실수 직선: 순서, 구간, 절댓값

요약

이 수업은 실수를 한 직선 위의 점으로 다룬다. 세 공리로부터 부등식을 다루는 규칙을 연역하고, 아르키메데스 성질로 유리수가 직선 위에서 조밀함을 증명하며, 완비성으로 음이 아닌 모든 실수가 $n$ 제곱근을 가짐을 증명하고, 구간을 정의하여 틈이 없는 집합으로 특징짓고, 절댓값을 거리의 척도로 도입하면서 부등식에 관한 그 기본 보조정리와 삼각부등식을 보인다. 문제들은 이 도구들을 곱의 어림, 절댓값이 들어 있는 방정식과 부등식의 풀이, 근삿값의 오차 조절, 거리의 합의 최소화에 적용한다.

학습 목표

순서의 공리로부터 부등식을 더하고, 곱하고, 역수를 취하는 규칙을 연역하고, 부호를 모르는 수를 곱하지 않고 그 규칙들을 적용한다.
아르키메데스 성질을 적용하고, 그것을 써서 서로 다른 두 실수 사이에는 언제나 유리수가 있음을 증명한다.
실수의 집합을 구간으로 나타내고, 구간끼리 연산하며, 어떤 집합이 구간인 때를 알아본다.
절댓값을 거리로 해석하고, 절댓값이 들어 있는 조건을 구간으로 바꾸어 쓰며, 삼각부등식을 적용한다.

실수 직선

직선 위에 두 점을 고른다. 하나는 $0$ 을 나타내고, 그 오른쪽에 있는 다른 하나는 $1$ 을 나타낸다. 두 점을 잇는 선분의 길이를 단위로 삼고, 각 실수 $x$ 에 한 점을 대응시킨다. $x$ 가 양수이면 원점의 오른쪽에서 거리가 $x$ 인 점이고, 음수이면 왼쪽에서 거리가 $-x$ 인 점이다. 유리수는 자와 컴퍼스로 작도할 수 있는 점을 차지하며, 그 십진 표현은 유리수의 십진 표현에 관한 수업에서 공부했듯이 각 유리수가 단위의 어느 십진 눈금에 들어가는지를 알려 준다. 그런데 수 집합에 관한 수업에서는 유리수가 틈을 남긴다는 것, 예를 들어 $\sqrt{2}$ 가 차지하는 틈이 있다는 것을 보았고, 실수가 완비 순서체를 이루며 그 완비성 공리가 이 틈들을 메운다는 것을 받아들였다. 그래서 실수와 점 사이의 대응은 전단사라고 받아들인다. 즉 각 실수에 한 점이 대응하고, 각 점에 한 실수가 대응한다. 이 동일시는 증명하지 않는다. 여기서는 기하학의 직선이 수와 독립적으로 정의되어 있지 않기 때문이다. 이것은 완비성의 기하학적 해석이며, 실수 직선이라고 한다.

순서의 공리

‘왼쪽에 있다’라는 관계는 실수 사이의 순서 관계로 옮겨지고, 순서 관계는 양수의 집합으로부터 정의된다. 수 집합에 관한 수업이 실수에 대하여 체의 공리 및 완비성 공리와 함께 받아들이는 공리들 가운데, 순서의 공리는 이 집합에 관한 것이며, 여기서 다시 떠올려 둘 만하다.

삼분법: 각 실수 $x$ 에 대하여 세 주장 $x > 0$ , $x = 0$ , $-x > 0$ 가운데 정확히 하나가 성립한다.
두 양수의 합은 양수이다.
두 양수의 곱은 양수이다.

실수 $x$ 는 $-x$ 가 양수일 때 음수라고 한다. $x < y$ , 또는 $y > x$ 라고 쓰는 것은 차 $y - x$ 가 양수일 때이고, $x \leq y$ 이라고 쓰는 것은 $x < y$ 또는 $x = y$ 일 때이다. $y - x$ 에 적용하면, 삼분법은 임의의 두 실수에 대하여 주장 $x < y$ , $x = y$ , $y < x$ 가운데 정확히 하나가 성립함을 말한다. 직선 위의 서로 다른 두 점은 언제나 한쪽이 다른 쪽의 왼쪽에 있다. 또한 같은 수업의 예제 5에서는 이 공리들과 부호 규칙만으로 영이 아닌 모든 실수의 제곱이 양수임을 증명했다. 특히 $1 = 1^2 > 0$ 이다. 부등식을 다루는 규칙은 이 공리들과 체의 공리의 결과이다. 수 집합에 관한 수업은 순서의 규칙에 관한 보조정리에서 그 규칙들을 연역했으며, 여기서는 그것들을 모아 직선 위에서 해석한다.

