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Topos Uranos
Français

Le développement décimal des nombres rationnels

Résumé

Cette leçon étudie l’écriture décimale des nombres rationnels. Elle montre que les chiffres d’un quotient naissent des restes de la division posée, définit la valeur d’un développement décimal infini au moyen d’intervalles emboîtés et de la propriété d’Archimède, et démontre les trois théorèmes qui le caractérisent : une fraction irréductible a un développement fini si et seulement si son dénominateur n’a pas d’autres facteurs premiers que 22 et 55 ; le développement de tout rationnel est fini ou périodique, avec une période de longueur strictement inférieure au dénominateur ; et, réciproquement, tout développement périodique représente un rationnel, dont la fraction génératrice s’obtient par la somme d’une suite géométrique. Il en découle l’égalité entre 0,999… et 11, la caractérisation des irrationnels par leurs développements non périodiques et, enfin, l’écriture scientifique, les chiffres significatifs et la borne de l’erreur que commet l’arrondi.

Objectifs d’apprentissage

  1. Obtenir le développement décimal d’une fraction par la division posée et justifier, à l’aide des restes, pourquoi chaque chiffre est compris entre 00 et 99 et pourquoi le développement approche la fraction.
  2. Décider, à partir de la décomposition du dénominateur, si une fraction a un développement fini ou périodique, et majorer la longueur de sa période.
  3. Trouver la fraction génératrice d’un développement périodique et justifier avec rigueur des égalités comme celle de 0,999… avec 11.
  4. Écrire des nombres en écriture scientifique, les arrondir à un nombre donné de chiffres significatifs et majorer les erreurs absolue et relative que l’on commet.

La division posée et les chiffres décimaux

Dans la leçon sur les nombres rationnels, on a étudié les fractions et leurs opérations ; dans la leçon sur les systèmes de numération de position, l’écriture des entiers naturels avec des chiffres. Le développement décimal réunit les deux : il prolonge la numération de position à droite de la virgule, avec des puissances négatives de 1010. Ainsi, le nombre qui s’écrit 0,375 est, par définition, une somme de dixièmes, de centièmes et de millièmes :

310+7102+5103=375103=38\frac{3}{10} + \frac{7}{10^2} + \frac{5}{10^3} = \frac{375}{10^3} = \frac{3}{8}

En général, un développement décimal fini se compose d’une partie entière NN et d’un nombre fini de chiffres c1,c2,…,cnc_1, c_2, \ldots, c_n, chacun compris entre 00 et 99, et représente le nombre suivant :

N+c110+c2102+⋯+cn10n=N+∑k=1nck10kN + \frac{c_1}{10} + \frac{c_2}{10^2} + \cdots + \frac{c_n}{10^n} = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k}

Comme le signe d’un rationnel s’écrit à part, il suffit d’étudier les rationnels strictement positifs. Pour trouver le développement d’une fraction pq\frac{p}{q} d’entiers naturels, on utilise la division posée, qui n’est rien d’autre que la division euclidienne répétée : on divise d’abord pp par qq, ce qui donne la partie entière NN et un reste r0r_0 ; ensuite, à chaque étape, on multiplie par 1010 le dernier reste et on le divise par qq. Le quotient de cette division est le chiffre suivant, et son reste alimente l’étape qui vient après :

p=qN+r0,10rk−1=qck+rk,0≤rk<qp = qN + r_0, \qquad 10 r_{k - 1} = q c_k + r_k, \qquad 0 \le r_k < q
ExempleLa division posée de 3 par 7

Nous calculons les chiffres de 37\frac{3}{7}. À chaque étape, nous écrivons le dividende, qui est dix fois le reste précédent, le chiffre obtenu et le nouveau reste. La figure montre l’escalier des divisions et, au-dessus, les chiffres qui s’accumulent.

Démonstration

  1. 10⋅3=30=7⋅4+210 \cdot \dato{r0}{3} = 30 = 7 \cdot \resaltar{4} + \resaltar{2}

    Comme 3<73 < 7, la partie entière est 00 et le premier reste est le numérateur lui-même, r0=3r_0 = 3. Nous multiplions le reste par 1010 et divisons par 77 : le chiffre des dixièmes est 44.

  2. 10⋅2=20=7⋅2+610 \cdot 2 = 20 = 7 \cdot \resaltar{2} + \resaltar{6}

    Avec le reste 22, nous obtenons le chiffre des centièmes.

  3. 10⋅6=60=7⋅8+410 \cdot 6 = 60 = 7 \cdot \resaltar{8} + \resaltar{4}

    Avec le reste 66, celui des millièmes.

  4. 10⋅4=40=7⋅5+510 \cdot 4 = 40 = 7 \cdot \resaltar{5} + \resaltar{5}

    Avec le reste 44, le quatrième chiffre.

  5. 10⋅5=50=7⋅7+110 \cdot 5 = 50 = 7 \cdot \resaltar{7} + \resaltar{1}

    Avec le reste 55, le cinquième.

