유리수 지수와 거듭제곱근

요약

이 수업은 주근을 이용하여 거듭제곱을 유리수 지수로 확장하고, 그 정의가 지수를 나타내는 분수에 의존하지 않으며 정수 지수의 거듭제곱 법칙이 계속 성립함을 증명한다. 이어서 거듭제곱근의 성질을 부호에 관한 가정과 함께 확립하고, 근호를 합에 분배하는 오류를 규명하며, 거듭제곱근의 계산 기법을 다룬다. 곧 근호 밖으로 꺼내기, 켤레식과 세제곱의 차를 이용한 분모의 유리화, 계산기 없이 수를 비교하기, 그리고 이중근호의 간단히 하기이다.

학습 목표

양의 밑에 대한 유리수 지수의 거듭제곱을 정의하고, 그것이 선택한 분수에 의존하지 않음을 정당화하며, 그 법칙을 적용한다.
거듭제곱근의 성질을 부호에 관한 가정과 함께 진술하고, 특히 근지수가 짝수일 때의 $\sqrt[n]{a^n} = \abs{a}$ 을 진술하며, 전형적인 오류를 알아본다.
거듭제곱근을 간단히 하고, 단항식, 이항식, 세제곱근을 포함한 분모를 유리화한다.
거듭제곱근을 포함한 수를 적절한 거듭제곱으로 올려 비교하고, 가능할 때 이중근호를 간단히 한다.

유리수 지수의 거듭제곱

수 집합 수업에서 정수 지수의 거듭제곱과 주근을 정의했다. 자연수 $n \geq 2$ 과 실수 $b \geq 0$ 에 대하여 수 $\sqrt[n]{b}$ 는 다음 조건을 만족하는 유일한 음이 아닌 실수이다. 그 $n$ 제곱이 $b$ 이다. 거기서 유리수 밑에 대하여 정수 지수의 거듭제곱 법칙을 증명했다. 그 증명들은 덧셈과 곱셈의 성질만 사용하므로 실수 밑에 대해서도 똑같이 성립한다. 거기서는 또한 이후의 모든 내용이 기대는 주근의 유일성을 증명했고, 그 존재는 받아들였다. 존재는 실수의 완비성에서 나오며 실수 직선 수업에서 증명되었다.

거듭제곱과 거듭제곱근은 서로 역연산이며, 하나의 표기로 묶어 두는 것이 편리하다. 거듭제곱의 거듭제곱 법칙이 분수 지수에 대해서도 성립해야 한다면, 수 $a^{\frac{1}{q}}$ 는 $\left(a^{\frac{1}{q}}\right)^q = a^1 = a$ 를 만족해야 한다. 즉 $q$ 제곱근( $a$ 의) 가운데 하나여야 하며, 자연스러운 선택은 주근이다. 마찬가지로 $a^{\frac{p}{q}}$ 는 $p$ 제곱( $a^{\frac{1}{q}}$ 의)이어야 하고, 달리 말하면 $q$ 제곱근( $a^p$ 의)이어야 한다. 이 관찰은 아무것도 증명하지 않는다. 얻으려는 법칙을 전제하기 때문이다. 정의를 시사할 뿐이다.

정의 (유리수 지수의 거듭제곱). $a > 0$ 은 실수, $p$ 는 정수, $q$ 는 자연수라 하자. 유리수 지수의 거듭제곱 $a^{\frac{p}{q}}$ 는 $q$ 제곱근( $a^p$ 의) 가운데 주근이다. $q = 1$ 일 때에는 어떤 수의 근지수 $1$ 인 거듭제곱근은 그 수 자신이라고 약속하며, 따라서 이 정의는 정수 지수의 거듭제곱의 정의와 일치한다.

a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}

이 거듭제곱근이 존재하는 것은 $a^p$ 이 양수이기 때문이며, 같은 이유로 양수이다. 만약 영이라면 그 $q$ 제곱도 영이 되기 때문이다. 예를 들어 $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4$ , $27^{-\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3}$ 이다. 첫 번째 예에서는 먼저 거듭제곱근을 구한 뒤 거듭제곱해도 같은 결과를 얻는다. $\left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4$ 이기 때문이다. 두 연산의 순서는 상관없다.

보조정리거듭제곱의 거듭제곱근

모든 실수 $a > 0$ , 모든 정수 $p$ , 모든 자연수 $q$ 에 대하여 $q$ 제곱근( $a^p$ 의)은 $p$ 제곱( $q$ 제곱근( $a$ 의)의)과 같다.

