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Topos Uranos
Português

Equações e inequações do primeiro grau e sistemas lineares

Resumo

Esta aula estuda as equações e inequações do primeiro grau e os sistemas de equações lineares. Demonstra quais operações transformam uma equação em outra com as mesmas soluções e explica por que multiplicar por uma expressão que pode se anular, ou elevar ao quadrado, pode acrescentar ou suprimir soluções. Discute por completo a equação ax+b=0ax + b = 0, também quando seus coeficientes dependem de um parâmetro, resolve equações com frações e inequações lineares, simples e simultâneas, e expressa seus conjuntos solução como intervalos. Por fim, resolve os sistemas de duas equações com duas incógnitas por substituição, adição e comparação, demonstra a regra de Cramer, classifica os sistemas segundo seu determinante, resolve um sistema de três equações por adição e traduz em sistemas problemas de misturas, idades e velocidades.

Objetivos de aprendizagem

  1. Justificar quais operações conservam o conjunto solução de uma equação ou de uma inequação, e reconhecer as que podem acrescentar ou suprimir soluções.
  2. Discutir e resolver equações do primeiro grau, com parâmetros ou com frações, e inequações lineares simples e simultâneas, escrevendo suas soluções como intervalos.
  3. Resolver sistemas de duas equações lineares por substituição, adição e comparação, e classificá-los segundo seu determinante por meio da regra de Cramer.
  4. Formular e resolver sistemas lineares que modelam problemas, interpretando os casos de infinitas soluções ou de nenhuma.

Equações e equações equivalentes

Uma equação na incógnita xx é uma igualdade A=BA = B entre duas expressões que dependem de xx. Suas soluções são os números reais x0x_0 para os quais ambas as expressões estão definidas e assumem o mesmo valor; o conjunto que elas formam é o conjunto solução da equação. Resolver uma equação é descrever esse conjunto, que pode ter um elemento, vários, infinitos ou nenhum. Por exemplo, o conjunto solução de 2x−6=02x - 6 = 0 é {3}\{3\}, o de x+1=1+xx + 1 = 1 + x é toda a reta real e o de x+1=xx + 1 = x é vazio.

Duas equações são equivalentes quando têm o mesmo conjunto solução. O método geral para resolver uma equação consiste em substituí-la por uma sucessão de equações equivalentes, cada uma mais simples que a anterior, até chegar a uma cujo conjunto solução se lê diretamente, como x=3x = 3. Ora, cada transformação dessa sucessão deve conservar as soluções, sem acrescentar nem suprimir nenhuma; segue-se que o primeiro é saber quais operações o garantem.

Operações que conservam as soluções

As duas operações fundamentais são somar uma mesma expressão a ambos os membros e multiplicá-los por um mesmo número não nulo. Subtrair e dividir são casos particulares, porque subtrair CC é somar −C-C, e dividir por kk é multiplicar por k−1k^{-1}, como se viu na aula sobre os conjuntos numéricos.

TeoremaAs operações que conservam as soluções

Sejam AA, BB e CC expressões na incógnita xx, definidas num mesmo conjunto de números reais, e seja kk um número real não nulo. Então as equações A=BA = B, A+C=B+CA + C = B + C e kA=kBkA = kB têm o mesmo conjunto solução. Mais geralmente, se a expressão CC não se anula em nenhum ponto desse conjunto, A=BA = B e CA=CBCA = CB têm o mesmo conjunto solução. É preciso provar duas inclusões para cada operação: toda solução da equação original o é da transformada, e reciprocamente. A figura representa a equação como uma balança em equilíbrio, que o conserva se se faz o mesmo em ambos os pratos.

Demonstração

  1. A(x0)=B(x0)→A(x0)+C(x0)=B(x0)+C(x0)\dato{s}{A(x_0) = B(x_0)} \rightarrow A(x_0) + \resaltar{C(x_0)} = B(x_0) + \resaltar{C(x_0)}

    Seja x0x_0 uma solução de A=BA = B: os números A(x0)A(x_0) e B(x0)B(x_0) são o mesmo, e ao somar-lhes um mesmo número obtém-se um mesmo resultado. Toda solução de A=BA = B o é de A+C=B+CA + C = B + C.

  2. (A(x0)+C(x0))+(−C(x0))=A(x0)+0=A(x0)\left( A(x_0) + C(x_0) \right) + \resaltar{(-C(x_0))} = A(x_0) + 0 = \resaltar{A(x_0)}

    Reciprocamente, se x0x_0 satisfaz A+C=B+CA + C = B + C, somamos a ambos os membros o oposto de C(x0)C(x_0). Pela associatividade e pela definição do oposto, em cada membro fica só a primeira parcela, donde A(x0)=B(x0)A(x_0) = B(x_0): os dois conjuntos solução coincidem.

  3. A(x0)=B(x0)→kA(x0)=kB(x0)A(x_0) = B(x_0) \rightarrow \resaltar{k} A(x_0) = \resaltar{k} B(x_0)

    Do mesmo modo, se x0x_0 é solução de A=BA = B, ao multiplicar um mesmo número por kk obtém-se um mesmo resultado.

  4. k−1(kA(x0))=(k−1k)A(x0)=A(x0)\resaltar{k^{-1}} \left( k A(x_0) \right) = \left( k^{-1} k \right) A(x_0) = \resaltar{A(x_0)}

    Reciprocamente, como k≠0k \neq 0, existe seu inverso k−1k^{-1}; ao multiplicar por ele ambos os membros de kA(x0)=kB(x0)kA(x_0) = kB(x_0) recupera-se a igualdade original. Se CC não se anula em nenhum ponto, o mesmo argumento vale em cada x0x_0 com o número k=C(x0)k = C(x_0).