  6. 10⋅1=10=7⋅1+310 \cdot 1 = 10 = 7 \cdot \resaltar{1} + \resaltar{3}

    Avec le reste 11, le sixième ; et le nouveau reste est 33, celui-là même par lequel nous avons commencé.

  7. 37=428571106+1106⋅37\frac{3}{7} = \frac{428571}{10^6} + \frac{1}{10^6} \cdot \resaltar{\frac{3}{7}}

    À partir d’ici, la division se répète étape par étape : ce qui reste à diviser, 37\frac{3}{7} multiplié par 1106\frac{1}{10^6}, est le même quotient décalé de six rangs. Les chiffres forment un bloc qui se répète sans fin.

Le développement de 37\frac{3}{7} est donc 0,428571428571…, de période 428571. L’exemple contient en germe toute la leçon : les chiffres viennent des restes, les restes sont strictement inférieurs au diviseur et, dès que l’un d’eux se répète, tout ce qui suit se répète. Le premier fait qu’il convient d’établir est que les chiffres ainsi obtenus sont de vrais chiffres et qu’ils approchent la fraction d’aussi près que l’on veut.

LemmeLes chiffres de la division posée

Soient pp et qq des entiers naturels, et soient NN, r0r_0 et, pour chaque entier naturel kk, ckc_k et rkr_k les nombres que donne la division posée de pp par qq. Alors chaque ckc_k est un chiffre, compris entre 00 et 99, et pour tout entier naturel nn on a l’égalité suivante, dans laquelle le dernier terme est positif ou nul et strictement inférieur à 110n\frac{1}{10^n}.

pq=N+∑k=1nck10k+rnq⋅10n\frac{p}{q} = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k} + \frac{r_n}{q \cdot 10^n}

La démonstration procède par récurrence sur nn. La figure accompagne le raisonnement avec 37\frac{3}{7} : chaque nouveau chiffre choisit l’une des dix parties de l’intervalle précédent, que l’on agrandit pour la voir.

Démonstration

  1. qck≤10rk−1<10q→0≤ck≤9q c_k \le 10 r_{k - 1} < 10q \rightarrow 0 \le c_k \le 9

    Chaque ckc_k est un chiffre : comme le reste précédent est strictement inférieur à qq, le dividende 10rk−110 r_{k - 1} est strictement inférieur à 10q10q, et le quotient est strictement inférieur à 1010.

  2. pq=N+r0q\dato{base}{\frac{p}{q} = N + \frac{r_0}{q}}

    Pour n=0n = 0, sans chiffres, l’égalité est la première division euclidienne, divisée par qq.

  3. rnq⋅10n=10rnq⋅10n+1=qcn+1+rn+1q⋅10n+1=cn+110n+1+rn+1q⋅10n+1\dato{paso}{\frac{r_n}{q \cdot 10^n} = \frac{\resaltar{10 r_n}}{q \cdot 10^{n + 1}} = \frac{\resaltar{q c_{n + 1} + r_{n + 1}}}{q \cdot 10^{n + 1}} = \frac{c_{n + 1}}{10^{n + 1}} + \frac{r_{n + 1}}{q \cdot 10^{n + 1}}}

    Hérédité : nous réécrivons le dernier terme avec la division suivante, 10rn=qcn+1+rn+110 r_n = q c_{n + 1} + r_{n + 1}, et nous le séparons en deux fractions.

  4. pq=N+∑k=1n+1ck10k+rn+1q⋅10n+1\frac{p}{q} = N + \sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{c_k}{10^k} + \frac{r_{n + 1}}{q \cdot 10^{n + 1}}

    En substituant dans l’égalité d’ordre nn, nous obtenons celle d’ordre n+1n + 1 ; par récurrence, l’égalité est vraie pour tout nn.

  5. 0≤pq−Tn=rnq⋅10n<110n0 \le \frac{p}{q} - T_n = \frac{\resaltar{r_n}}{q \cdot 10^n} < \frac{1}{10^n}

    Comme 0≤rn<q0 \le r_n < q, le dernier terme est positif ou nul et strictement inférieur à 110n\frac{1}{10^n} : la fraction est à une distance strictement inférieure à 110n\frac{1}{10^n} de sa troncature d’ordre nn, le nombre TnT_n formé par la partie entière et les nn premiers chiffres.

Le lemme dit que pq\frac{p}{q} appartient à l’intervalle qui commence en TnT_n et a pour longueur 110n\frac{1}{10^n}, extrémité gauche incluse et extrémité droite exclue ; ces intervalles, qui seront étudiés en détail dans la leçon sur la droite réelle, s’écrivent ainsi :

Tn=N+∑k=1nck10k,pq∈[Tn,Tn+110n)T_n = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k}, \qquad \frac{p}{q} \in \ico{T_n}{T_n + \frac{1}{10^n}}