La droite réelle : ordre, intervalles et valeur absolue

Résumé

Cette leçon étudie les nombres réels comme points d’une droite. Elle déduit de trois axiomes les règles de calcul sur les inégalités, démontre avec la propriété d’Archimède que les rationnels sont denses dans la droite, démontre avec la complétude que tout réel positif ou nul possède une racine $n$ -ième, définit les intervalles et les caractérise comme les ensembles sans trous, et introduit la valeur absolue comme mesure de la distance, avec son lemme fondamental sur les inégalités et l’inégalité triangulaire. Les problèmes appliquent ces outils à l’encadrement de produits, à la résolution d’équations et d’inéquations avec des valeurs absolues, au contrôle de l’erreur d’une approximation et à la minimisation d’une somme de distances.

Objectifs d’apprentissage

Déduire des axiomes de l’ordre les règles pour additionner, multiplier et inverser des inégalités, et les appliquer sans multiplier par des nombres de signe inconnu.
Appliquer la propriété d’Archimède et démontrer avec elle qu’entre deux réels distincts il y a toujours un rationnel.
Décrire des ensembles de nombres réels au moyen d’intervalles, opérer sur eux et reconnaître quand un ensemble est un intervalle.
Interpréter la valeur absolue comme une distance, traduire en intervalles des conditions portant sur des valeurs absolues et appliquer l’inégalité triangulaire.

La droite réelle

Sur une droite, on choisit deux points : l’un représente $0$ et l’autre, situé à sa droite, représente $1$ . La longueur du segment qui les joint sert d’unité, et à chaque nombre réel $x$ correspond un point : si $x$ est strictement positif, celui qui est situé à droite de l’origine à la distance $x$ ; s’il est strictement négatif, celui qui est situé à gauche à la distance $-x$ . Les rationnels occupent des points que l’on construit à la règle et au compas, et leur développement décimal, étudié dans la leçon sur le développement décimal des nombres rationnels, indique dans quelle subdivision décimale de l’unité tombe chacun d’eux. Or, dans la leçon sur les ensembles de nombres, on a vu que les rationnels laissent des trous, comme celui qu’occupe $\sqrt{2}$ , et on a admis que les réels forment un corps ordonné complet, dont l’axiome de complétude comble ces trous. C’est pourquoi on admet que la correspondance entre réels et points est bijective : à chaque réel correspond un point et à chaque point, un réel. Cette identification ne se démontre pas, car la droite de la géométrie n’est pas définie ici indépendamment des nombres ; c’est la lecture géométrique de la complétude, et on l’appelle la droite réelle.

Les axiomes de l’ordre

La relation « être à gauche de » se traduit par la relation d’ordre entre réels, qui se définit à partir de l’ensemble des nombres strictement positifs. Parmi les axiomes que la leçon sur les ensembles de nombres admet pour les réels, avec ceux de corps et celui de complétude, les axiomes d’ordre portent sur cet ensemble, et il convient de les rappeler :

Trichotomie : pour chaque réel $x$ , une et une seule des trois affirmations $x > 0$ , $x = 0$ ou $-x > 0$ est vraie.
La somme de deux nombres strictement positifs est strictement positive.
Le produit de deux nombres strictement positifs est strictement positif.

Un réel $x$ est strictement négatif si $-x$ est strictement positif. On écrit $x < y$ , ou $y > x$ , lorsque la différence $y - x$ est strictement positive, et $x \leq y$ lorsque $x < y$ ou $x = y$ . Appliquée à $y - x$ , la trichotomie dit que, pour deux réels quelconques, une et une seule des affirmations $x < y$ , $x = y$ ou $y < x$ est vraie : deux points distincts de la droite sont toujours l’un à gauche de l’autre. De plus, dans le problème résolu 5 de la même leçon, on a démontré, avec ces seuls axiomes et la règle des signes, que le carré de tout réel non nul est strictement positif ; en particulier, $1 = 1^2 > 0$ . Les règles de calcul sur les inégalités sont des conséquences de ces axiomes et de ceux de corps ; la leçon sur les ensembles de nombres les a déduites dans son lemme sur les règles de l’ordre, et on les réunit ici en les interprétant sur la droite.

