Potenze a esponente razionale e radicali

Potenze a esponente razionale

Nella lezione sugli insiemi numerici si sono definite le potenze a esponente intero e la radice principale: per un naturale $n \geq 2$ e un reale $b \geq 0$, il numero $\sqrt[n]{b}$ è l’unico reale non negativo la cui potenza $n$-esima è $b$. Lì si sono dimostrate, per basi razionali, le proprietà delle potenze a esponente intero; le loro dimostrazioni usano solo le proprietà della somma e del prodotto, sicché valgono ugualmente per basi reali. Lì si è dimostrata anche l’unicità della radice principale, da cui dipende tutto ciò che segue, e se ne è ammessa l’esistenza, che è conseguenza della completezza dei reali e si è dimostrata nella lezione sulla retta reale.

Potenze e radici sono operazioni inverse, e conviene riunirle in un’unica notazione. Se la proprietà della potenza di una potenza deve valere anche per esponenti frazionari, il numero $a^{\frac{1}{q}}$ deve soddisfare $\left(a^{\frac{1}{q}}\right)^q = a^1 = a$; cioè deve essere una radice $q$-esima di $a$, e la scelta naturale è quella principale. Allo stesso modo, $a^{\frac{p}{q}}$ deve essere la potenza $p$-esima di $a^{\frac{1}{q}}$, oppure la radice $q$-esima di $a^p$. Questa osservazione non dimostra nulla, perché presuppone le proprietà che si vogliono ottenere; suggerisce soltanto la definizione.

Definizione (potenza a esponente razionale). Siano $a > 0$ un reale, $p$ un intero e $q$ un naturale. La potenza a esponente razionale $a^{\frac{p}{q}}$ è la radice $q$-esima principale di $a^p$. Per $q = 1$ si intende che la radice di indice $1$ di un numero è il numero stesso, sicché la definizione coincide con quella della potenza a esponente intero.

La radice esiste perché $a^p$ è positivo, ed è positiva per la stessa ragione: se fosse nulla, lo sarebbe anche la sua potenza $q$-esima. Per esempio, $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4$ e $27^{-\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3}$. Nel primo esempio si ottiene lo stesso risultato estraendo prima la radice ed elevando poi, perché $\left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4$; l’ordine delle due operazioni è indifferente.

La definizione non dipende dalla frazione

Uno stesso razionale si scrive con molte frazioni: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}$. La definizione precedente è formulata con una frazione concreta, e nulla garantisce in anticipo che due scritture dello stesso esponente diano lo stesso numero; per esempio, $2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$, mentre $2^{\frac{2}{4}} = \sqrt[4]{4}$. Se dessero numeri diversi, il simbolo $a^x$ non avrebbe senso per un razionale $x$, ma solo per ciascuna delle sue frazioni.

Pertanto, per ogni razionale $x$ il numero $a^x$ è ben definito: si scrive $x$ come frazione in un modo qualsiasi e il risultato è sempre lo stesso. In particolare, ogni esponente razionale può essere scritto con denominatore naturale, e due esponenti possono essere scritti con un denominatore comune, il che si usa nelle dimostrazioni seguenti.

L’ipotesi $a > 0$ non è un capriccio. Con base negativa, la radice di indice dispari esiste, ma il risultato dipenderebbe dalla frazione: $\sqrt[3]{-8} = -2$, mentre $\sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2$, benché $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$. Per questo non si definiscono potenze a esponente razionale con base negativa, e per i numeri negativi si scrive la radice, come $\sqrt[3]{-8}$. Con base nulla si definisce $0^x = 0$ per ogni razionale $x > 0$, e non si definiscono esponenti negativi né nulli.

Le proprietà degli esponenti razionali

Assicurata la definizione, si verifica che le proprietà delle potenze a esponente intero continuano a valere.

Dalla prima proprietà seguono le conseguenze: poiché $a^x \cdot a^{-x} = a^0 = 1$, il numero $a^{-x}$ è l’inverso di $a^x$, e allora $\frac{a^x}{a^y} = a^x \cdot a^{-y} = a^{x - y}$. Le proprietà permettono di calcolare con esponenti razionali come con quelli interi. Per esempio:

Potenze a esponente razionale e ordine

Nella lezione sugli insiemi numerici si è dimostrato, e nella lezione sulla retta reale si è applicato alle disuguaglianze, che le potenze a esponente naturale conservano l’ordine dei numeri non negativi: se $0 \leq u < v$, allora $u^n < v^n$. Le potenze a esponente razionale ereditano questa proprietà rispetto alla base, e ne aggiungono un’altra rispetto all’esponente, il cui verso dipende dal fatto che la base sia maggiore o minore di $1$.

I grafici delle funzioni potenza si studieranno in dettaglio nella lezione sulle funzioni algebriche; qui bastano le due monotonie, che si useranno per confrontare numeri.