정리순서의 성질

모든 실수 $x$ , $y$ , $z$ 에 대하여: $x < y$ 이고 $y < z$ 이면 $x < z$ 이다. $x < y$ 이면 $x + z < y + z$ 이다. $x < y$ 이고 $z > 0$ 이면 $xz < yz$ 이다. $x < y$ 이고 $z < 0$ 이면 $xz > yz$ 이다. $x > 0$ 이면 그 역수는 양수이다. 그리고 $0 < x < y$ 이면 $0 < \frac{1}{y} < \frac{1}{x}$ 이다. 각 주장은 어떤 차의 부호를 결정하는 일로 귀착된다. 이는 정수에 관한 수업에서와 같으며, 거기서는 이 규칙들을 정수에 대하여 증명했다. 증명은 수 집합에 관한 수업의 증명을 되풀이하는 것으로, 공리들만으로부터 연역되므로 이 규칙들은 모든 실수에 대하여 성립한다. 그림은 각 성질을 직선 위에 나타낸다. 평행이동은 두 점의 순서를 보존하고, 원점으로부터의 확대도 그러하며, 반사나 역수를 취하는 일은 순서를 뒤집는다.

증명

$z - x = \resaltar{(z - y) + (y - x)} > 0$
추이성: $x < y$ 이고 $y < z$ 이면 차 $y - x$ 와 $z - y$ 는 양수이고, 두 번째 공리에 의하여 그 합도 양수이다. 그 합은 $z - x$ 이다.
$(y + z) - (x + z) = \resaltar{y - x} > 0$
덧셈과의 양립성: 양변에 같은 수 $z$ 를 더해도 차는 바뀌지 않는다.
$\dato{pos}{yz - xz = \resaltar{(y - x) z} > 0}$
양수와의 곱: $z > 0$ 이면 차 $yz - xz$ 는 두 양수의 곱이며, 세 번째 공리에 의하여 양수이다.
$\dato{neg}{xz - yz = (y - x)\resaltar{(-z)} > 0}$
음수와의 곱: $z < 0$ 이면 그 덧셈의 역원 $-z$ 는 양수이고, 앞 단계를 $-z$ 에 적용하면 반대 순서로 양수인 차를 얻는다.
$\dato{inv}{x > 0 \rightarrow \frac{1}{x} > 0}$
역수의 부호: $x > 0$ 이라 하자. 만약 그 역수가 음수라면 $0 < x$ 에 그것을 곱할 때 부등식의 방향이 바뀌어 $0 > 1$ 이 되는데, 이는 거짓이다. 또한 역수는 영이 아니다. $x$ 와의 곱이 $1$ 이기 때문이다.
$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \resaltar{\frac{y - x}{xy}} > 0$
역수: $0 < x < y$ 이면 역수들의 차는 $y - x$ 와 $xy$ 의 역수의 곱이며, 둘 다 양수이다. 두 양수의 역수를 취하면 그 순서가 뒤집힌다.

이 규칙들로부터 늘 쓰이는 다른 규칙들이 나온다. 같은 방향의 두 부등식은 더할 수 있다. $a < b$ 이고 $c < d$ 이면 $a + c < b + c < b + d$ 이다. 음이 아닌 수들 사이의 두 부등식은 곱할 수 있다. $0 \leq a \leq b$ 이고 $0 \leq c \leq d$ 이면 $ac \leq bc \leq bd$ 이다. 반면에 변끼리 빼거나 나눌 수는 없으며, 어느 한 변이 음수이면 곱할 수도 없다. 이는 예제 1이 보여 준다. 끝으로, 음이 아닌 수들 사이에서는 제곱하는 일이 순서를 보존하고 또 순서를 반영한다. 이는 수 집합에 관한 수업에서 거듭제곱에 대하여 증명했다.

0 \leq p \wedge 0 \leq q \rightarrow \left(p < q \leftrightarrow p^2 < q^2\right)

직선 위에서 유리수의 조밀성

완비성 공리는, 수 집합에 관한 수업에서 서술했듯이, 위로 유계인 공집합이 아닌 실수의 집합은 모두 상한, 즉 가장 작은 상계를 가진다고 주장한다. 유리수의 십진 표현에 관한 수업에서는 이로부터 아르키메데스 성질을 연역했다. 모든 실수에 대하여 그보다 큰 자연수가 존재하며, 따라서 점 $1, 2, 3, \ldots$ 은 직선 위를 한없이 나아간다. 여기서 자주 쓰이는 형태가 나온다. $h > 0$ 이고 $x$ 가 임의의 실수이면, 어떤 자연수 $n$ 이 존재하여 $\frac{x}{h}$ 보다 크며, 양수인 $h$ 를 곱하면 $nh > x$ 를 얻는다. 기하학적으로 말하면, 선분은 아무리 작아도 충분히 여러 번 되풀이하면 다른 어떤 선분보다도 길어진다. 아르키메데스가 이 성질을 그렇게 사용했으며, 성질의 이름도 아르키메데스에게서 왔다.

