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Topos Uranos
Français

Puissances à exposant rationnel et radicaux

Résumé

Cette leçon étend les puissances aux exposants rationnels au moyen de la racine principale, démontre que la définition ne dépend pas de la fraction avec laquelle on écrit l’exposant et que les règles de calcul sur les puissances d’exposant entier restent valables. Elle établit ensuite les règles de calcul sur les radicaux avec leurs hypothèses de signe, caractérise l’erreur qui consiste à distribuer une racine sur une somme et enseigne les techniques de calcul avec les radicaux : la sortie d’un facteur du radical, le passage à un dénominateur rationnel au moyen des expressions conjuguées et de la différence de deux cubes, la comparaison de nombres sans calculatrice et la simplification des radicaux doubles.

Objectifs d’apprentissage

  1. Définir la puissance à exposant rationnel d’une base strictement positive, justifier qu’elle ne dépend pas de la fraction choisie et appliquer ses règles de calcul.
  2. Énoncer les règles de calcul sur les radicaux avec leurs hypothèses de signe, en particulier ann=∣a∣\sqrt[n]{a^n} = \abs{a} pour un indice pair, et reconnaître les erreurs typiques.
  3. Simplifier des radicaux et rendre rationnels des dénominateurs qui sont des monômes, des binômes ou qui contiennent des racines cubiques.
  4. Comparer des nombres comportant des radicaux en les élevant à des puissances convenables, et simplifier des radicaux doubles lorsque c’est possible.

Puissances à exposant rationnel

Dans la leçon sur les ensembles de nombres, on a défini les puissances d’exposant entier et la racine principale : pour un entier naturel n≥2n \geq 2 et un réel b≥0b \geq 0, le nombre bn\sqrt[n]{b} est l’unique réel positif ou nul dont la puissance nn-ième est bb. On y a démontré, pour des bases rationnelles, les règles de calcul sur les puissances d’exposant entier ; leurs démonstrations n’utilisent que les propriétés de l’addition et de la multiplication, de sorte qu’elles valent de même pour des bases réelles. On y a démontré aussi l’unicité de la racine principale, dont dépend tout ce qui suit, et on a admis son existence, qui est une conséquence de la complétude des réels et qui a été démontrée dans la leçon sur la droite réelle.

Puissances et racines sont des opérations réciproques, et il convient de les réunir dans une seule notation. Si la règle de la puissance d’une puissance doit valoir aussi pour des exposants fractionnaires, le nombre a1qa^{\frac{1}{q}} doit vérifier (a1q)q=a1=a\left(a^{\frac{1}{q}}\right)^q = a^1 = a ; autrement dit, il doit être une racine qq-ième de aa, et le choix naturel est la racine principale. De même, apqa^{\frac{p}{q}} doit être la puissance pp-ième de a1qa^{\frac{1}{q}}, ou bien la racine qq-ième de apa^p. Cette observation ne démontre rien, car elle suppose les règles que l’on veut obtenir ; elle suggère seulement la définition.

Définition (puissance à exposant rationnel). Soit a>0a > 0 un réel, pp un entier relatif et qq un entier naturel. La puissance à exposant rationnel apqa^{\frac{p}{q}} est la racine qq-ième principale de apa^p. Pour q=1q = 1, on convient que la racine d’indice 11 d’un nombre est ce nombre lui-même, de sorte que la définition coïncide avec celle de la puissance d’exposant entier.
apq=apqa^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}

La racine existe parce que apa^p est strictement positif, et elle est strictement positive pour la même raison : si elle était nulle, sa puissance qq-ième le serait aussi. Par exemple, 823=643=48^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4 et 27−13=1273=1327^{-\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3}. Dans le premier exemple, on obtient le même résultat en extrayant d’abord la racine et en élevant ensuite à la puissance, car (83)2=22=4\left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4 ; l’ordre des deux opérations est indifférent.

LemmeRacine d’une puissance

Pour tout réel a>0a > 0, tout entier relatif pp et tout entier naturel qq, la racine qq-ième de apa^p est la puissance pp-ième de la racine qq-ième de aa.

apq=(aq)p\sqrt[q]{a^p} = \left(\sqrt[q]{a}\right)^p

On vérifie que le second membre a le signe et la puissance qui caractérisent le premier, et on applique l’unicité de la racine principale. La figure accompagne le raisonnement avec a=2a = 2, q=2q = 2 et p=3p = 3 : la courbe y=tqy = t^q est croissante sur les réels strictement positifs et coupe une seule fois chaque droite horizontale de hauteur strictement positive.

