Les nombres complexes : opérations et équations

Les nombres complexes comme couples de nombres réels

Dans la leçon sur les ensembles de nombres, on a introduit l’unité imaginaire $i$ comme un nombre nouveau dont le carré est $-1$, et l’on a calculé avec les expressions $a + bi$ selon les mêmes règles qu’avec les réels. Cette façon de procéder laisse ouvertes deux questions : existe-t-il réellement un objet doté de cette propriété, et les règles des réels peuvent-elles s’y appliquer sans contradiction ? La réponse, que Hamilton publia en 1837, consiste à construire les complexes à partir des réels, sans rien postuler de nouveau : un nombre complexe est un couple de nombres réels.

Définition (nombre complexe). Un nombre complexe est un couple $(a, b)$ de nombres réels ; leur ensemble est noté $\mathbb{C}$. Deux complexes sont égaux lorsque leurs premières composantes coïncident et que leurs secondes composantes coïncident. La somme et le produit sont définis par les formules suivantes.

La somme opère composante par composante. Le produit, en revanche, n’est pas le produit composante par composante, qui donnerait $(ac, bd)$, et sa forme semble arbitraire ; il se justifie par ses conséquences. Avec le produit composante par composante, le produit de $(1, 0)$ par $(0, 1)$ serait $(0, 0)$ sans qu’aucun facteur soit nul, et il ne pourrait pas y avoir de division ; avec le produit défini, en revanche, le couple $(0, 1)$ a pour carré le couple $(-1, 0)$, et les couples de la forme $(a, 0)$ se comportent exactement comme les réels.

Les réels dans les complexes

Les couples dont la seconde composante est nulle s’additionnent et se multiplient comme les réels :

Par conséquent, le couple $(a, 0)$ peut être identifié au réel $a$ sans qu’aucune opération change de résultat, et $\mathbb{R}$ est contenu dans $\mathbb{C}$, comme l’exige le principe des extensions énoncé dans la leçon sur les ensembles de nombres. Multiplier un couple par un réel, de plus, multiplie ses deux composantes, car $(r, 0) \cdot (a, b) = (ra, rb)$. On appelle unité imaginaire le couple $i = (0, 1)$.

L’expression $a + bi$ est la forme algébrique du complexe $z = (a, b)$. Le réel $a$ est la partie réelle de $z$ et le réel $b$, sa partie imaginaire ; on observera que la partie imaginaire est le nombre réel $b$, et non le produit $bi$. Les complexes de partie imaginaire nulle sont les réels, et ceux de partie réelle nulle, comme $3i$, sont appelés imaginaires purs. D’après la dernière assertion du théorème, une égalité entre complexes équivaut à deux égalités entre réels ; il s’ensuit que toute équation complexe peut se convertir en un système de deux équations réelles, outil principal de la dernière section.

Les propriétés des opérations

La forme algébrique n’est utile que si l’on peut calculer avec elle comme avec les expressions algébriques des réels, en développant des produits et en remplaçant $i^2$ par $-1$. Cela exige que les opérations de $\mathbb{C}$ aient les mêmes propriétés que celles de $\mathbb{R}$.

Par conséquent, on calcule avec les formes algébriques comme avec des expressions algébriques en la lettre $i$, et chaque $i^2$ est remplacé par $-1$. En particulier, le produit retrouve la formule qui l’a défini :

Par exemple, $(2 + 3i)(4 - i) = 8 - 2i + 12i - 3i^2 = 11 + 10i$. Les identités remarquables, comme le carré d’un binôme ou la différence de deux carrés, et la formule du binôme de Newton de la leçon sur la combinatoire restent valables dans $\mathbb{C}$ sans changement, car leurs démonstrations n’utilisent que ces propriétés. Ce qui ne se conserve pas, c’est l’ordre : d’après le problème résolu 5 de la leçon sur les ensembles de nombres, il n’existe pas sur $\mathbb{C}$ d’ordre compatible avec les opérations, de sorte qu’une inégalité entre complexes non réels n’a pas de sens. La taille d’un complexe se mesurera par son module.