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Topos Uranos
日本語

一次方程式・一次不等式と連立一次方程式

要約

この課では、一次方程式と一次不等式、および連立一次方程式を学ぶ。方程式を同じ解をもつ別の方程式に変形する操作がどれかを証明し、0 になりうる式を掛けること、あるいは両辺を 2 乗することが、なぜ解を付け加えたり失わせたりしうるのかを説明する。方程式 ax+b=0ax + b = 0 を、係数がパラメータに依存する場合も含めて完全に場合分けして調べ、分数を含む方程式と一次不等式（単独のものと連立のもの）を解き、それらの解の集合を区間として表す。最後に、二つの未知数をもつ二つの方程式の連立方程式を代入法、加減法、等置法で解き、クラメルの公式を証明し、連立方程式をその行列式によって分類し、三つの方程式の連立方程式を加減法で解き、混合、年齢、速さの問題を連立方程式に翻訳する。

学習目標

  1. 方程式または不等式の解の集合を保つ操作がどれかを根拠づけ、解を付け加えたり失わせたりしうる操作を見分ける。
  2. 一次方程式（パラメータを含むもの、分数を含むもの）と一次不等式（単独のもの、連立のもの）を場合分けして調べて解き、その解を区間として書く。
  3. 二つの一次方程式の連立方程式を代入法、加減法、等置法で解き、クラメルの公式を用いて行列式によって分類する。
  4. 問題をモデル化する連立一次方程式を立てて解き、解が無数にある場合や解がない場合を解釈する。

方程式と同値な方程式

未知数 xx の方程式とは、等式 A=BA = B であって、両辺が xx に依存する二つの式であるもののことである。その解とは実数 x0x_0 であって、両方の式がそこで定義されて同じ値をとるもののことであり、それらがなす集合を方程式の解の集合という。方程式を解くとはこの集合を記述することであり、この集合は元を一つもつことも、いくつかもつことも、無数にもつことも、一つももたないこともある。たとえば、2x−6=02x - 6 = 0 の解の集合は {3}\{3\}、x+1=1+xx + 1 = 1 + x の解の集合は実数直線全体であり、x+1=xx + 1 = x の解の集合は空である。

二つの方程式は、解の集合が同じであるとき同値であるという。方程式を解く一般的な方法は、それを同値な方程式の連なりで置き換えていくことである。各方程式は一つ前のものより簡単で、最後には解の集合が直接読みとれる方程式、たとえば x=3x = 3 に到達する。ところで、この連なりの各段階は解を保たねばならず、解を一つも付け加えても失ってもならない。したがって、まず知るべきは、どの操作がそれを保証するかである。

解を保つ操作

基本となる操作は二つある。両辺に同じ式を加えることと、両辺に同じ 0 でない数を掛けることである。引き算と割り算はその特別な場合である。CC を引くことは −C-C を加えることであり、kk で割ることは k−1k^{-1} を掛けることだからである。これは数の集合の課で見たとおりである。

定理解を保つ操作

AA、BB、CC を未知数 xx の式で、実数の同じ集合の上で定義されたものとし、kk を 0 でない実数とする。このとき方程式 A=BA = B、A+C=B+CA + C = B + C、kA=kBkA = kB は同じ解の集合をもつ。より一般に、式 CC がその集合のどの点でも 0 にならないならば、A=BA = B と CA=CBCA = CB は同じ解の集合をもつ。 それぞれの操作について二つの包含関係を証明する必要がある。もとの方程式の解はすべて変形後の方程式の解であること、およびその逆である。図は方程式をつり合った天秤として表しており、両方の皿に同じことをすればつり合いは保たれる。

証明

  1. A(x0)=B(x0)→A(x0)+C(x0)=B(x0)+C(x0)\dato{s}{A(x_0) = B(x_0)} \rightarrow A(x_0) + \resaltar{C(x_0)} = B(x_0) + \resaltar{C(x_0)}

    x0x_0 を A=BA = B の解とする。数 A(x0)A(x_0) と B(x0)B(x_0) は同じ数であり、それらに同じ数を加えれば同じ結果が得られる。A=BA = B の解はすべて A+C=B+CA + C = B + C の解である。

  2. (A(x0)+C(x0))+(−C(x0))=A(x0)+0=A(x0)\left( A(x_0) + C(x_0) \right) + \resaltar{(-C(x_0))} = A(x_0) + 0 = \resaltar{A(x_0)}

    逆に、x0x_0 が A+C=B+CA + C = B + C を満たすならば、両辺に C(x0)C(x_0) の反数を加える。結合法則と反数の定義により、各辺には最初の項だけが残り、したがって A(x0)=B(x0)A(x_0) = B(x_0) となる。二つの解の集合は一致する。

  3. A(x0)=B(x0)→kA(x0)=kB(x0)A(x_0) = B(x_0) \rightarrow \resaltar{k} A(x_0) = \resaltar{k} B(x_0)

    同様に、x0x_0 が A=BA = B の解ならば、同じ数に kk を掛ければ同じ結果が得られる。

  4. k−1(kA(x0))=(k−1k)A(x0)=A(x0)\resaltar{k^{-1}} \left( k A(x_0) \right) = \left( k^{-1} k \right) A(x_0) = \resaltar{A(x_0)}

    逆に、k≠0k \neq 0 であるから、その逆数 k−1k^{-1} が存在する。それを等式 kA(x0)=kB(x0)kA(x_0) = kB(x_0) の両辺に掛ければ、もとの等式に戻る。CC がどの点でも 0 にならないならば、同じ議論が各点 x0x_0 で数 k=C(x0)k = C(x_0) について成り立つ。

