Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Η δεκαδική παράσταση των ρητών αριθμών

Περίληψη

Το μάθημα αυτό μελετά τη δεκαδική γραφή των ρητών αριθμών. Δείχνει ότι τα ψηφία ενός πηλίκου γεννιούνται από τα υπόλοιπα της κατακόρυφης διαίρεσης, ορίζει την τιμή μιας άπειρης δεκαδικής παράστασης μέσω εγκιβωτισμένων διαστημάτων και της αρχιμήδειας ιδιότητας, και αποδεικνύει τα τρία θεωρήματα που τη χαρακτηρίζουν: ένα ανάγωγο κλάσμα έχει πεπερασμένη παράσταση αν και μόνο αν ο παρονομαστής του δεν έχει άλλους πρώτους παράγοντες εκτός από τους 22 και 55· η παράσταση κάθε ρητού είναι πεπερασμένη ή περιοδική, με περίοδο μήκους μικρότερου από τον παρονομαστή· και, αντιστρόφως, κάθε περιοδική παράσταση παριστάνει έναν ρητό, του οποίου το παράγον κλάσμα προκύπτει από το άθροισμα μιας γεωμετρικής προόδου. Από αυτά έπονται η ισότητα του 0,999… με το 11, ο χαρακτηρισμός των άρρητων από τις μη περιοδικές παραστάσεις τους και, τέλος, η επιστημονική γραφή, τα σημαντικά ψηφία και το φράγμα του σφάλματος που προκαλεί η στρογγυλοποίηση.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να βρίσκει τη δεκαδική παράσταση ενός κλάσματος με την κατακόρυφη διαίρεση και να αιτιολογεί, με τα υπόλοιπα, γιατί κάθε ψηφίο είναι μεταξύ 00 και 99 και γιατί η παράσταση προσεγγίζει το κλάσμα.
  2. Να αποφασίζει, από την ανάλυση του παρονομαστή σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, αν ένα κλάσμα έχει πεπερασμένη ή περιοδική παράσταση, και να φράσσει το μήκος της περιόδου του.
  3. Να βρίσκει το παράγον κλάσμα μιας περιοδικής παράστασης και να αιτιολογεί αυστηρά ισότητες όπως εκείνη του 0,999… με το 11.
  4. Να γράφει αριθμούς σε επιστημονική γραφή, να τους στρογγυλοποιεί σε δεδομένο πλήθος σημαντικών ψηφίων και να φράσσει το απόλυτο και το σχετικό σφάλμα που προκύπτουν.

Η κατακόρυφη διαίρεση και τα δεκαδικά ψηφία

Στο μάθημα για τους ρητούς αριθμούς μελετήθηκαν τα κλάσματα και οι πράξεις τους· στο μάθημα για τα θεσιακά συστήματα αρίθμησης, η γραφή των φυσικών με ψηφία. Η δεκαδική παράσταση ενώνει τα δύο: επεκτείνει τη θεσιακή γραφή δεξιά της υποδιαστολής, με αρνητικές δυνάμεις του 1010. Έτσι, ο αριθμός που γράφεται 0,375 είναι, εξ ορισμού, ένα άθροισμα δεκάτων, εκατοστών και χιλιοστών:

310+7102+5103=375103=38\frac{3}{10} + \frac{7}{10^2} + \frac{5}{10^3} = \frac{375}{10^3} = \frac{3}{8}

Γενικά, μια πεπερασμένη δεκαδική παράσταση αποτελείται από ένα ακέραιο μέρος NN και από πεπερασμένο πλήθος ψηφίων c1,c2,…,cnc_1, c_2, \ldots, c_n, καθένα μεταξύ 00 και 99, και παριστάνει τον εξής αριθμό:

N+c110+c2102+⋯+cn10n=N+∑k=1nck10kN + \frac{c_1}{10} + \frac{c_2}{10^2} + \cdots + \frac{c_n}{10^n} = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k}

