Os números complexos: operações e equações

Os números complexos como pares de números reais

Na aula sobre os conjuntos numéricos, introduziu-se a unidade imaginária $i$ como um número novo cujo quadrado é $-1$, e operou-se com as expressões $a + bi$ com as mesmas regras que com os reais. Esse modo de proceder deixa em aberto duas perguntas: se existe realmente um objeto com essa propriedade e se as regras dos reais podem ser aplicadas a ele sem contradição. A resposta, que Hamilton publicou em 1837, consiste em construir os complexos a partir dos reais, sem postular nada de novo: um número complexo é um par ordenado de números reais.

Definição (número complexo). Um número complexo é um par ordenado $(a, b)$ de números reais; seu conjunto é denotado por $\mathbb{C}$. Dois complexos são iguais quando coincidem suas primeiras componentes e suas segundas componentes. A soma e o produto são definidos pelas fórmulas seguintes.

A soma opera componente a componente. O produto, ao contrário, não é o produto componente a componente, que daria $(ac, bd)$, e sua forma parece arbitrária; justifica-se por suas consequências. Com o produto componente a componente, o produto de $(1, 0)$ por $(0, 1)$ seria $(0, 0)$ sem que nenhum fator fosse nulo, e não poderia haver divisão; com o produto definido, ao contrário, o par $(0, 1)$ tem por quadrado o par $(-1, 0)$, e os pares da forma $(a, 0)$ se comportam exatamente como os reais.

Os reais dentro dos complexos

Os pares cuja segunda componente é nula se somam e se multiplicam como os reais:

Portanto, o par $(a, 0)$ pode ser identificado com o real $a$ sem que nenhuma operação mude de resultado, e $\mathbb{R}$ fica contido em $\mathbb{C}$, como exige o princípio das ampliações enunciado na aula sobre os conjuntos numéricos. Multiplicar um par por um real, além disso, multiplica suas duas componentes, porque $(r, 0) \cdot (a, b) = (ra, rb)$. Chama-se unidade imaginária o par $i = (0, 1)$.

A expressão $a + bi$ é a forma algébrica do complexo $z = (a, b)$. O real $a$ é a parte real de $z$ e o real $b$, sua parte imaginária; observe-se que a parte imaginária é o número real $b$, e não o produto $bi$. Os complexos de parte imaginária nula são os reais, e os de parte real nula, como $3i$, chamam-se imaginários puros. Pela última afirmação do teorema, uma igualdade entre complexos equivale a duas igualdades entre reais; daí se segue que toda equação complexa pode ser convertida em um sistema de duas equações reais, ferramenta principal da última seção.

As propriedades das operações

A forma algébrica só é útil se for possível operar com ela como com as expressões algébricas dos reais, desenvolvendo produtos e substituindo $i^2$ por $-1$. Isso exige que as operações de $\mathbb{C}$ tenham as mesmas propriedades que as de $\mathbb{R}$.

Em consequência, opera-se com as formas algébricas como com expressões algébricas na letra $i$, e cada $i^2$ é substituído por $-1$. Em particular, o produto recupera a fórmula que o definiu:

Por exemplo, $(2 + 3i)(4 - i) = 8 - 2i + 12i - 3i^2 = 11 + 10i$. Os produtos notáveis, como o quadrado de um binômio ou a diferença de quadrados, e o binômio de Newton da aula sobre combinatória valem em $\mathbb{C}$ sem mudanças, porque suas demonstrações usam apenas essas propriedades. O que não se conserva é a ordem: segundo o problema resolvido 5 da aula sobre os conjuntos numéricos, não existe em $\mathbb{C}$ uma ordem compatível com as operações, de modo que uma desigualdade entre complexos não reais carece de sentido. O tamanho de um complexo será medido por seu módulo.