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Topos Uranos
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일차방정식, 일차부등식과 연립일차방정식

요약

이 수업에서는 일차방정식과 일차부등식, 그리고 연립일차방정식을 공부한다. 어떤 연산이 방정식을 같은 해를 갖는 다른 방정식으로 바꾸는지 증명하고, 영이 될 수 있는 식을 곱하거나 양변을 제곱하면 왜 해가 더해지거나 없어질 수 있는지 설명한다. 방정식 ax+b=0ax + b = 0을 계수가 매개변수에 따라 달라지는 경우까지 포함하여 경우를 나누어 완전히 조사하고, 분수가 있는 방정식과 일차부등식(단독인 것과 연립인 것)을 풀며, 그 해집합을 구간으로 나타낸다. 끝으로, 미지수가 두 개인 두 방정식의 연립방정식을 대입법, 가감법, 등치법으로 풀고, 크라메르 공식을 증명하며, 연립방정식을 행렬식에 따라 분류하고, 세 방정식의 연립방정식을 가감법으로 풀며, 혼합, 나이, 속력에 관한 문제를 연립방정식으로 옮긴다.

학습 목표

  1. 방정식이나 부등식의 해집합을 보존하는 연산이 무엇인지 정당화하고, 해를 더하거나 없앨 수 있는 연산을 알아본다.
  2. 일차방정식(매개변수가 있는 것이나 분수가 있는 것)과 일차부등식(단독인 것과 연립인 것)을 경우를 나누어 조사하고 풀어, 그 해를 구간으로 쓴다.
  3. 두 일차방정식의 연립방정식을 대입법, 가감법, 등치법으로 풀고, 크라메르 공식을 이용하여 행렬식에 따라 분류한다.
  4. 문제를 모형화하는 연립일차방정식을 세우고 풀며, 해가 무수히 많은 경우나 해가 없는 경우를 해석한다.

방정식과 동치인 방정식

미지수 xx에 대한 방정식이란 등식 A=BA = B로서, 양변이 xx에 따라 달라지는 두 식인 것을 말한다. 그 해란 실수 x0x_0으로서, 두 식이 그 값에서 정의되고 같은 값을 갖는 것을 말하며, 이들이 이루는 집합을 방정식의 해집합이라 한다. 방정식을 푼다는 것은 이 집합을 기술하는 것이며, 이 집합은 원소를 하나 가질 수도, 여러 개 가질 수도, 무수히 많이 가질 수도, 하나도 갖지 않을 수도 있다. 예를 들어 2x−6=02x - 6 = 0의 해집합은 {3}\{3\}이고, x+1=1+xx + 1 = 1 + x의 해집합은 실수 직선 전체이며, x+1=xx + 1 = x의 해집합은 공집합이다.

두 방정식은 해집합이 같을 때 동치라고 한다. 방정식을 푸는 일반적인 방법은 그것을 동치인 방정식들의 사슬로 바꾸어 가는 것이다. 각 방정식은 바로 앞의 것보다 간단하며, 마지막에는 해집합을 바로 읽을 수 있는 방정식, 예를 들어 x=3x = 3에 이른다. 그런데 이 사슬의 각 고리는 해를 보존해야 하며, 해를 하나도 더하거나 없애서는 안 된다. 따라서 먼저 알아야 할 것은 어떤 연산이 이를 보장하는가이다.

해를 보존하는 연산

기본이 되는 연산은 두 가지이다. 양변에 같은 식을 더하는 것과 양변에 영이 아닌 같은 수를 곱하는 것이다. 뺄셈과 나눗셈은 그 특수한 경우이다. 식 CC를 빼는 것은 식 −C-C를 더하는 것이고, 수 kk로 나누는 것은 수 k−1k^{-1}을 곱하는 것이기 때문이다. 이는 수 집합에 관한 수업에서 보았다.

정리해를 보존하는 연산

식 AA, BB, CC가 미지수 xx에 대한 식으로서 실수의 같은 집합에서 정의된다고 하고, 수 kk가 영이 아닌 실수라고 하자. 그러면 방정식 A=BA = B, A+C=B+CA + C = B + C, kA=kBkA = kB은 같은 해집합을 갖는다. 더 일반적으로, 식 CC가 그 집합의 어느 점에서도 영이 되지 않으면 방정식 A=BA = B과 방정식 CA=CBCA = CB은 같은 해집합을 갖는다. 각 연산에 대하여 두 포함 관계를 증명해야 한다. 원래 방정식의 모든 해는 변형된 방정식의 해이고, 그 역도 성립한다는 것이다. 그림은 방정식을 평형을 이룬 저울로 나타내며, 두 접시에 같은 일을 하면 평형은 유지된다.