Επειδή το πρόσημο ενός ρητού γράφεται χωριστά, αρκεί να μελετήσουμε τους θετικούς ρητούς. Για να βρεθεί η παράσταση ενός κλάσματος pq\frac{p}{q} φυσικών χρησιμοποιείται η κατακόρυφη διαίρεση, που δεν είναι παρά η διαίρεση με υπόλοιπο επαναλαμβανόμενη: πρώτα διαιρείται ο pp με τον qq, πράγμα που δίνει το ακέραιο μέρος NN και ένα υπόλοιπο r0r_0· έπειτα, σε κάθε βήμα, πολλαπλασιάζεται επί 1010 το τελευταίο υπόλοιπο και διαιρείται με τον qq. Το πηλίκο αυτής της διαίρεσης είναι το επόμενο ψηφίο και το υπόλοιπό της τροφοδοτεί το βήμα που ακολουθεί:

p=qN+r0,10rk−1=qck+rk,0≤rk<qp = qN + r_0, \qquad 10 r_{k - 1} = q c_k + r_k, \qquad 0 \le r_k < q
ΠαράδειγμαΗ κατακόρυφη διαίρεση του 3 με το 7

Υπολογίζουμε τα ψηφία του 37\frac{3}{7}. Σε κάθε βήμα γράφονται ο διαιρετέος, που είναι δέκα φορές το προηγούμενο υπόλοιπο, το ψηφίο που προκύπτει και το νέο υπόλοιπο. Το σχήμα δείχνει τη σκάλα των διαιρέσεων και, επάνω, τα ψηφία που συσσωρεύονται.

Απόδειξη

  1. 10⋅3=30=7⋅4+210 \cdot \dato{r0}{3} = 30 = 7 \cdot \resaltar{4} + \resaltar{2}

    Επειδή 3<73 < 7, το ακέραιο μέρος είναι 00 και το πρώτο υπόλοιπο είναι ο ίδιος ο αριθμητής, r0=3r_0 = 3. Πολλαπλασιάζουμε το υπόλοιπο επί 1010 και διαιρούμε με το 77: το ψηφίο των δεκάτων είναι 44.

  2. 10⋅2=20=7⋅2+610 \cdot 2 = 20 = 7 \cdot \resaltar{2} + \resaltar{6}

    Με το υπόλοιπο 22 προκύπτει το ψηφίο των εκατοστών.

  3. 10⋅6=60=7⋅8+410 \cdot 6 = 60 = 7 \cdot \resaltar{8} + \resaltar{4}

    Με το υπόλοιπο 66, εκείνο των χιλιοστών.

  4. 10⋅4=40=7⋅5+510 \cdot 4 = 40 = 7 \cdot \resaltar{5} + \resaltar{5}

    Με το υπόλοιπο 44, το τέταρτο ψηφίο.

  5. 10⋅5=50=7⋅7+110 \cdot 5 = 50 = 7 \cdot \resaltar{7} + \resaltar{1}

    Με το υπόλοιπο 55, το πέμπτο.

  6. 10⋅1=10=7⋅1+310 \cdot 1 = 10 = 7 \cdot \resaltar{1} + \resaltar{3}

    Με το υπόλοιπο 11, το έκτο· και το νέο υπόλοιπο είναι 33, το ίδιο με το οποίο αρχίσαμε.

  7. 37=428571106+1106⋅37\frac{3}{7} = \frac{428571}{10^6} + \frac{1}{10^6} \cdot \resaltar{\frac{3}{7}}

    Από εδώ η διαίρεση επαναλαμβάνεται βήμα προς βήμα: ό,τι μένει να διαιρεθεί, το 37\frac{3}{7} πολλαπλασιασμένο επί 1106\frac{1}{10^6}, είναι το ίδιο πηλίκο μετατοπισμένο κατά έξι θέσεις. Τα ψηφία σχηματίζουν ένα μπλοκ που επαναλαμβάνεται ατελείωτα.

Η παράσταση του 37\frac{3}{7} είναι, επομένως, 0,428571428571…, με περίοδο 428571. Το παράδειγμα περιέχει σε σπέρμα όλο το μάθημα: τα ψηφία βγαίνουν από τα υπόλοιπα, τα υπόλοιπα είναι μικρότερα από τον διαιρέτη και, μόλις ένα επαναληφθεί, επαναλαμβάνεται ό,τι ακολουθεί. Το πρώτο γεγονός που πρέπει να εξασφαλιστεί είναι ότι τα ψηφία που προκύπτουν έτσι είναι πράγματι ψηφία και ότι προσεγγίζουν το κλάσμα όσο θέλουμε.