h > 0 \rightarrow (\forall x \in \mathbb{R})(\exists n \in \mathbb{N})(nh > x)

유리수에 관한 수업에서는 서로 다른 두 유리수 사이에 무한히 많은 유리수가 있음을 증명했다. 아르키메데스 성질을 쓰면 더 강한 사실, 즉 수 집합에 관한 수업이 증명 없이 받아들인 채로 둔 사실을 증명할 수 있다. 유리수는 실수 직선 전체에 퍼져 있으며, 아무리 짧더라도 유리수를 하나도 포함하지 않는 구간은 없다.

정리실수 직선 위에서 유리수의 조밀성

서로 다른 두 실수 사이에는 언제나 유리수가 있다. $x < y$ 이면 어떤 유리수 $q$ 가 존재하여 $x < q < y$ 이다. 착상은 $x$ 와 $y$ 사이의 구간을 그 길이가 $1$ 을 넘어 정수를 포함할 때까지 늘린 다음, 다시 줄이는 것이다. 그림은 위에 원래 구간을, 아래에 늘린 구간을 보여 준다.

증명

$\dato{n}{ny > nx + 1}$
아르키메데스 성질을 $h = y - x > 0$ 에 적용하면 어떤 자연수 $n$ 이 존재하여 $n(y - x) > 1$ 이다. $n$ 배로 늘리면 구간의 길이는 단위보다 커진다.
$\dato{m}{m - 1 \leq nx < m}$
$m$ 을 $nx$ 보다 큰 가장 작은 정수라 하자. 이것은 존재한다. 아르키메데스 성질에 의하여 자연수 $k$ 가 있어서 $k > -nx$ 이고, 따라서 $nx + k > 0$ 이다. $nx + k$ 보다 큰 자연수의 집합은 다시 아르키메데스 성질에 의하여 공집합이 아니며, 정렬성 원리에 의하여 최소원 $j$ 를 가진다. 정수 $m = j - k$ 는 $nx$ 보다 크고, $m - 1$ 은 그렇지 않다. $j - 1$ 은 영이거나 $nx + k$ 를 넘지 않는 자연수이기 때문이다.
$nx < m \leq \resaltar{nx + 1} < ny$
첫 번째 부등식에 $1$ 을 더하고 첫 단계의 부등식과 이으면, 정수 $m$ 은 $nx$ 와 $ny$ 사이에 엄격하게 놓인다.
$x < \resaltar{\frac{m}{n}} < y$
양수인 $n$ 으로 나누면 부등식은 보존된다. $m$ 을 $n$ 으로 나눈 몫은 유리수이며 $x$ 와 $y$ 사이에 있다.

이 정리를 $x$ 와 얻어진 유리수 사이의 구간에 다시 적용하면 또 다른 유리수를 얻고, 이렇게 계속된다. 따라서 서로 다른 두 실수 사이에는 무한히 많은 유리수가 있다. 무리수에 대해서도 마찬가지이며, 이는 연습 문제 4에서 증명하도록 한다. 그러므로 유리수와 무리수는 그 십진 표현의 성질이 이토록 다른데도 직선 전체에 뒤섞여 있다.

거듭제곱근의 존재

수 집합에 관한 수업에서는 $n$ 제곱근의 주근(음이 아닌 실수 $a$ 의)을 $n$ 제곱이 $a$ 인 유일한 음이 아닌 실수로 정의했다. 거기서는 유일성을 증명하고 존재는 증명 없이 받아들였는데, 그 증명에는 상한을 쓰는 논증이 필요하기 때문이다. 완비성과 순서의 규칙을 쓰면 이제 그 논증을 할 수 있다. 두 거듭제곱의 차에 대한 어림을 사용한다. $0 \leq c \leq b$ 이면 다음 곱을 전개할 때 등비수열의 합에서처럼 가운데 항들이 소거되고, 두 번째 인수의 항 $n$ 개는 각각 많아야 $b^{n - 1}$ 이다.

b^n - c^n = (b - c)\left(b^{n - 1} + b^{n - 2} c + \cdots + c^{n - 1}\right) \leq (b - c) \cdot n b^{n - 1}