증명

  1. A(x0)=B(x0)→A(x0)+C(x0)=B(x0)+C(x0)\dato{s}{A(x_0) = B(x_0)} \rightarrow A(x_0) + \resaltar{C(x_0)} = B(x_0) + \resaltar{C(x_0)}

    수 x0x_0이 방정식 A=BA = B의 해라고 하자. 두 수 A(x0)A(x_0)과 B(x0)B(x_0)은 같은 수이고, 여기에 같은 수를 더하면 같은 결과를 얻는다. 방정식 A=BA = B의 모든 해는 방정식 A+C=B+CA + C = B + C의 해이다.

  2. (A(x0)+C(x0))+(−C(x0))=A(x0)+0=A(x0)\left( A(x_0) + C(x_0) \right) + \resaltar{(-C(x_0))} = A(x_0) + 0 = \resaltar{A(x_0)}

    역으로, 수 x0x_0이 방정식 A+C=B+CA + C = B + C를 만족하면, 양변에 C(x0)C(x_0)의 덧셈의 역원을 더한다. 결합법칙과 덧셈의 역원의 정의에 의해 각 변에는 첫째 항만 남으므로 A(x0)=B(x0)A(x_0) = B(x_0)이다. 두 해집합은 일치한다.

  3. A(x0)=B(x0)→kA(x0)=kB(x0)A(x_0) = B(x_0) \rightarrow \resaltar{k} A(x_0) = \resaltar{k} B(x_0)

    마찬가지로, 수 x0x_0이 방정식 A=BA = B의 해이면, 같은 수에 수 kk를 곱하여 같은 결과를 얻는다.

  4. k−1(kA(x0))=(k−1k)A(x0)=A(x0)\resaltar{k^{-1}} \left( k A(x_0) \right) = \left( k^{-1} k \right) A(x_0) = \resaltar{A(x_0)}

    역으로, k≠0k \neq 0이므로 그 역수 k−1k^{-1}이 존재한다. 이를 등식 kA(x0)=kB(x0)kA(x_0) = kB(x_0)의 양변에 곱하면 원래의 등식으로 돌아간다. 식 CC가 어느 점에서도 영이 되지 않으면, 같은 논증이 각 점 x0x_0에서 수 k=C(x0)k = C(x_0)에 대하여 성립한다.

  5. 0⋅A(x0)=0=0⋅B(x0)\resaltar{0} \cdot A(x_0) = 0 = \resaltar{0} \cdot B(x_0)

    가정 k≠0k \neq 0은 없어서는 안 된다. 수 00을 곱하면 양변은 값 00이 되고(이는 모든 xx에 대하여 그렇다), 변형된 방정식은 원래 방정식의 해이든 아니든 어떤 수에 의해서도 만족된다.

해를 더하거나 없앨 수 있는 연산

식 CC가 어떤 점에서 영이 되면 동치성이 깨질 수 있다. 양변에 점 x1x_1에서 영이 되는 식을 곱하면, 수 x1x_1은 원래 해가 아니었더라도 해가 된다. 또 그 식으로 나누면 그 식이 영이 되는 점에 있던 해를 잃는다. 예를 들어 방정식 x=2x = 2는 해가 하나뿐이지만, 식 x−3x - 3을 곱하면 수 33도 나타난다. 또 방정식 x2=3xx^2 = 3x은 해 00과 해 33을 갖는데, 그 까닭은 등식 x2−3x=x(x−3)x^2 - 3x = x(x - 3)이 성립하기 때문이다. 그러나 식 xx로 나누면 방정식 x=3x = 3만 남고 해 00을 잃는다.

x(x−3)=2(x−3)↔x=2∨x=3,x2=3x↔x=0∨x=3x(x - 3) = 2(x - 3) \leftrightarrow x = 2 \vee x = 3, \qquad x^2 = 3x \leftrightarrow x = 0 \vee x = 3

양변을 제곱하는 것도 가역적인 연산이 아니다. 서로 덧셈의 역원인 두 수는 제곱이 같기 때문이다. 다음 보조정리는 어떤 해가 나타날 수 있는지 정확히 밝힌다.