Démonstration

  1. r=aq,r>0,rq=ar = \sqrt[q]{a}, \quad r > 0, \quad \dato{rq}{r^q = a}

    Si q=1q = 1, les deux membres valent apa^p. Si q≥2q \geq 2, soit rr la racine qq-ième principale de aa : elle est strictement positive, car si elle était nulle, aa le serait aussi, et sa puissance qq-ième est aa.

  2. rp>0\dato{pos}{r^p > 0}

    Le nombre rpr^p est strictement positif, car toute puissance d’exposant entier d’un nombre strictement positif l’est : si pp est un entier naturel, par l’axiome du produit ; si p=0p = 0, elle vaut 11 ; et si pp est strictement négatif, c’est l’inverse d’un nombre strictement positif.

  3. (rp)q=rpq=(rq)p=ap\left(r^p\right)^q = r^{pq} = \left(\resaltar{r^q}\right)^p = \dato{ap}{\resaltar{a^p}}

    Par la règle de la puissance d’une puissance d’exposant entier, appliquée dans les deux ordres, la puissance qq-ième de rpr^p est apa^p.

  4. apq=rp=(aq)p\sqrt[q]{a^p} = \resaltar{r^p} = \left(\sqrt[q]{a}\right)^p

    Ainsi, rpr^p est un nombre strictement positif dont la puissance qq-ième est apa^p. Par l’unicité de la racine principale, c’est la racine qq-ième de apa^p.

La définition ne dépend pas de la fraction

Un même rationnel s’écrit avec beaucoup de fractions : 12=24=36\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}. La définition précédente est formulée avec une fraction donnée, et rien ne garantit d’avance que deux écritures du même exposant donnent le même nombre ; par exemple, 212=22^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}, alors que 224=442^{\frac{2}{4}} = \sqrt[4]{4}. Si elles donnaient des nombres différents, le symbole axa^x n’aurait pas de sens pour un rationnel xx, mais seulement pour chacune de ses fractions.

ThéorèmeIndépendance de la fraction

Soit a>0a > 0. Si pp et rr sont des entiers relatifs, qq et ss des entiers naturels et pq=rs\frac{p}{q} = \frac{r}{s}, alors apq=ars\sqrt[q]{a^p} = \sqrt[s]{a^r}. L’idée est d’élever les deux nombres à la puissance qsqs, ce qui élimine les deux racines, et d’appliquer l’unicité de la racine principale. La figure accompagne le raisonnement avec a=2a = 2, pq=12\frac{p}{q} = \frac{1}{2} et rs=24\frac{r}{s} = \frac{2}{4} : chaque puissance est une courbe croissante, qui coupe une seule fois chaque droite horizontale.

Démonstration

  1. u=apq,v=ars,uq=ap,vs=aru = \sqrt[q]{a^p}, \quad v = \sqrt[s]{a^r}, \quad \dato{du}{u^q = a^p}, \quad \dato{dv}{v^s = a^r}

    Nous appelons uu et vv les nombres que donnent les deux écritures. Tous deux sont strictement positifs et, par la définition de la racine, ils vérifient les égalités suivantes.

  2. uqs=(uq)s=(ap)s=apsu^{qs} = \left(\resaltar{u^q}\right)^s = \left(a^p\right)^s = \dato{pu}{\resaltar{a^{ps}}}

    Nous élevons uu à la puissance qsqs avec la règle de la puissance d’une puissance, et nous remplaçons uqu^q par sa valeur.

  3. vqs=(vs)q=(ar)q=arqv^{qs} = \left(\resaltar{v^s}\right)^q = \left(a^r\right)^q = \dato{pv}{\resaltar{a^{rq}}}

    De même avec vv, en regroupant d’abord l’exposant ss.

  4. pq=rs↔ps=qr\frac{p}{q} = \frac{r}{s} \leftrightarrow \dato{cr}{\resaltar{ps = qr}}

    Les fractions sont égales, ce qui signifie que leurs produits en croix coïncident.

  5. uqs=aps=aqr=vqsu^{qs} = a^{\resaltar{ps}} = a^{\resaltar{qr}} = v^{qs}

    Par conséquent, uu et vv ont la même puissance d’indice qsqs.

  6. apq=ars\sqrt[q]{a^p} = \sqrt[s]{a^r}

    Si qs=1qs = 1, cela dit que u=vu = v. Si qs≥2qs \geq 2, uu et vv sont deux nombres strictement positifs ayant la même puissance d’exposant qsqs, et par l’unicité de la racine principale ils sont égaux.