\sqrt[q]{a^p} = \left(\sqrt[q]{a}\right)^p

우변이 좌변을 특징짓는 부호와 거듭제곱을 가짐을 확인하고, 주근의 유일성을 적용한다. 그림은 $a = 2$ , $q = 2$ , $p = 3$ 인 경우로 이 추론을 보여 준다. 곡선 $y = t^q$ 는 양수에서 증가하며, 높이가 양수인 각 수평 직선과 단 한 번 만난다.

증명

$r = \sqrt[q]{a}, \quad r > 0, \quad \dato{rq}{r^q = a}$
$q = 1$ 이면 양변은 모두 $a^p$ 이다. $q \geq 2$ 이면 $r$ 을 $q$ 제곱근( $a$ 의) 가운데 주근이라 하자. 이 수는 양수이다. 만약 영이라면 $a$ 도 영이 되기 때문이다. 그리고 그 $q$ 제곱은 $a$ 이다.
$\dato{pos}{r^p > 0}$
수 $r^p$ 은 양수이다. 양수의 정수 지수 거듭제곱은 모두 양수이기 때문이다. $p$ 가 자연수이면 곱셈의 공리에 의해, $p = 0$ 이면 그 값은 $1$ 이고, $p$ 가 음수이면 그것은 양수의 역수이다.
$\left(r^p\right)^q = r^{pq} = \left(\resaltar{r^q}\right)^p = \dato{ap}{\resaltar{a^p}}$
정수 지수의 거듭제곱의 거듭제곱 법칙을 두 가지 순서로 적용하면, $q$ 제곱( $r^p$ 의)은 $a^p$ 이다.
$\sqrt[q]{a^p} = \resaltar{r^p} = \left(\sqrt[q]{a}\right)^p$
따라서 $r^p$ 은 양수이고 그 $q$ 제곱은 $a^p$ 이다. 주근의 유일성에 의해 이 수는 $q$ 제곱근( $a^p$ 의)이다.

정의는 분수에 의존하지 않는다

같은 유리수는 여러 분수로 쓰인다. $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}$ . 앞의 정의는 특정한 분수로 서술되어 있으며, 같은 지수의 두 가지 표기가 같은 수를 준다는 것은 미리 아무것도 보장하지 않는다. 예를 들어 $2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$ 인 반면 $2^{\frac{2}{4}} = \sqrt[4]{4}$ 이다. 만약 서로 다른 수를 준다면, 기호 $a^x$ 은 유리수 $x$ 에 대해서는 의미가 없고 그 분수 하나하나에 대해서만 의미를 가질 것이다.

정리분수와의 무관성

$a > 0$ 이라 하자. $p$ 와 $r$ 이 정수, $q$ 와 $s$ 가 자연수이고 $\frac{p}{q} = \frac{r}{s}$ 이면 $\sqrt[q]{a^p} = \sqrt[s]{a^r}$ 이다. 두 수를 $qs$ 제곱하여 두 근호를 한꺼번에 없애고, 주근의 유일성을 적용하는 것이 착안점이다. 그림은 $a = 2$ , $\frac{p}{q} = \frac{1}{2}$ , $\frac{r}{s} = \frac{2}{4}$ 인 경우로 이 추론을 보여 준다. 각 거듭제곱은 증가하는 곡선이며, 각 수평 직선과 단 한 번 만난다.

증명

$u = \sqrt[q]{a^p}, \quad v = \sqrt[s]{a^r}, \quad \dato{du}{u^q = a^p}, \quad \dato{dv}{v^s = a^r}$
두 표기가 주는 수를 $u$ 와 $v$ 라 하자. 둘 다 양수이며, 거듭제곱근의 정의에 의해 다음 등식을 만족한다.
$u^{qs} = \left(\resaltar{u^q}\right)^s = \left(a^p\right)^s = \dato{pu}{\resaltar{a^{ps}}}$
거듭제곱의 거듭제곱 법칙으로 $u$ 를 $qs$ 제곱하고, $u^q$ 을 그 값으로 바꾼다.
$v^{qs} = \left(\resaltar{v^s}\right)^q = \left(a^r\right)^q = \dato{pv}{\resaltar{a^{rq}}}$
$v$ 에 대해서도 마찬가지로 하되, 먼저 지수 $s$ 를 묶는다.
$\frac{p}{q} = \frac{r}{s} \leftrightarrow \dato{cr}{\resaltar{ps = qr}}$
두 분수가 같다는 것은 엇갈려 곱한 곱이 일치한다는 뜻이다.
$u^{qs} = a^{\resaltar{ps}} = a^{\resaltar{qr}} = v^{qs}$
따라서 $u$ 와 $v$ 는 지수가 $qs$ 인 거듭제곱이 같다.
$\sqrt[q]{a^p} = \sqrt[s]{a^r}$
$qs = 1$ 이면 이것은 $u = v$ 를 뜻한다. $qs \geq 2$ 이면 $u$ 와 $v$ 는 지수가 $qs$ 인 거듭제곱이 같은 두 양수이고, 주근의 유일성에 의해 같다.