보조정리제곱하기

실수 AA와 BB에 대하여 등식 A2=B2A^2 = B^2은 A=BA = B 또는 A=−BA = -B일 때, 그리고 그때에만 성립한다. 따라서 방정식 A=BA = B의 양변을 제곱하면 그 해는 모두 보존되지만 방정식 A=−BA = -B의 해가 더해질 수 있다. 식 AA와 BB가 음의 값을 갖지 않으면 아무것도 더해지지 않는다. 증명은 제곱의 차를 인수분해한다. 그림은 포물선 y=t2y = t^2과 높이 B2B^2의 수평선을 경우 B=2B = 2에 대하여 그린다. 제곱이 값 B2B^2인 수는 두 교점의 가로 좌표, 곧 수 BB와 수 −B-B이다.

증명

  1. A2−B2=(A−B)(A+B)A^2 - B^2 = \resaltar{(A - B)(A + B)}

    분배법칙에 의해 제곱의 차는 인수분해된다. 항 ABAB와 항 −AB-AB는 서로 소거된다.

  2. A2=B2↔(A−B)(A+B)=0↔A=B∨A=−B\dato{eq}{A^2 = B^2 \leftrightarrow (A - B)(A + B) = 0 \leftrightarrow A = B \vee \resaltar{A = -B}}

    곱이 영일 필요충분조건은 그 인수 중 어느 하나가 영인 것이며, 이는 수 집합에 관한 수업에서 증명하였다. 따라서 제곱이 같은 수는 같거나 서로 덧셈의 역원이다.

  3. A2=B2↔(A=B)∨(A=−B)A^2 = B^2 \leftrightarrow \left( A = B \right) \vee \resaltar{\left( A = -B \right)}

    이를 xx의 각 값에서 적용하면, 제곱한 방정식의 해는 방정식 A=BA = B의 해와 방정식 A=−BA = -B의 해를 합친 것이다. 해는 하나도 잃지 않지만 뒤의 방정식의 해가 더해질 수 있다.

  4. A≥0≥−B=A→A=0=BA \geq 0 \geq -B = A \rightarrow \resaltar{A = 0 = B}

    식 AA와 BB가 음이 아니고 A=−BA = -B이면, 수 AA는 두 같은 양 사이에 끼인다. 따라서 A=0=BA = 0 = B이고, 더해진 해는 이미 방정식 A=BA = B의 해였다.

근호가 있는 방정식은, 그 성질을 유리수 지수와 거듭제곱근에 관한 수업에서 공부하였는데, 제곱하여 푼다. 보조정리에 의해, 얻은 방정식의 모든 해는 원래 방정식에서 확인해야 한다.

예시제곱할 때 나타나는 해

방정식 x+2=x\sqrt{x + 2} = x을 풀어라. 그림은 근호의 그래프, 그 부호를 바꾼 그래프, 직선 y=xy = x를 보여 준다. 제곱한 방정식은 직선과 두 그래프의 교점을 모두 모은다.

증명

  1. (x+2)2=x2→x+2=x2\resaltar{\left( \sqrt{x + 2} \right)^2} = x^2 \rightarrow \resaltar{x + 2} = x^2

    근호는 범위 x≥−2x \geq -2에서 정의된다. 양변을 제곱한다. 우변은 음수일 수 있으므로, 얻은 방정식은 원래 방정식보다 해가 더 많을 수 있다.

  2. x2−x−2=(x−2)(x+1)=0\resaltar{x^2 - x - 2} = \resaltar{(x - 2)(x + 1)} = 0

    모든 항을 우변으로 옮기고 인수분해한다. 곱 (x−2)(x+1)(x - 2)(x + 1)을 전개하면 식 x2−x−2x^2 - x - 2가 된다.

  3. x=2∨x=−1\dato{c}{x = 2 \vee x = -1}

    곱이 영일 필요충분조건은 그 인수 중 어느 하나가 영인 것이다. 후보는 두 개이다.

  4. 2+2=4=2\sqrt{\resaltar{2} + 2} = \sqrt{4} = \resaltar{2}

    첫째 후보를 원래 방정식에서 확인한다. 이것은 해이다.

  5. −1+2=1≠−1\sqrt{\resaltar{-1} + 2} = 1 \neq \resaltar{-1}

    둘째 후보는 해가 아니다. 좌변은 값 11이고 우변은 값 −1-1이다. 이것은 방정식 −x+2=x-\sqrt{x + 2} = x, 곧 제곱이 더한 방정식 A=−BA = -B의 해이다. 따라서 해집합은 {2}\{2\}이다.