Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Комплексные числа: действия и уравнения

Краткое содержание

В этом уроке комплексные числа строятся как упорядоченные пары действительных чисел, со сложением и умножением, заданными явными формулами, так что равенство i2=−1i^2 = -1 перестаёт быть постулатом и становится теоремой. Вводятся алгебраическая форма, комплексная плоскость, степени мнимой единицы, сопряжённое число и модуль, с доказательством их свойств, среди которых неравенство треугольника, а также деление с помощью сопряжённого. С этими средствами решаются квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом, доказывается, что недействительные корни многочлена с действительными коэффициентами встречаются сопряжёнными парами, и решаются уравнения вида z3=1z^3 = 1 или такие, в которых zz сочетается со своим сопряжённым.

Цели обучения

  1. Строить комплексные числа как пары действительных чисел, выводить из определения умножения, что i2=−1i^2 = -1, и выполнять действия в алгебраической форме.
  2. Изображать комплексные числа на плоскости и геометрически истолковывать сумму, сопряжённое, модуль и умножение на ii.
  3. Доказывать свойства сопряжённого и модуля, среди них неравенство треугольника, и делить, умножая на сопряжённое.
  4. Решать в C\mathbb{C} квадратные уравнения, простые полиномиальные уравнения и линейные уравнения относительно zz и его сопряжённого.

Комплексные числа как пары действительных чисел

В уроке о числовых множествах мнимая единица ii была введена как новое число, квадрат которого равен −1-1, и с выражениями a+bia + bi действовали по тем же правилам, что и с действительными числами. Такой способ оставляет открытыми два вопроса: существует ли на самом деле объект с этим свойством и можно ли применять к нему правила действительных чисел без противоречия. Ответ, опубликованный Гамильтоном в 1837 году, состоит в том, чтобы построить комплексные числа из действительных, ничего нового не постулируя: комплексное число есть упорядоченная пара действительных чисел.

Определение (комплексное число). Комплексным числом называется упорядоченная пара (a,b)(a, b) действительных чисел; множество комплексных чисел обозначается через C\mathbb{C}. Два комплексных числа равны, когда совпадают их первые компоненты и их вторые компоненты. Сумма и произведение определяются следующими формулами.
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),(a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), \qquad (a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

Сложение выполняется покомпонентно. Умножение же не есть покомпонентное умножение, которое дало бы (ac,bd)(ac, bd), и его вид кажется произвольным; оно оправдывается своими следствиями. При покомпонентном умножении произведение (1,0)(1, 0) на (0,1)(0, 1) было бы равно (0,0)(0, 0), хотя ни один множитель не равен нулю, и деление было бы невозможно; при определённом же умножении пара (0,1)(0, 1) имеет квадратом пару (−1,0)(-1, 0), а пары вида (a,0)(a, 0) ведут себя в точности как действительные числа.

Действительные числа внутри комплексных

Пары с нулевой второй компонентой складываются и умножаются как действительные числа:

(a,0)+(c,0)=(a+c,0),(a,0)⋅(c,0)=(ac,0)(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0), \qquad (a, 0) \cdot (c, 0) = (ac, 0)

Следовательно, пару (a,0)(a, 0) можно отождествить с действительным числом aa так, что ни одна операция не изменит результата, и R\mathbb{R} оказывается содержащимся в C\mathbb{C}, как требует принцип расширений, сформулированный в уроке о числовых множествах. Кроме того, умножение пары на действительное число умножает обе её компоненты, потому что (r,0)⋅(a,b)=(ra,rb)(r, 0) \cdot (a, b) = (ra, rb). Мнимой единицей называется пара i=(0,1)i = (0, 1).

ТеоремаМнимая единица и алгебраическая форма

Квадрат i=(0,1)i = (0, 1) есть действительное число −1-1, и всякое комплексное число (a,b)(a, b) единственным образом записывается в виде a+bia + bi, где aa и bb действительны. Доказательство использует лишь определение умножения и отождествление каждого действительного числа aa с парой (a,0)(a, 0). Рисунок изображает каждую пару (a,b)(a, b) точкой плоскости с координатами aa и bb; эта идея развивается в следующем параграфе.

Доказательство

  1. i2=(0,1)⋅(0,1)=(0⋅0−1⋅1,0⋅1+1⋅0)=(−1,0)i^2 = \resaltar{(0, 1) \cdot (0, 1)} = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0) = \resaltar{(-1, 0)}

    Применяем определение умножения при a=c=0a = c = 0 и b=d=1b = d = 1.

  2. i2=−1\resaltar{i^2} = \resaltar{-1}

    Пара (−1,0)(-1, 0) есть действительное число −1-1: мнимая единица является одним из квадратных корней из −1-1. Другой корень есть противоположное ей число −i=(0,−1)-i = (0, -1), потому что (−i)2=i2(-i)^2 = i^2.

  3. b⋅i=(b,0)⋅(0,1)=(b⋅0−0⋅1,b⋅1+0⋅0)=(0,b)b \cdot i = \resaltar{(b, 0) \cdot (0, 1)} = (b \cdot 0 - 0 \cdot 1, b \cdot 1 + 0 \cdot 0) = \dato{b}{\resaltar{(0, b)}}

    Действительное число bb, умноженное на ii, даёт пару с нулевой первой компонентой и второй компонентой bb.

  4. (a,b)=(a,0)+(0,b)=a+bi(a, b) = \resaltar{(a, 0) + (0, b)} = \dato{f}{\resaltar{a + bi}}

    Всякая пара есть сумма пары с первой оси и пары со второй.