  5. 0⋅A(x0)=0=0⋅B(x0)\resaltar{0} \cdot A(x_0) = 0 = \resaltar{0} \cdot B(x_0)

    仮定 k≠0k \neq 0 は欠かせない。00 を掛けると、両辺は 00 になり（これはすべての xx について成り立つ）、変形後の方程式は、もとの方程式の解であるかどうかにかかわらず、どの数でも満たされてしまう。

解を付け加えたり失わせたりしうる操作

CC がある点で 0 になるならば、同値性は崩れうる。両辺に x1x_1 で 0 になる式を掛けると、数 x1x_1 は、もともと解でなかったとしても解になってしまう。また、その式で割ると、その式が 0 になる点にある解が失われる。たとえば、x=2x = 2 の解は一つだけであるが、x−3x - 3 を掛けると 33 も現れる。また方程式 x2=3xx^2 = 3x は解 00 と 33 をもつ。x2−3x=x(x−3)x^2 - 3x = x(x - 3) だからである。しかし xx で割ると x=3x = 3 が残り、00 が失われる。

x(x−3)=2(x−3)↔x=2∨x=3,x2=3x↔x=0∨x=3x(x - 3) = 2(x - 3) \leftrightarrow x = 2 \vee x = 3, \qquad x^2 = 3x \leftrightarrow x = 0 \vee x = 3

両辺を 2 乗することも可逆な操作ではない。互いに反数である二つの数は同じ 2 乗をもつからである。次の補題は、どのような解が現れうるかを明確にする。

補題2 乗すること

実数 AA と BB について、A2=B2A^2 = B^2 が成り立つのは A=BA = B または A=−BA = -B のとき、かつそのときに限る。したがって、方程式 A=BA = B の両辺を 2 乗すると、その解はすべて保たれるが、方程式 A=−BA = -B の解が付け加わることがある。AA と BB が負の値をとらないならば、何も付け加わらない。 証明は 2 乗の差を因数分解する。図は放物線 y=t2y = t^2 と高さ B2B^2 の水平な直線を、B=2B = 2 として描いている。2 乗が B2B^2 になる数は、二つの交点の横座標、すなわち BB と −B-B である。

証明

  1. A2−B2=(A−B)(A+B)A^2 - B^2 = \resaltar{(A - B)(A + B)}

    分配法則により、2 乗の差は因数分解される。項 ABAB と −AB-AB は打ち消し合う。

  2. A2=B2↔(A−B)(A+B)=0↔A=B∨A=−B\dato{eq}{A^2 = B^2 \leftrightarrow (A - B)(A + B) = 0 \leftrightarrow A = B \vee \resaltar{A = -B}}

    積が 0 であるのは、その因数のどれかが 0 であるとき、かつそのときに限る。これは数の集合の課で証明したとおりである。したがって、2 乗が等しい数は等しいか、互いに反数である。

  3. A2=B2↔(A=B)∨(A=−B)A^2 = B^2 \leftrightarrow \left( A = B \right) \vee \resaltar{\left( A = -B \right)}

    これを xx の各値で適用すると、2 乗した方程式の解は、A=BA = B の解と A=−BA = -B の解を合わせたものである。解は一つも失われないが、後者の解が付け加わることがある。

  4. A≥0≥−B=A→A=0=BA \geq 0 \geq -B = A \rightarrow \resaltar{A = 0 = B}

    AA と BB が負でなく A=−BA = -B ならば、数 AA は二つの等しい量に挟まれる。したがって A=0=BA = 0 = B であり、付け加わった解はもともと A=BA = B の解であった。

根号を含む方程式は、その性質を有理数の指数と累乗根の課で学んだものであるが、2 乗して解く。補題により、得られた方程式の解はすべて、もとの方程式で確かめなければならない。

例2 乗したときに現れる解

方程式 x+2=x\sqrt{x + 2} = x を解け。図は根号の関数、その符号を変えたもの、直線 y=xy = x を示している。2 乗した方程式は、直線とその両方との交点を拾い上げる。

証明

  1. (x+2)2=x2→x+2=x2\resaltar{\left( \sqrt{x + 2} \right)^2} = x^2 \rightarrow \resaltar{x + 2} = x^2

    根号は x≥−2x \geq -2 で定義される。両辺を 2 乗する。右辺は負になりうるので、得られる方程式はもとの方程式より多くの解をもちうる。

  2. x2−x−2=(x−2)(x+1)=0\resaltar{x^2 - x - 2} = \resaltar{(x - 2)(x + 1)} = 0

    すべてを右辺に移して因数分解する。積 (x−2)(x+1)(x - 2)(x + 1) を展開すると x2−x−2x^2 - x - 2 となる。

  3. x=2∨x=−1\dato{c}{x = 2 \vee x = -1}

    積が 0 であるのは、その因数のどれかが 0 であるとき、かつそのときに限る。候補は二つある。

  4. 2+2=4=2\sqrt{\resaltar{2} + 2} = \sqrt{4} = \resaltar{2}

    一つ目をもとの方程式で確かめる。これは解である。

  5. −1+2=1≠−1\sqrt{\resaltar{-1} + 2} = 1 \neq \resaltar{-1}

    二つ目は解ではない。左辺は 11、右辺は −1-1 である。これは −x+2=x-\sqrt{x + 2} = x、すなわち 2 乗によって付け加わった方程式 A=−BA = -B の解である。したがって、解の集合は {2}\{2\} である。