ThéorèmeLes propriétés de l’ordre

Pour tous réels $x$ , $y$ et $z$ : si $x < y$ et $y < z$ , alors $x < z$ ; si $x < y$ , alors $x + z < y + z$ ; si $x < y$ et $z > 0$ , alors $xz < yz$ ; si $x < y$ et $z < 0$ , alors $xz > yz$ ; si $x > 0$ , son inverse est strictement positif ; et si $0 < x < y$ , alors $0 < \frac{1}{y} < \frac{1}{x}$ . Chaque affirmation se ramène à décider du signe d’une différence, comme dans la leçon sur les entiers relatifs, où ces règles ont été démontrées pour les entiers ; la démonstration, qui reprend celle de la leçon sur les ensembles de nombres, se déduit des seuls axiomes, et les règles valent donc pour tous les réels. La figure représente chaque propriété sur la droite : translater conserve l’ordre de deux points, dilater à partir de l’origine aussi, et réfléchir ou inverser le renverse.

Démonstration

$z - x = \resaltar{(z - y) + (y - x)} > 0$
Transitivité : si $x < y$ et $y < z$ , les différences $y - x$ et $z - y$ sont strictement positives, et par le deuxième axiome leur somme aussi, qui est $z - x$ .
$(y + z) - (x + z) = \resaltar{y - x} > 0$
Compatibilité avec l’addition : ajouter le même nombre $z$ aux deux membres ne modifie pas la différence.
$\dato{pos}{yz - xz = \resaltar{(y - x) z} > 0}$
Produit par un nombre strictement positif : si $z > 0$ , la différence $yz - xz$ est le produit de deux nombres strictement positifs, et elle l’est par le troisième axiome.
$\dato{neg}{xz - yz = (y - x)\resaltar{(-z)} > 0}$
Produit par un nombre strictement négatif : si $z < 0$ , son opposé $-z$ est strictement positif, et l’étape précédente, appliquée à $-z$ , donne une différence strictement positive dans l’ordre contraire.
$\dato{inv}{x > 0 \rightarrow \frac{1}{x} > 0}$
Signe de l’inverse : soit $x > 0$ . Si son inverse était strictement négatif, en multipliant $0 < x$ par lui l’inégalité changerait de sens, et nous obtiendrions $0 > 1$ , ce qui est faux ; et l’inverse n’est pas nul, car son produit par $x$ vaut $1$ .
$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \resaltar{\frac{y - x}{xy}} > 0$
Inverses : si $0 < x < y$ , la différence des inverses est le produit de $y - x$ par l’inverse de $xy$ , tous deux strictement positifs. Passer aux inverses de deux nombres strictement positifs renverse leur ordre.

De ces règles découlent d’autres que l’on utilise constamment. Deux inégalités de même sens peuvent s’additionner : si $a < b$ et $c < d$ , alors $a + c < b + c < b + d$ . Deux inégalités entre nombres positifs ou nuls peuvent se multiplier : si $0 \leq a \leq b$ et $0 \leq c \leq d$ , alors $ac \leq bc \leq bd$ . En revanche, on ne peut ni les soustraire ni les diviser membre à membre, et on ne peut pas les multiplier si l’un des membres est strictement négatif, comme le montre le problème résolu 1. Enfin, entre nombres positifs ou nuls, élever au carré conserve l’ordre et le reflète, comme on l’a démontré dans la leçon sur les ensembles de nombres pour les puissances :

0 \leq p \wedge 0 \leq q \rightarrow \left(p < q \leftrightarrow p^2 < q^2\right)

La densité des rationnels dans la droite

L’axiome de complétude, énoncé dans la leçon sur les ensembles de nombres, affirme que tout ensemble non vide de réels majoré possède une borne supérieure, c’est-à-dire un plus petit majorant. Dans la leçon sur le développement décimal des nombres rationnels, on en a déduit la propriété d’Archimède : pour tout réel, il existe un entier naturel strictement supérieur à lui, de sorte que les points $1, 2, 3, \ldots$ avancent sur la droite sans aucune borne. Il s’ensuit une forme que l’on emploie souvent : si $h > 0$ et si $x$ est un réel quelconque, il existe un entier naturel $n$ strictement supérieur à $\frac{x}{h}$ , et en multipliant par $h$ , qui est strictement positif, on obtient $nh > x$ . Géométriquement, un segment, si petit soit-il, répété suffisamment de fois, dépasse n’importe quel autre ; c’est ainsi que l’employait Archimède, dont elle porte le nom.