Par conséquent, pour tout rationnel xx, le nombre axa^x est bien défini : on écrit xx sous forme de fraction de n’importe quelle manière, et le résultat est toujours le même. En particulier, tout exposant rationnel peut s’écrire avec un dénominateur entier naturel, et deux exposants peuvent s’écrire avec un dénominateur commun, ce qui sert dans les démonstrations suivantes.

L’hypothèse a>0a > 0 n’est pas un caprice. Avec une base strictement négative, la racine d’indice impair existe, mais le résultat dépendrait de la fraction : −83=−2\sqrt[3]{-8} = -2, alors que (−8)26=646=2\sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2, bien que 13=26\frac{1}{3} = \frac{2}{6}. C’est pourquoi on ne définit pas de puissances à exposant rationnel de base strictement négative, et pour les nombres strictement négatifs on écrit la racine, comme −83\sqrt[3]{-8}. Pour une base nulle, on définit 0x=00^x = 0 pour tout rationnel x>0x > 0, et on ne définit ni exposants strictement négatifs ni exposants nuls.

Les règles de calcul sur les exposants rationnels

La définition étant assurée, on vérifie que les règles de calcul sur les puissances d’exposant entier restent valables.

ThéorèmeLes règles de calcul sur les exposants rationnels

Pour tous réels a>0a > 0 et b>0b > 0 et tous rationnels xx et yy, on a ax⋅ay=ax+ya^x \cdot a^y = a^{x + y}, (ax)y=axy\left(a^x\right)^y = a^{xy} et (ab)x=ax⋅bx(ab)^x = a^x \cdot b^x. Par conséquent, on a aussi a−x=1axa^{-x} = \frac{1}{a^x} et axay=ax−y\frac{a^x}{a^y} = a^{x - y}. On démontre les deux premières règles ; la troisième découle de la règle du produit des radicaux, dans la section suivante. La figure montre les valeurs 2k62^{\frac{k}{6}} : chacune est la précédente multipliée par 26\sqrt[6]{2}, et les exposants s’additionnent comme les marches d’un escalier.

Démonstration

  1. x=pq,y=rq,u=aq,ax=up,ay=urx = \frac{p}{q}, \quad y = \frac{r}{q}, \quad u = \sqrt[q]{a}, \quad \dato{lx}{a^x = u^p}, \quad \dato{ly}{a^y = u^r}

    Produit. Nous écrivons xx et yy avec un dénominateur commun qq, ce qui est légitime par le théorème précédent, et nous appelons uu la racine qq-ième de aa. Par le lemme de la racine d’une puissance, les deux puissances sont des puissances entières de uu.

  2. ax⋅ay=up⋅ur=up+r=ap+rq=ax+ya^x \cdot a^y = \resaltar{u^p \cdot u^r} = u^{p + r} = \resaltar{a^{\frac{p + r}{q}}} = a^{x + y}

    Par la règle du produit d’exposant entier, les exposants s’additionnent ; et de nouveau par le lemme, le résultat est ax+ya^{x + y}, car x+y=p+rqx + y = \frac{p + r}{q}.

  3. (ax)y=(up)rs=uprs=w\left(a^x\right)^y = \sqrt[s]{\left(\resaltar{u^p}\right)^r} = \dato{w}{\resaltar{\sqrt[s]{u^{pr}}}} = w

    Puissance d’une puissance. Maintenant x=pqx = \frac{p}{q} et y=rsy = \frac{r}{s}, et de nouveau ax=upa^x = u^p avec u=aqu = \sqrt[q]{a}. Par la définition, (ax)y\left(a^x\right)^y est la racine ss-ième de (up)r\left(u^p\right)^r ; nous appelons ww ce nombre strictement positif.

  4. wqs=(ws)q=(upr)q=(uq)pr=aprw^{qs} = \left(\resaltar{w^s}\right)^q = \left(u^{pr}\right)^q = \left(\resaltar{u^q}\right)^{pr} = \dato{wp}{a^{pr}}

    Nous élevons ww à la puissance qsqs, en regroupant d’abord l’exposant ss, qui défait la racine, puis l’exposant qq, avec uq=au^q = a.

  5. (ax)y=w=aprqs=aprqs=axy\left(a^x\right)^y = w = \sqrt[qs]{\resaltar{a^{pr}}} = \resaltar{a^{\frac{pr}{qs}}} = a^{xy}

    Par l’unicité de la racine principale, ww est la racine d’indice qsqs de apra^{pr}, qui est la puissance d’exposant prqs=xy\frac{pr}{qs} = xy.

