Οι ρητοί αριθμοί: κλάσματα και οι πράξεις τους

Τα κλάσματα και η ισοδυναμία τους

Στο μάθημα για τα σύνολα αριθμών οι ρητοί παρουσιάστηκαν ως τα κλάσματα ακεραίων με μη μηδενικό παρονομαστή, και επισημάνθηκε ότι το κλάσμα δεν μπορεί να οριστεί ως διαίρεση, γιατί η διαίρεση είναι ακριβώς αυτό που οι ακέραιοι δεν επιτρέπουν. Το μάθημα αυτό πραγματοποιεί την κατασκευή που εκεί αναγγέλθηκε. Αφετηρία του είναι οι ακέραιοι του μαθήματος για τους ακέραιους αριθμούς, με το άθροισμα, το γινόμενο, τη διάταξή τους και μια ιδιότητα που θα χρησιμοποιείται διαρκώς: το γινόμενο δύο μη μηδενικών ακεραίων δεν είναι μηδέν. Από αυτήν έπεται ότι ένας μη μηδενικός παράγοντας μπορεί να διαγραφεί, γιατί αν $ab = ac$ με $a \neq 0$, τότε $a(b - c) = 0$, και επομένως $b - c = 0$.

Ορισμός (κλάσμα). Κλάσμα είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος $(p, q)$ ακεραίων με $q \neq 0$, που γράφεται $\frac{p}{q}$· ο ακέραιος $p$ είναι ο αριθμητής του και ο $q$ ο παρονομαστής του. Λέμε ότι τα $\frac{p}{q}$ και $\frac{r}{s}$ είναι ισοδύναμα κλάσματα όταν τα χιαστί γινόμενά τους συμπίπτουν, δηλαδή όταν $ps = qr$.

Έτσι, τα $\frac{2}{3}$ και $\frac{4}{6}$ είναι ισοδύναμα, γιατί $2 \cdot 6 = 3 \cdot 4$, ενώ τα $\frac{2}{3}$ και $\frac{3}{4}$ δεν είναι, γιατί $2 \cdot 4 \neq 3 \cdot 3$. Ο ορισμός δεν είναι αυθαίρετος. Αν τα κλάσματα πρόκειται να είναι πηλίκα, η ισότητα $\frac{p}{q} = \frac{r}{s}$ πρέπει να είναι ισοδύναμη, αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη με $qs$, με την ισότητα $ps = qr$· ο ορισμός παίρνει ως αφετηρία αυτή τη συνέπεια, που περιέχει μόνο γινόμενα ακεραίων και, επομένως, έχει νόημα πριν υπάρξει η διαίρεση. Ωστόσο, για να μπορεί η ισοδυναμία να επέχει θέση ισότητας, πρέπει να συμπεριφέρεται όπως αυτή: πρέπει να είναι σχέση ισοδυναμίας, με την έννοια του μαθήματος για τα σύνολα, τις σχέσεις και τις συναρτήσεις.

Αν αυτό ισχύει, για την ισοδυναμία των κλασμάτων ισχύουν τα γενικά αποτελέσματα του μαθήματος για τα σύνολα, τις σχέσεις και τις συναρτήσεις, που δεν χρειάζεται να επαναληφθούν: σύμφωνα με το θεώρημα για τις ισοδυναμίες και τις διαμερίσεις, οι κλάσεις ισοδύναμων κλασμάτων σχηματίζουν μια διαμέριση του συνόλου των κλασμάτων, ώστε κάθε κλάσμα να ανήκει σε μία μόνο κλάση και δύο διαφορετικές κλάσεις να μην έχουν κανένα κοινό κλάσμα. Κάθε κλάση είναι ένας αριθμός.

Ορισμός (ρητός αριθμός). Ρητός αριθμός είναι η κλάση ισοδυναμίας ενός κλάσματος, δηλαδή το σύνολο όλων των κλασμάτων που είναι ισοδύναμα με αυτό, και οποιοδήποτε από αυτά τον παριστάνει· με τον συμβολισμό του μαθήματος για τα σύνολα, τις σχέσεις και τις συναρτήσεις, ο ρητός που παριστάνεται από το $\frac{p}{q}$ είναι η κλάση $C\left( \frac{p}{q} \right)$, και εδώ γράφεται απλώς $\frac{p}{q}$. Το σύνολο των ρητών αριθμών, που είναι το σύνολο πηλίκο των κλασμάτων ως προς την ισοδυναμία τους, συμβολίζεται με $\mathbb{Q}$. Γράφουμε $\frac{p}{q} = \frac{r}{s}$ όταν και τα δύο κλάσματα παριστάνουν τον ίδιο ρητό, δηλαδή όταν είναι ισοδύναμα, όπως βεβαιώνει το λήμμα για τις κλάσεις ισοδυναμίας που αποδείχθηκε εκεί.

Κάθε ακέραιος $p$ ταυτίζεται με τον ρητό που παριστάνεται από το $\frac{p}{1}$. Η ταύτιση δεν συγχέει διαφορετικούς ακεραίους, γιατί η $\frac{p}{1} = \frac{r}{1}$ είναι ισοδύναμη με την $p \cdot 1 = 1 \cdot r$, δηλαδή με την $p = r$· με αυτή την έννοια, $\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}$. Πιο κάτω θα επαληθευτεί ότι οι πράξεις των ρητών, όταν εφαρμόζονται στους ακεραίους, δίνουν τις γνωστές. Ο πρακτικός κανόνας που χρησιμοποιείται περισσότερο για να αλλάξουμε κλάσμα χωρίς να αλλάξουμε αριθμό είναι ο ακόλουθος.