h > 0 \rightarrow (\forall x \in \mathbb{R})(\exists n \in \mathbb{N})(nh > x)

Dans la leçon sur les nombres rationnels, on a démontré qu’entre deux rationnels distincts il y a une infinité de rationnels. Avec la propriété d’Archimède, on peut démontrer quelque chose de plus fort, le fait que la leçon sur les ensembles de nombres avait laissé admis : les rationnels sont répartis sur toute la droite réelle, sans qu’il y ait aucun intervalle, si court soit-il, qui n’en contienne un.

ThéorèmeDensité des rationnels dans la droite réelle

Entre deux réels distincts, il y a toujours un nombre rationnel : si $x < y$ , il existe un rationnel $q$ tel que $x < q < y$ . L’idée est d’agrandir l’intervalle compris entre $x$ et $y$ jusqu’à ce que sa longueur dépasse $1$ , de sorte qu’il contienne un entier, puis de le réduire. La figure montre l’intervalle d’origine en haut et l’intervalle agrandi en bas.

Démonstration

$\dato{n}{ny > nx + 1}$
Par la propriété d’Archimède, appliquée à $h = y - x > 0$ , il existe un entier naturel $n$ tel que $n(y - x) > 1$ : agrandi $n$ fois, l’intervalle mesure plus que l’unité.
$\dato{m}{m - 1 \leq nx < m}$
Soit $m$ le plus petit entier strictement supérieur à $nx$ . Il existe : par la propriété d’Archimède, il y a un entier naturel $k$ tel que $k > -nx$ , de sorte que $nx + k > 0$ ; l’ensemble des entiers naturels strictement supérieurs à $nx + k$ n’est pas vide, de nouveau par la propriété d’Archimède, et par le principe du bon ordre il possède un plus petit élément $j$ . L’entier $m = j - k$ est strictement supérieur à $nx$ , et $m - 1$ ne l’est pas, car $j - 1$ est nul ou est un entier naturel qui ne dépasse pas $nx + k$ .
$nx < m \leq \resaltar{nx + 1} < ny$
En ajoutant $1$ à la première inégalité et en la combinant avec celle de la première étape, nous obtenons l’entier $m$ strictement compris entre $nx$ et $ny$ .
$x < \resaltar{\frac{m}{n}} < y$
En divisant par $n$ , qui est strictement positif, les inégalités se conservent : le quotient de $m$ par $n$ , qui est rationnel, est compris entre $x$ et $y$ .

Appliqué de nouveau à l’intervalle compris entre $x$ et le rationnel obtenu, le théorème donne un autre rationnel, et ainsi de suite : entre deux réels distincts, il y a une infinité de rationnels. Il en va de même des irrationnels, comme le demande le problème proposé 4. Rationnels et irrationnels sont donc entremêlés sur toute la droite, bien que leurs développements décimaux soient de nature si différente.

L’existence des racines

Dans la leçon sur les ensembles de nombres, on a défini la racine $n$ -ième principale d’un réel positif ou nul $a$ comme l’unique réel positif ou nul dont la puissance $n$ -ième est $a$ ; on y a démontré l’unicité et laissé l’existence admise, car sa preuve exige un argument portant sur des bornes supérieures. Avec la complétude et les règles de l’ordre, on peut maintenant donner cet argument. On utilise une majoration de la différence de deux puissances : si $0 \leq c \leq b$ , en développant le produit suivant, les termes intermédiaires se simplifient, comme dans la somme d’une suite géométrique, et chacun des $n$ termes du second facteur est inférieur ou égal à $b^{n - 1}$ .

b^n - c^n = (b - c)\left(b^{n - 1} + b^{n - 2} c + \cdots + c^{n - 1}\right) \leq (b - c) \cdot n b^{n - 1}