  5. a+bi=c+di↔(a=c∧b=d)a + bi = c + di \leftrightarrow \resaltar{(a = c \wedge b = d)}

    Запись единственна: если a+bi=c+dia + bi = c + di, то пары (a,b)(a, b) и (c,d)(c, d) равны, и по определению равенства их компоненты совпадают.

Выражение a+bia + bi называется алгебраической формой комплексного числа z=(a,b)z = (a, b). Действительное число aa есть действительная часть числа zz, а действительное число bb есть его мнимая часть; заметим, что мнимая часть есть действительное число bb, а не произведение bibi. Комплексные числа с нулевой мнимой частью суть действительные числа, а числа с нулевой действительной частью, такие как 3i3i, называются чисто мнимыми. По последней части теоремы равенство комплексных чисел равносильно двум равенствам действительных чисел; отсюда следует, что всякое комплексное уравнение можно превратить в систему двух действительных уравнений, главное средство последнего параграфа.

Свойства операций

Алгебраическая форма полезна лишь тогда, когда с ней можно действовать как с алгебраическими выражениями над действительными числами, раскрывая произведения и заменяя i2i^2 на −1-1. Это требует, чтобы операции в C\mathbb{C} обладали теми же свойствами, что и операции в R\mathbb{R}.

ТеоремаСвойства операций

Сложение и умножение комплексных чисел коммутативны и ассоциативны, умножение дистрибутивно относительно сложения, 0=(0,0)0 = (0, 0) и 1=(1,0)1 = (1, 0) являются нейтральными элементами сложения и умножения, и всякое комплексное число (a,b)(a, b) имеет противоположное (−a,−b)(-a, -b). Свойства сложения наследуются от свойств действительных чисел покомпонентно. Свойства умножения устанавливаются раскрытием обеих частей с помощью свойств действительных чисел. Существование обратного числа доказывается ниже, с помощью сопряжённого. Рисунок следует доказательству при (a,b)=2+i(a, b) = 2 + i, (c,d)=1+i(c, d) = 1 + i и (e,f)=1−i(e, f) = 1 - i, которые на нём названы zz, ww и uu: три произведения, входящие в ассоциативность и дистрибутивность, приводят в одну и ту же точку 4+2i4 + 2i.

Доказательство

  1. (c,d)⋅(a,b)=(ca−db,cb+da)=(a,b)⋅(c,d)(c, d) \cdot (a, b) = (\resaltar{ca - db}, \resaltar{cb + da}) = (a, b) \cdot (c, d)

    Коммутативность умножения видна из формулы: если поменять местами (a,b)(a, b) и (c,d)(c, d), ни одна компонента не изменится, потому что ca=acca = ac, db=bddb = bd и cb+da=ad+bccb + da = ad + bc.

  2. [(a,b)⋅(c,d)]⋅(e,f)=(ac−bd,ad+bc)⋅(e,f)=(ace−bde−adf−bcf,acf−bdf+ade+bce)\left[ (a, b) \cdot (c, d) \right] \cdot (e, f) = \resaltar{(ac - bd, ad + bc)} \cdot (e, f) = \dato{p}{(ace - bde - adf - bcf, acf - bdf + ade + bce)}

    Для ассоциативности сначала перемножаем два первых множителя и раскрываем скобки.

  3. (a,b)⋅[(c,d)⋅(e,f)]=(a,b)⋅(ce−df,cf+de)=(ace−adf−bcf−bde,acf+ade+bce−bdf)(a, b) \cdot \left[ (c, d) \cdot (e, f) \right] = (a, b) \cdot \resaltar{(ce - df, cf + de)} = \resaltar{(ace - adf - bcf - bde, acf + ade + bce - bdf)}

    Теперь сначала перемножаем два последних множителя: получаются те же восемь слагаемых в другом порядке.

  4. (a,b)⋅(c+e,d+f)=(ac−bd+ae−bf,ad+bc+af+be)(a, b) \cdot (c + e, d + f) = (\resaltar{ac - bd} + \resaltar{ae - bf}, \resaltar{ad + bc} + \resaltar{af + be})

    Для дистрибутивности раскрываем каждую компоненту и перегруппировываем слагаемые: получается сумма (a,b)⋅(c,d)(a, b) \cdot (c, d) и (a,b)⋅(e,f)(a, b) \cdot (e, f).

  5. (a,b)⋅(1,0)=(a⋅1−b⋅0,a⋅0+b⋅1)=(a,b)(a, b) \cdot (1, 0) = (a \cdot 1 - b \cdot 0, a \cdot 0 + b \cdot 1) = \resaltar{(a, b)}

    Наконец, (1,0)(1, 0) есть нейтральный элемент умножения, а (−a,−b)(-a, -b) в сумме с (a,b)(a, b) даёт (0,0)(0, 0).

Следовательно, с алгебраическими формами действуют как с алгебраическими выражениями от буквы ii, и каждое i2i^2 заменяется на −1-1. В частности, для произведения восстанавливается формула, которая его определила:

(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac−bd)+(ad+bc)i(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i

Например, (2+3i)(4−i)=8−2i+12i−3i2=11+10i(2 + 3i)(4 - i) = 8 - 2i + 12i - 3i^2 = 11 + 10i. Формулы сокращённого умножения, такие как квадрат суммы или разность квадратов, и бином Ньютона из урока о комбинаторике верны в C\mathbb{C} без изменений, потому что их доказательства используют лишь эти свойства. Не сохраняется порядок: согласно решённой задаче 5 урока о числовых множествах, в C\mathbb{C} не существует порядка, согласованного с операциями, так что неравенство между недействительными комплексными числами лишено смысла. Величину комплексного числа будет измерять его модуль.