  5. 0⋅A(x0)=0=0⋅B(x0)\resaltar{0} \cdot A(x_0) = 0 = \resaltar{0} \cdot B(x_0)

    A hipótese k≠0k \neq 0 é imprescindível: ao multiplicar por 00, ambos os membros valem 00 para todo xx, e a equação transformada é satisfeita por qualquer número, seja ou não solução da original.

Operações que podem acrescentar ou suprimir soluções

Se CC se anula em algum ponto, a equivalência pode falhar. Ao multiplicar ambos os membros por uma expressão que se anula em x1x_1, o número x1x_1 passa a ser solução, ainda que não o fosse; e ao dividir por ela perdem-se as soluções em que ela se anula. Por exemplo, x=2x = 2 tem uma única solução, mas ao multiplicar por x−3x - 3 aparece também o 33; e a equação x2=3xx^2 = 3x tem as soluções 00 e 33, porque x2−3x=x(x−3)x^2 - 3x = x(x - 3), mas ao dividir por xx fica x=3x = 3 e perde-se o 00:

x(x−3)=2(x−3)↔x=2∨x=3,x2=3x↔x=0∨x=3x(x - 3) = 2(x - 3) \leftrightarrow x = 2 \vee x = 3, \qquad x^2 = 3x \leftrightarrow x = 0 \vee x = 3

Elevar ao quadrado os dois membros tampouco é uma operação reversível, porque dois números opostos têm o mesmo quadrado. O lema seguinte precisa quais soluções podem aparecer.

LemaElevar ao quadrado

Para números reais AA e BB, tem-se A2=B2A^2 = B^2 se e somente se A=BA = B ou A=−BA = -B. Em consequência, ao elevar ao quadrado os dois membros de uma equação A=BA = B conservam-se todas as suas soluções, mas podem acrescentar-se as da equação A=−BA = -B; se AA e BB não assumem valores negativos, não se acrescenta nenhuma. A demonstração fatora a diferença dos quadrados. A figura desenha a parábola y=t2y = t^2 e a reta horizontal de altura B2B^2, com B=2B = 2: os números cujo quadrado é B2B^2 são as abscissas dos dois pontos de interseção, BB e −B-B.

Demonstração

  1. A2−B2=(A−B)(A+B)A^2 - B^2 = \resaltar{(A - B)(A + B)}

    Pela distributividade, a diferença dos quadrados se fatora; os termos ABAB e −AB-AB se cancelam.

  2. A2=B2↔(A−B)(A+B)=0↔A=B∨A=−B\dato{eq}{A^2 = B^2 \leftrightarrow (A - B)(A + B) = 0 \leftrightarrow A = B \vee \resaltar{A = -B}}

    Um produto é nulo se e somente se algum de seus fatores o é, como se demonstrou na aula sobre os conjuntos numéricos. Donde os números de quadrado igual são iguais ou opostos.

  3. A2=B2↔(A=B)∨(A=−B)A^2 = B^2 \leftrightarrow \left( A = B \right) \vee \resaltar{\left( A = -B \right)}

    Aplicado em cada valor de xx, isso diz que as soluções da equação elevada ao quadrado são as de A=BA = B junto com as de A=−BA = -B: não se perde nenhuma, mas podem acrescentar-se as da segunda.

  4. A≥0≥−B=A→A=0=BA \geq 0 \geq -B = A \rightarrow \resaltar{A = 0 = B}

    Se AA e BB são não negativos e A=−BA = -B, o número AA fica entre duas quantidades iguais; donde A=0=BA = 0 = B, e a solução acrescentada já o era de A=BA = B.

As equações com raízes, cujas propriedades se estudaram na aula sobre potências de expoente racional e radicais, resolvem-se elevando ao quadrado; pelo lema, toda solução da equação obtida deve ser verificada na original.

ExemploUma solução que aparece ao elevar ao quadrado

Resolver a equação x+2=x\sqrt{x + 2} = x. A figura mostra a raiz, sua oposta e a reta y=xy = x: a equação elevada ao quadrado recolhe as interseções da reta com ambas.

Demonstração

  1. (x+2)2=x2→x+2=x2\resaltar{\left( \sqrt{x + 2} \right)^2} = x^2 \rightarrow \resaltar{x + 2} = x^2

    A raiz está definida para x≥−2x \geq -2. Elevamos ao quadrado ambos os membros; o segundo pode ser negativo, de modo que a equação obtida pode ter mais soluções que a original.

  2. x2−x−2=(x−2)(x+1)=0\resaltar{x^2 - x - 2} = \resaltar{(x - 2)(x + 1)} = 0

    Passamos tudo para o segundo membro e fatoramos; o produto (x−2)(x+1)(x - 2)(x + 1), desenvolvido, dá x2−x−2x^2 - x - 2.

  3. x=2∨x=−1\dato{c}{x = 2 \vee x = -1}

    Um produto é nulo se e somente se algum de seus fatores o é: há dois candidatos.

  4. 2+2=4=2\sqrt{\resaltar{2} + 2} = \sqrt{4} = \resaltar{2}

    Verificamos o primeiro na equação original: é solução.

  5. −1+2=1≠−1\sqrt{\resaltar{-1} + 2} = 1 \neq \resaltar{-1}

    O segundo não o é: o primeiro membro vale 11 e o segundo −1-1. É solução de −x+2=x-\sqrt{x + 2} = x, a equação A=−BA = -B que o quadrado acrescentou. Portanto, o conjunto solução é {2}\{2\}.