跳至内容
Topos Uranos
中文 (中国)

复数：运算与方程

摘要

本课把复数构造为实数的有序对，其加法和乘法由明确的公式定义，从而等式 i2=−1i^2 = -1 不再是公设，而成为定理。本课引入代数形式、复平面、虚数单位的幂、共轭复数与模，并证明它们的性质，其中包括三角不等式，以及借助共轭复数的除法。借助这些工具，本课求解判别式为负的二次方程，证明实系数多项式的非实根成对共轭出现，并求解诸如 z3=1z^3 = 1 的方程，或把 zz 与其共轭结合起来的方程。

学习目标

  1. 把复数构造为实数对，由乘法的定义推出 i2=−1i^2 = -1，并在代数形式下进行运算。
  2. 在平面上表示复数，并从几何上解释加法、共轭、模以及乘以 ii。
  3. 证明共轭与模的性质，其中包括三角不等式，并通过乘以共轭复数进行除法。
  4. 在 C\mathbb{C} 中求解二次方程、简单的多项式方程，以及关于 zz 及其共轭的线性方程。

作为实数对的复数

在关于数集的课中，引入了虚数单位 ii，作为一个平方为 −1-1 的新数，并对表达式 a+bia + bi 使用与实数相同的法则进行运算。这种做法留下两个悬而未决的问题：是否真的存在具有这一性质的对象，以及实数的法则能否无矛盾地应用于它。哈密顿于 1837 年发表的答案，是从实数出发构造复数，而不假设任何新东西：复数就是实数的有序对。

定义（复数）。复数是由实数组成的有序对 (a,b)(a, b)；复数的集合记作 C\mathbb{C}。两个复数相等，是指它们的第一分量相同并且第二分量相同。加法和乘法由下列公式定义。
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),(a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), \qquad (a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

加法按分量进行。乘法则不是按分量的乘法（那样会得到 (ac,bd)(ac, bd)），其形式看似任意；它的合理性在于其推论。若按分量相乘，(1,0)(1, 0) 与 (0,1)(0, 1) 的乘积将是 (0,0)(0, 0)，而两个因数都不为零，这样就不可能有除法；而按所定义的乘法，有序对 (0,1)(0, 1) 的平方是有序对 (−1,0)(-1, 0)，并且形如 (a,0)(a, 0) 的有序对的行为与实数完全相同。

复数中的实数

第二分量为零的有序对，其加法和乘法与实数相同：

(a,0)+(c,0)=(a+c,0),(a,0)⋅(c,0)=(ac,0)(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0), \qquad (a, 0) \cdot (c, 0) = (ac, 0)

因此，有序对 (a,0)(a, 0) 可以与实数 aa 等同，而不改变任何运算的结果，于是 R\mathbb{R} 包含于 C\mathbb{C} 之中，正如关于数集的课中所陈述的扩充原则所要求的那样。此外，有序对乘以实数，就是把它的两个分量都乘以该实数，因为 (r,0)⋅(a,b)=(ra,rb)(r, 0) \cdot (a, b) = (ra, rb)。有序对 i=(0,1)i = (0, 1) 称为虚数单位。

定理虚数单位与代数形式

i=(0,1)i = (0, 1) 的平方是实数 −1-1，并且每个复数 (a,b)(a, b) 都能唯一地写成 a+bia + bi，其中 aa 和 bb 是实数。 证明只用到乘法的定义，以及把每个实数 aa 与有序对 (a,0)(a, 0) 等同。图中把每个有序对 (a,b)(a, b) 表示为平面上坐标为 aa 和 bb 的点，这一想法在下一部分展开。

证明

  1. i2=(0,1)⋅(0,1)=(0⋅0−1⋅1,0⋅1+1⋅0)=(−1,0)i^2 = \resaltar{(0, 1) \cdot (0, 1)} = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0) = \resaltar{(-1, 0)}

    在乘法的定义中取 a=c=0a = c = 0 和 b=d=1b = d = 1。

  2. i2=−1\resaltar{i^2} = \resaltar{-1}

    有序对 (−1,0)(-1, 0) 就是实数 −1-1：虚数单位是 −1-1 的一个平方根。另一个平方根是它的相反数 −i=(0,−1)-i = (0, -1)，因为 (−i)2=i2(-i)^2 = i^2。

  3. b⋅i=(b,0)⋅(0,1)=(b⋅0−0⋅1,b⋅1+0⋅0)=(0,b)b \cdot i = \resaltar{(b, 0) \cdot (0, 1)} = (b \cdot 0 - 0 \cdot 1, b \cdot 1 + 0 \cdot 0) = \dato{b}{\resaltar{(0, b)}}

    实数 bb 乘以 ii，得到第一分量为零、第二分量为 bb 的有序对。

  4. (a,b)=(a,0)+(0,b)=a+bi(a, b) = \resaltar{(a, 0) + (0, b)} = \dato{f}{\resaltar{a + bi}}

    每个有序对都是第一条轴上的一个有序对与第二条轴上的一个有序对之和。

  5. a+bi=c+di↔(a=c∧b=d)a + bi = c + di \leftrightarrow \resaltar{(a = c \wedge b = d)}