정리

n

제곱근의 존재

$n \geq 2$ 를 자연수라 하자. 모든 실수 $a \geq 0$ 에 대하여 어떤 실수 $s \geq 0$ 이 존재하여 $s^n = a$ 이다. $a = 0$ 이면 $s = 0$ 으로 두면 된다. 이하에서는 $a > 0$ 이라 한다. 구하는 근은 $n$ 제곱이 $a$ 를 넘지 않는 음이 아닌 수 전체의 상한으로 얻어지며, 두 엄격한 부등식은 따로따로 배제된다. 그림은 곡선 $y = x^n$ 과 높이 $a$ 인 직선을 그린다. 집합 $S$ 는 곡선 가운데 직선 위로 올라가지 않는 부분의 아래에 있는 축의 부분이며, $s$ 에 관한 잘못된 가정은 각각 잘못된 쪽에 오는 점에 의하여 반박된다.

증명

$x > 1 + a \rightarrow x^n \geq x > a$
집합 $S$ ( $n$ 제곱이 $a$ 를 넘지 않는 음이 아닌 실수 전체)는 $0$ 을 포함한다. 그것은 $1 + a$ 로 위에서 억눌린다. $x > 1 + a$ 이면 $x > 1$ 이고, 그 거듭제곱은 적어도 $x$ 이며, 이것은 이미 $a$ 를 넘는다.
$\dato{s}{x \in S \rightarrow x \leq s}$
완비성에 의하여 $S$ 는 상한 $s$ 를 가지며, $0$ 이 $S$ 에 속하므로 그것은 음이 아니다.
$\dato{h}{h = \frac{a - s^n}{a + n(s + 1)^{n - 1}}}$
$s^n < a$ 라고 가정하자. 수 $h$ 를 잡는다. 이것은 양수이고 $1$ 보다 작다. 분자가 분모보다 작기 때문이다.
$(s + h)^n - s^n \leq h \cdot n(s + 1)^{n - 1} \leq \resaltar{a - s^n}$
거듭제곱의 차에 대한 어림에 의하여, $b = s + h \leq s + 1$ 이고 $c = s$ 라 하면 $s + h$ 의 거듭제곱은 $a$ 를 넘지 않는다. 따라서 $s + h$ 는 $S$ 에 속하고 그 상한보다 크게 되는데, 이는 불가능하다.
$\dato{k}{h = \frac{s^n - a}{n s^{n - 1}}}$
$s^n > a$ 라고 가정하자. 그러면 $s > 0$ 이고, 다른 수 $h$ 를 잡는다. 이것은 양수이고 $s$ 보다 작다. $h \cdot n s^{n - 1} = s^n - a < s^n \leq n s^n$ 이기 때문이다.
$s^n - (s - h)^n \leq h \cdot n s^{n - 1} = \resaltar{s^n - a}$
$b = s$ 이고 $c = s - h$ 라 하면, 어림에 의하여 $s - h$ 의 거듭제곱은 적어도 $a$ 이다.
$x \in S \rightarrow x \leq s - h < s$
만약 어떤 $x$ ( $S$ 의 원소)가 $s - h$ 보다 크다면, 거듭제곱에 의한 순서의 보존으로부터 $x^n > (s - h)^n \geq a$ 가 되어 $S$ 의 정의에 어긋난다. 따라서 $s - h$ 는 $S$ 의 상계로서 $s$ 보다 작은 것이 되는데, 이는 불가능하다.
$s^n = a$
삼분법에 의하여 남는 것은 등식뿐이다. $s$ 는 $n$ 제곱근의 주근( $a$ 의)이며, 수 집합에 관한 수업에서 증명한 바에 의하여 유일하다.

이 정리와 유리수의 조밀성으로, 수 집합에 관한 수업이 증명 없이 받아들인 채로 둔 동일시도 완성된다. 집합 $A$ (제곱이 $2$ 보다 작은 유리수 전체)의 상한은 $\sqrt{2}$ 이다. 실제로 $\sqrt{2}$ 는 $A$ 의 상계이다. 만약 유리수 $x$ 가 $\sqrt{2}$ 보다 크다면, 그것은 양수이고 그 제곱은 $2$ 를 넘기 때문이다. 그리고 더 작은 상계는 어느 것도 쓸모가 없다. $u < \sqrt{2}$ 이면, 수 $u$ 와 $0$ 가운데 큰 쪽에서 $\sqrt{2}$ 까지의 구간에 조밀성을 적용하여 유리수 $q$ (단, $0 < q < \sqrt{2}$ 이고 $u < q$ 인 것)를 얻는다. 그 제곱은 $2$ 보다 작다. 음이 아닌 수들 사이에서는 거듭제곱이 순서를 보존하기 때문이다. 따라서 $q$ 는 $A$ 에 속하며 $u$ 를 넘는다.