الأعداد المركبة: العمليات والمعادلات

الأعداد المركبة بوصفها أزواجًا من الأعداد الحقيقية

في الدرس الخاص بـالمجموعات العددية أُدخلت الوحدة التخيلية $i$ عددًا جديدًا مربعه $-1$، وأُجريت العمليات على العبارات $a + bi$ بالقواعد نفسها التي تُجرى على الأعداد الحقيقية. وهذه الطريقة تترك سؤالين مفتوحين: هل يوجد حقًّا كائن له هذه الخاصية، وهل يمكن تطبيق قواعد الأعداد الحقيقية عليه دون تناقض. والجواب، الذي نشره هاميلتون سنة 1837، هو بناء الأعداد المركبة انطلاقًا من الأعداد الحقيقية، دون التسليم بأي شيء جديد: العدد المركب زوج مرتب من الأعداد الحقيقية.

تعريف (العدد المركب). العدد المركب زوج مرتب $(a, b)$ من الأعداد الحقيقية؛ ويُرمز إلى مجموعة الأعداد المركبة بـ$\mathbb{C}$. ويتساوى عددان مركبان عندما تتطابق مركّبتاهما الأوليان ومركّبتاهما الثانيتان. ويُعرَّف الجمع والضرب بالصيغتين الآتيتين.

يُجرى الجمع مركّبةً مركّبة. أما الضرب فليس الضرب مركّبةً مركّبة، الذي كان سيعطي $(ac, bd)$، وشكله يبدو اعتباطيًا؛ ويُسوَّغ بنتائجه. فبالضرب مركّبةً مركّبة، يكون جداء $(1, 0)$ في $(0, 1)$ هو $(0, 0)$ دون أن يكون أيّ من العاملين منعدمًا، ولا يمكن أن تكون هناك قسمة؛ أما بالضرب المعرَّف، فإن الزوج $(0, 1)$ مربعه الزوج $(-1, 0)$، والأزواج التي على الشكل $(a, 0)$ تسلك تمامًا سلوك الأعداد الحقيقية.

الأعداد الحقيقية داخل الأعداد المركبة

الأزواج التي مركّبتها الثانية منعدمة تُجمع وتُضرب كما تُجمع الأعداد الحقيقية وتُضرب:

إذن يمكن مطابقة الزوج $(a, 0)$ بالعدد الحقيقي $a$ دون أن تتغير نتيجة أي عملية، فتصير $\mathbb{R}$ محتواة في $\mathbb{C}$، كما يقتضي مبدأ التوسيعات المنصوص عليه في الدرس الخاص بالمجموعات العددية. وفضلًا عن ذلك، فإن ضرب زوج في عدد حقيقي يضرب مركّبتيه كلتيهما، لأن $(r, 0) \cdot (a, b) = (ra, rb)$. ويسمّى الوحدة التخيلية الزوجُ $i = (0, 1)$.

العبارة $a + bi$ هي الشكل الجبري للعدد المركب $z = (a, b)$. والعدد الحقيقي $a$ هو الجزء الحقيقي لـ$z$، والعدد الحقيقي $b$ هو جزؤه التخيلي؛ ولنلاحظ أن الجزء التخيلي هو العدد الحقيقي $b$، لا الجداء $bi$. والأعداد المركبة ذات الجزء التخيلي المنعدم هي الأعداد الحقيقية، وتلك ذات الجزء الحقيقي المنعدم، مثل $3i$، تسمّى أعدادًا تخيلية بحتة. وبحسب الجزء الأخير من المبرهنة، فإن مساواة بين عددين مركبين تكافئ مساواتين بين عددين حقيقيين؛ ومن ذلك يلزم أن كل معادلة مركبة يمكن تحويلها إلى نظام من معادلتين حقيقيتين، وهو الأداة الرئيسية في القسم الأخير.

خواص العمليات

لا يكون الشكل الجبري مفيدًا إلا إذا أمكن إجراء العمليات عليه كما تُجرى على العبارات الجبرية للأعداد الحقيقية، بنشر الجداءات والتعويض عن $i^2$ بـ$-1$. وذلك يقتضي أن تكون لعمليات $\mathbb{C}$ الخواص نفسها التي لعمليات $\mathbb{R}$.

وبناءً على ذلك، تُجرى العمليات على الأشكال الجبرية كما تُجرى على عبارات جبرية في الحرف $i$، ويُعوَّض عن كل $i^2$ بـ$-1$. وعلى الخصوص، يستعيد الضرب الصيغة التي عرّفته:

مثلًا، $(2 + 3i)(4 - i) = 8 - 2i + 12i - 3i^2 = 11 + 10i$. والمتطابقات الشهيرة، مثل مربع مجموع حدين أو فرق مربعين، وصيغة ذات الحدين لنيوتن من الدرس الخاص بـالتوافقيات صحيحة في $\mathbb{C}$ دون تغيير، لأن براهينها لا تستعمل إلا هذه الخواص. أما ما لا يُحفظ فهو الترتيب: فبحسب المسألة المحلولة 5 من الدرس الخاص بالمجموعات العددية، لا يوجد في $\mathbb{C}$ ترتيب منسجم مع العمليات، بحيث إن متباينة بين عددين مركبين غير حقيقيين لا معنى لها. وسيُقاس حجم العدد المركب بمقياسه.