    写法是唯一的：若 a+bi=c+dia + bi = c + di，则有序对 (a,b)(a, b) 与 (c,d)(c, d) 相等，由相等的定义，它们的分量相同。

表达式 a+bia + bi 称为复数 z=(a,b)z = (a, b) 的代数形式。实数 aa 是 zz 的实部，实数 bb 是它的虚部；注意，虚部是实数 bb，而不是乘积 bibi。虚部为零的复数就是实数，实部为零的复数（如 3i3i）称为纯虚数。由定理的最后一部分，复数之间的一个等式等价于实数之间的两个等式；由此可知，每个复数方程都能化为由两个实数方程组成的方程组，这是本课最后一部分的主要工具。

运算的性质

只有当能够像对实数的代数式那样对代数形式进行运算，即展开乘积并把 i2i^2 替换为 −1-1 时，代数形式才有用。这要求 C\mathbb{C} 的运算与 R\mathbb{R} 的运算具有相同的性质。

定理运算的性质

复数的加法和乘法满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律，0=(0,0)0 = (0, 0) 和 1=(1,0)1 = (1, 0) 分别是加法和乘法的单位元，并且每个复数 (a,b)(a, b) 都有相反数 (−a,−b)(-a, -b)。 加法的性质按分量继承自实数的性质。乘法的性质通过用实数的性质展开两边来验证。倒数的存在性在后面借助共轭复数证明。图中按照证明取 (a,b)=2+i(a, b) = 2 + i、(c,d)=1+i(c, d) = 1 + i 和 (e,f)=1−i(e, f) = 1 - i，图中分别称为 zz、ww 和 uu：结合律和分配律中出现的三个乘积都到达同一个点 4+2i4 + 2i。

证明

  1. (c,d)⋅(a,b)=(ca−db,cb+da)=(a,b)⋅(c,d)(c, d) \cdot (a, b) = (\resaltar{ca - db}, \resaltar{cb + da}) = (a, b) \cdot (c, d)

    乘法的交换律可以从公式中看出：交换 (a,b)(a, b) 与 (c,d)(c, d) 不改变任何分量，因为 ca=acca = ac、db=bddb = bd 并且 cb+da=ad+bccb + da = ad + bc。

  2. [(a,b)⋅(c,d)]⋅(e,f)=(ac−bd,ad+bc)⋅(e,f)=(ace−bde−adf−bcf,acf−bdf+ade+bce)\left[ (a, b) \cdot (c, d) \right] \cdot (e, f) = \resaltar{(ac - bd, ad + bc)} \cdot (e, f) = \dato{p}{(ace - bde - adf - bcf, acf - bdf + ade + bce)}

    对于结合律，先把前两个因数相乘，再展开。

  3. (a,b)⋅[(c,d)⋅(e,f)]=(a,b)⋅(ce−df,cf+de)=(ace−adf−bcf−bde,acf+ade+bce−bdf)(a, b) \cdot \left[ (c, d) \cdot (e, f) \right] = (a, b) \cdot \resaltar{(ce - df, cf + de)} = \resaltar{(ace - adf - bcf - bde, acf + ade + bce - bdf)}

    现在先把后两个因数相乘：得到同样的八项，只是顺序不同。

  4. (a,b)⋅(c+e,d+f)=(ac−bd+ae−bf,ad+bc+af+be)(a, b) \cdot (c + e, d + f) = (\resaltar{ac - bd} + \resaltar{ae - bf}, \resaltar{ad + bc} + \resaltar{af + be})

    对于分配律，展开每个分量并重新组合各项：结果是 (a,b)⋅(c,d)(a, b) \cdot (c, d) 与 (a,b)⋅(e,f)(a, b) \cdot (e, f) 之和。

  5. (a,b)⋅(1,0)=(a⋅1−b⋅0,a⋅0+b⋅1)=(a,b)(a, b) \cdot (1, 0) = (a \cdot 1 - b \cdot 0, a \cdot 0 + b \cdot 1) = \resaltar{(a, b)}

    最后，(1,0)(1, 0) 是乘法的单位元，(−a,−b)(-a, -b) 与 (a,b)(a, b) 相加得 (0,0)(0, 0)。

因此，对代数形式的运算就像对含字母 ii 的代数式一样进行，并把每个 i2i^2 替换为 −1-1。特别地，乘积恢复了定义它的公式：

(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac−bd)+(ad+bc)i(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i

例如，(2+3i)(4−i)=8−2i+12i−3i2=11+10i(2 + 3i)(4 - i) = 8 - 2i + 12i - 3i^2 = 11 + 10i。乘法公式（如两数和的平方或平方差），以及关于组合学的课中的二项式定理，在 C\mathbb{C} 中不加改变地成立，因为它们的证明只用到这些性质。不能保持的是序：根据关于数集的课的例题 5，在 C\mathbb{C} 中不存在与运算相容的序，因此非实复数之间的不等式没有意义。复数的大小将用它的模来衡量。