그러므로 모든 유리수 $x$ 에 대하여 수 $a^x$ 은 잘 정의된다. $x$ 를 어떤 방식으로 분수로 쓰든 결과는 언제나 같다. 특히 모든 유리수 지수는 분모가 자연수가 되도록 쓸 수 있고, 두 지수는 공통분모로 쓸 수 있으며, 이는 이어지는 증명들에서 사용된다.

가정 $a > 0$ 은 변덕이 아니다. 밑이 음수이면 근지수가 홀수인 거듭제곱근은 존재하지만, 결과가 분수에 의존하게 된다. $\sqrt[3]{-8} = -2$ 인 반면 $\sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2$ 이다. 그런데 $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ 이다. 그래서 음의 밑에 대해서는 유리수 지수의 거듭제곱을 정의하지 않고, 음수에 대해서는 $\sqrt[3]{-8}$ 처럼 거듭제곱근으로 쓴다. 밑이 영일 때에는 $0^x = 0$ 으로 정의하며(단, $x > 0$ 은 임의의 유리수), 음의 지수와 영인 지수는 정의하지 않는다.

유리수 지수의 지수법칙

정의가 확보되었으므로, 정수 지수의 거듭제곱 법칙이 계속 성립함을 확인한다.

정리유리수 지수의 지수법칙

모든 실수 $a > 0$ 과 $b > 0$ 및 모든 유리수 $x$ 와 $y$ 에 대하여 $a^x \cdot a^y = a^{x + y}$ , $\left(a^x\right)^y = a^{xy}$ , $(ab)^x = a^x \cdot b^x$ 이 성립한다. 그 결과로 $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$ 과 $\frac{a^x}{a^y} = a^{x - y}$ 도 성립한다. 처음 두 법칙을 증명한다. 세 번째 법칙은 다음 절에서 다루는 거듭제곱근의 곱의 성질에서 나온다. 그림은 값 $2^{\frac{k}{6}}$ 을 보여 준다. 각 값은 바로 앞의 값에 $\sqrt[6]{2}$ 를 곱한 것이며, 지수는 계단의 칸처럼 더해진다.

증명

$x = \frac{p}{q}, \quad y = \frac{r}{q}, \quad u = \sqrt[q]{a}, \quad \dato{lx}{a^x = u^p}, \quad \dato{ly}{a^y = u^r}$
곱. $x$ 와 $y$ 를 공통분모 $q$ 로 쓴다. 이는 앞의 정리에 의해 허용된다. 그리고 $u$ 를 $q$ 제곱근( $a$ 의)이라 하자. 거듭제곱의 거듭제곱근 보조정리에 의해, 두 거듭제곱은 모두 $u$ 의 정수 거듭제곱이다.
$a^x \cdot a^y = \resaltar{u^p \cdot u^r} = u^{p + r} = \resaltar{a^{\frac{p + r}{q}}} = a^{x + y}$
정수 지수의 거듭제곱의 곱 법칙에 의해 지수는 더해진다. 그리고 다시 보조정리에 의해 결과는 $a^{x + y}$ 이다. $x + y = \frac{p + r}{q}$ 이기 때문이다.
$\left(a^x\right)^y = \sqrt[s]{\left(\resaltar{u^p}\right)^r} = \dato{w}{\resaltar{\sqrt[s]{u^{pr}}}} = w$
거듭제곱의 거듭제곱. 이번에는 $x = \frac{p}{q}$ , $y = \frac{r}{s}$ 이고, 다시 $a^x = u^p$ 이다(단, $u = \sqrt[q]{a}$ ). 정의에 의해 $\left(a^x\right)^y$ 는 $s$ 제곱근( $\left(u^p\right)^r$ 의)이다. 이 양수를 $w$ 라 하자.
$w^{qs} = \left(\resaltar{w^s}\right)^q = \left(u^{pr}\right)^q = \left(\resaltar{u^q}\right)^{pr} = \dato{wp}{a^{pr}}$
$w$ 를 $qs$ 제곱한다. 먼저 지수 $s$ 를 묶어 근호를 없애고, 그다음 지수 $q$ 를 묶는다. 이때 $u^q = a$ 이다.
$\left(a^x\right)^y = w = \sqrt[qs]{\resaltar{a^{pr}}} = \resaltar{a^{\frac{pr}{qs}}} = a^{xy}$
주근의 유일성에 의해 $w$ 는 근지수가 $qs$ 인 거듭제곱근( $a^{pr}$ 의)이며, 이는 지수가 $\frac{pr}{qs} = xy$ 인 거듭제곱이다.