ΛήμμαΤα ψηφία της κατακόρυφης διαίρεσης

Έστω pp και qq φυσικοί, και έστω NN, r0r_0 και, για κάθε φυσικό kk, ckc_k και rkr_k οι αριθμοί που δίνει η κατακόρυφη διαίρεση του pp με τον qq. Τότε κάθε ckc_k είναι ψηφίο, μεταξύ 00 και 99, και για κάθε φυσικό nn ισχύει η εξής ισότητα, στην οποία ο τελευταίος προσθετέος είναι μη αρνητικός και μικρότερος από 110n\frac{1}{10^n}.

pq=N+∑k=1nck10k+rnq⋅10n\frac{p}{q} = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k} + \frac{r_n}{q \cdot 10^n}

Η απόδειξη γίνεται με επαγωγή ως προς nn. Το σχήμα συνοδεύει το επιχείρημα με το 37\frac{3}{7}: κάθε νέο ψηφίο επιλέγει ένα από τα δέκα μέρη του προηγούμενου διαστήματος, το οποίο μεγεθύνεται για να φανεί.

Απόδειξη

  1. qck≤10rk−1<10q→0≤ck≤9q c_k \le 10 r_{k - 1} < 10q \rightarrow 0 \le c_k \le 9

    Κάθε ckc_k είναι ψηφίο: επειδή το προηγούμενο υπόλοιπο είναι μικρότερο από qq, ο διαιρετέος 10rk−110 r_{k - 1} είναι μικρότερος από 10q10q, και το πηλίκο είναι μικρότερο από 1010.

  2. pq=N+r0q\dato{base}{\frac{p}{q} = N + \frac{r_0}{q}}

    Για n=0n = 0, χωρίς ψηφία, η ισότητα είναι η πρώτη διαίρεση με υπόλοιπο, διαιρεμένη με qq.

  3. rnq⋅10n=10rnq⋅10n+1=qcn+1+rn+1q⋅10n+1=cn+110n+1+rn+1q⋅10n+1\dato{paso}{\frac{r_n}{q \cdot 10^n} = \frac{\resaltar{10 r_n}}{q \cdot 10^{n + 1}} = \frac{\resaltar{q c_{n + 1} + r_{n + 1}}}{q \cdot 10^{n + 1}} = \frac{c_{n + 1}}{10^{n + 1}} + \frac{r_{n + 1}}{q \cdot 10^{n + 1}}}

    Επαγωγικό βήμα: ο τελευταίος προσθετέος ξαναγράφεται με την επόμενη διαίρεση, 10rn=qcn+1+rn+110 r_n = q c_{n + 1} + r_{n + 1}, και χωρίζεται σε δύο κλάσματα.

  4. pq=N+∑k=1n+1ck10k+rn+1q⋅10n+1\frac{p}{q} = N + \sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{c_k}{10^k} + \frac{r_{n + 1}}{q \cdot 10^{n + 1}}

    Με αντικατάσταση στην ισότητα τάξης nn προκύπτει εκείνη τάξης n+1n + 1· από την επαγωγή, η ισότητα ισχύει για κάθε nn.

  5. 0≤pq−Tn=rnq⋅10n<110n0 \le \frac{p}{q} - T_n = \frac{\resaltar{r_n}}{q \cdot 10^n} < \frac{1}{10^n}

    Επειδή 0≤rn<q0 \le r_n < q, ο τελευταίος προσθετέος είναι μη αρνητικός και μικρότερος από 110n\frac{1}{10^n}: το κλάσμα απέχει λιγότερο από 110n\frac{1}{10^n} από την αποκοπή του τάξης nn, τον αριθμό TnT_n που σχηματίζουν το ακέραιο μέρος και τα nn πρώτα ψηφία.

Το λήμμα λέει ότι το pq\frac{p}{q} βρίσκεται στο διάστημα που αρχίζει στο TnT_n και έχει μήκος 110n\frac{1}{10^n}, με το αριστερό άκρο να περιλαμβάνεται και το δεξί να εξαιρείται· τα διαστήματα αυτά, που θα μελετηθούν λεπτομερώς στο μάθημα για την πραγματική ευθεία, γράφονται έτσι:

Tn=N+∑k=1nck10k,pq∈[Tn,Tn+110n)T_n = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k}, \qquad \frac{p}{q} \in \ico{T_n}{T_n + \frac{1}{10^n}}