبدأ عند TnT_n وطولها 110n\frac{1}{10^n}، مع إدخال الطرف الأيسر واستبعاد الأيمن؛ وهذه الفترات، التي ستُدرس بالتفصيل في الدرس الخاص بـالمستقيم الحقيقي، تُكتب هكذا:

Tn=N+∑k=1nck10k,pq∈[Tn,Tn+110n)T_n = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k}, \qquad \frac{p}{q} \in \ico{T_n}{T_n + \frac{1}{10^n}}