첫 번째 법칙에서 따름정리가 나온다. $a^x \cdot a^{-x} = a^0 = 1$ 이므로 수 $a^{-x}$ 은 $a^x$ 의 역수이고, 따라서 $\frac{a^x}{a^y} = a^x \cdot a^{-y} = a^{x - y}$ 이다. 이 법칙들 덕분에 유리수 지수로도 정수 지수와 똑같이 계산할 수 있다. 예를 들어 다음과 같다.

\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{32}, \qquad \left(\sqrt{2}\right)^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt[3]{2}

유리수 지수의 거듭제곱과 순서

수 집합 수업에서 증명되고 실수 직선 수업에서 부등식에 적용되었듯이, 자연수 지수의 거듭제곱은 음이 아닌 수의 순서를 보존한다. $0 \leq u < v$ 이면 $u^n < v^n$ 이다. 유리수 지수의 거듭제곱은 밑에 관해서 이 성질을 물려받고, 지수에 관해서 또 하나의 성질을 덧붙인다. 그 방향은 밑이 $1$ 보다 큰지 작은지에 따라 정해진다.

보조정리유리수 거듭제곱의 단조성

$x < y$ 을 유리수라 하자. $a > 1$ 이면 $a^x < a^y$ 이고, $0 < a < 1$ 이면 $a^x > a^y$ 이다. 또한 $x > 0$ 이고 $0 < s < t$ 이면 $s^x < t^x$ 이다. 그림은 $y = t^{\frac{1}{3}}$ , $y = t^{\frac{1}{2}}$ , $y = t^{\frac{3}{2}}$ 의 그래프를 보여 준다( $t > 0$ ). $t = 1$ 의 오른쪽에서는 지수가 클수록 값이 크고, 왼쪽에서는 그 반대가 일어나며, $t = 1$ 에서 세 곡선이 만난다.

증명

$x = \frac{p}{q}, \quad y = \frac{r}{q}, \quad p < r, \quad \dato{u1}{u > 1}$
$a > 1$ 이라 하자. $x$ 와 $y$ 를 공통분모 $q$ 로 쓰고, $u = \sqrt[q]{a}$ 라 하자. 그러면 $u > 1$ 이다. 만약 $u \leq 1$ 이라면 거듭제곱의 단조성에 의해 $u^q \leq 1$ 이 되어 $u^q = a > 1$ 에 모순이다.
$a^y = u^r = \resaltar{u^p \cdot u^{r - p}} > \resaltar{u^p} = a^x$
$r - p$ 가 자연수이므로 $u^{r - p} > 1^{r - p} = 1$ 이고, 양수 $u^p$ 을 곱해도 부등식은 보존된다.
$\frac{1}{a^x} < \frac{1}{a^y} \rightarrow \resaltar{a^x > a^y}$
$0 < a < 1$ 이면 그 역수는 $1$ 보다 크고, 앞의 결과에 의해 $\left(\frac{1}{a}\right)^x < \left(\frac{1}{a}\right)^y$ 이다. 지수법칙에 의해 $\left(\frac{1}{a}\right)^x = \frac{1}{a^x}$ 이므로, 두 양수의 역수를 취하면 부등식의 방향이 바뀐다.
$1^x = 1$
$a = 1$ 이면 그 거듭제곱은 모두 $1$ 이다. $1$ 의 거듭제곱근과 거듭제곱이 모두 $1$ 이기 때문이다. 그래서 세 그래프는 점 $(1, 1)$ 을 지난다.
$0 < s < t \rightarrow \resaltar{s^p < t^p} \rightarrow \resaltar{\sqrt[q]{s^p} < \sqrt[q]{t^p}}$
밑에 관한 단조성을 위해 $x = \frac{p}{q}$ 이라 하자(단, $p$ 는 자연수). $s < t$ 에서 $s^p < t^p$ 가 나온다. 만약 $\sqrt[q]{s^p} \geq \sqrt[q]{t^p}$ 라면 $q$ 제곱하여 $s^p \geq t^p$ 이 되는데, 이는 거짓이다.

거듭제곱 함수의 그래프는 대수 함수 수업에서 자세히 다룬다. 여기서는 두 가지 단조성으로 충분하며, 이는 수를 비교하는 데 쓰인다.