ThéorèmeExistence de la racine

n

-ième

Soit $n \geq 2$ un entier naturel. Pour tout réel $a \geq 0$ , il existe un réel $s \geq 0$ tel que $s^n = a$ . Si $a = 0$ , il suffit de prendre $s = 0$ ; dans la suite, $a > 0$ . La racine cherchée s’obtient comme la borne supérieure des nombres positifs ou nuls dont la puissance $n$ -ième ne dépasse pas $a$ , et on écarte séparément les deux inégalités strictes. La figure dessine la courbe $y = x^n$ et la droite de hauteur $a$ : l’ensemble $S$ est l’intervalle de l’axe situé sous la partie de la courbe qui ne monte pas au-dessus de la droite, et chaque supposition fausse sur $s$ est réfutée par un point qui tombe du mauvais côté.

Démonstration

$x > 1 + a \rightarrow x^n \geq x > a$
L’ensemble $S$ des réels positifs ou nuls dont la puissance $n$ -ième ne dépasse pas $a$ contient $0$ . Il est majoré par $1 + a$ : si $x > 1 + a$ , alors $x > 1$ , et sa puissance est supérieure ou égale à $x$ , qui dépasse déjà $a$ .
$\dato{s}{x \in S \rightarrow x \leq s}$
Par la complétude, $S$ possède une borne supérieure $s$ , qui est positive ou nulle car $0$ appartient à $S$ .
$\dato{h}{h = \frac{a - s^n}{a + n(s + 1)^{n - 1}}}$
Supposons que $s^n < a$ . Nous prenons un nombre $h$ strictement positif et strictement inférieur à $1$ , car son numérateur est strictement inférieur à son dénominateur.
$(s + h)^n - s^n \leq h \cdot n(s + 1)^{n - 1} \leq \resaltar{a - s^n}$
Par la majoration de la différence des puissances, avec $b = s + h \leq s + 1$ et $c = s$ , la puissance de $s + h$ ne dépasse pas $a$ ; ainsi $s + h$ appartient à $S$ et est strictement supérieur à sa borne supérieure, ce qui est impossible.
$\dato{k}{h = \frac{s^n - a}{n s^{n - 1}}}$
Supposons que $s^n > a$ . Alors $s > 0$ , et nous prenons un autre nombre $h$ , strictement positif et strictement inférieur à $s$ , car $h \cdot n s^{n - 1} = s^n - a < s^n \leq n s^n$ .
$s^n - (s - h)^n \leq h \cdot n s^{n - 1} = \resaltar{s^n - a}$
Avec $b = s$ et $c = s - h$ , la majoration montre que la puissance de $s - h$ est supérieure ou égale à $a$ .
$x \in S \rightarrow x \leq s - h < s$
Si un élément $x$ de $S$ était strictement supérieur à $s - h$ , par la conservation de l’ordre par les puissances nous aurions $x^n > (s - h)^n \geq a$ , contrairement à la définition de $S$ . Ainsi, $s - h$ serait un majorant de $S$ strictement inférieur à $s$ , ce qui est impossible.
$s^n = a$
Par la trichotomie, il ne reste que l’égalité : $s$ est la racine $n$ -ième principale de $a$ , unique d’après ce qui a été démontré dans la leçon sur les ensembles de nombres.

Avec ce théorème et la densité des rationnels s’achève aussi l’identification que la leçon sur les ensembles de nombres avait laissée admise : la borne supérieure de l’ensemble $A$ des rationnels dont le carré est strictement inférieur à $2$ est $\sqrt{2}$ . En effet, $\sqrt{2}$ est un majorant de $A$ , car si un rationnel $x$ était strictement supérieur à $\sqrt{2}$ , il serait strictement positif et son carré dépasserait $2$ . Et aucun majorant plus petit ne convient : si $u < \sqrt{2}$ , la densité, appliquée à l’intervalle qui va du plus grand des nombres $u$ et $0$ jusqu’à $\sqrt{2}$ , donne un rationnel $q$ tel que $0 < q < \sqrt{2}$ et $u < q$ ; son carré est strictement inférieur à $2$ , car entre nombres positifs ou nuls les puissances conservent l’ordre, de sorte que $q$ appartient à $A$ et dépasse $u$ .