Les conséquences découlent de la première règle : comme ax⋅a−x=a0=1a^x \cdot a^{-x} = a^0 = 1, le nombre a−xa^{-x} est l’inverse de axa^x, et alors axay=ax⋅a−y=ax−y\frac{a^x}{a^y} = a^x \cdot a^{-y} = a^{x - y}. Les règles permettent de calculer avec des exposants rationnels comme avec des exposants entiers. Par exemple :

2⋅23=212⋅213=256=326,(2)23=212⋅23=23\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{32}, \qquad \left(\sqrt{2}\right)^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt[3]{2}

Puissances à exposant rationnel et ordre

Dans la leçon sur les ensembles de nombres, on a démontré, et dans la leçon sur la droite réelle on a appliqué aux inégalités, que les puissances d’exposant entier naturel conservent l’ordre des nombres positifs ou nuls : si 0≤u<v0 \leq u < v, alors un<vnu^n < v^n. Les puissances à exposant rationnel héritent de cette propriété par rapport à la base, et en ajoutent une autre par rapport à l’exposant, dont le sens dépend de ce que la base est strictement supérieure ou strictement inférieure à 11.

LemmeLa monotonie des puissances rationnelles

Soit x<yx < y des rationnels. Si a>1a > 1, alors ax<aya^x < a^y ; si 0<a<10 < a < 1, alors ax>aya^x > a^y. De plus, si x>0x > 0 et 0<s<t0 < s < t, alors sx<txs^x < t^x. La figure montre les courbes de y=t13y = t^{\frac{1}{3}}, y=t12y = t^{\frac{1}{2}} et y=t32y = t^{\frac{3}{2}} pour t>0t > 0 : à droite de t=1t = 1, le plus grand exposant donne la plus grande valeur, à gauche c’est le contraire, et en t=1t = 1 les trois courbes se croisent.

Démonstration

  1. x=pq,y=rq,p<r,u>1x = \frac{p}{q}, \quad y = \frac{r}{q}, \quad p < r, \quad \dato{u1}{u > 1}

    Soit a>1a > 1. Nous écrivons xx et yy avec un dénominateur commun qq, et soit u=aqu = \sqrt[q]{a}. Alors u>1u > 1 : si nous avions u≤1u \leq 1, par la monotonie des puissances nous aurions uq≤1u^q \leq 1, contrairement à uq=a>1u^q = a > 1.

  2. ay=ur=up⋅ur−p>up=axa^y = u^r = \resaltar{u^p \cdot u^{r - p}} > \resaltar{u^p} = a^x

    Comme r−pr - p est un entier naturel, ur−p>1r−p=1u^{r - p} > 1^{r - p} = 1, et multiplier par le nombre strictement positif upu^p conserve l’inégalité.

  3. 1ax<1ay→ax>ay\frac{1}{a^x} < \frac{1}{a^y} \rightarrow \resaltar{a^x > a^y}

    Si 0<a<10 < a < 1, son inverse est strictement supérieur à 11, et par ce qui précède (1a)x<(1a)y\left(\frac{1}{a}\right)^x < \left(\frac{1}{a}\right)^y. Comme (1a)x=1ax\left(\frac{1}{a}\right)^x = \frac{1}{a^x} par les règles de calcul sur les puissances, en prenant les inverses de deux nombres strictement positifs l’inégalité change de sens.

  4. 1x=11^x = 1

    Si a=1a = 1, toutes ses puissances valent 11, car les racines et les puissances de 11 valent 11. C’est pourquoi les trois courbes passent par le point (1,1)(1, 1).

  5. 0<s<t→sp<tp→spq<tpq0 < s < t \rightarrow \resaltar{s^p < t^p} \rightarrow \resaltar{\sqrt[q]{s^p} < \sqrt[q]{t^p}}

    Pour la monotonie par rapport à la base, soit x=pqx = \frac{p}{q} avec pp entier naturel. De s<ts < t découle sp<tps^p < t^p ; et si nous avions spq≥tpq\sqrt[q]{s^p} \geq \sqrt[q]{t^p}, en élevant à la puissance qq il viendrait sp≥tps^p \geq t^p, ce qui est faux.

Les courbes des fonctions puissances seront étudiées en détail dans la leçon sur les fonctions algébriques ; ici, les deux monotonies suffisent, et elles serviront à comparer des nombres.