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Topos Uranos
Español

Ecuaciones e inecuaciones de primer grado y sistemas lineales

Resumen

Esta clase estudia las ecuaciones e inecuaciones de primer grado y los sistemas de ecuaciones lineales. Demuestra qué operaciones transforman una ecuación en otra con las mismas soluciones y explica por qué multiplicar por una expresión que puede anularse, o elevar al cuadrado, puede añadir o suprimir soluciones. Discute por completo la ecuación ax+b=0ax + b = 0, también cuando sus coeficientes dependen de un parámetro, resuelve ecuaciones con fracciones e inecuaciones lineales, simples y simultáneas, y expresa sus conjuntos solución como intervalos. Por último, resuelve los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas por sustitución, reducción e igualación, demuestra la regla de Cramer, clasifica los sistemas según su determinante, resuelve un sistema de tres ecuaciones por reducción y traduce a sistemas problemas de mezclas, edades y velocidades.

Objetivos de aprendizaje

  1. Justificar qué operaciones conservan el conjunto solución de una ecuación o de una inecuación, y reconocer las que pueden añadir o suprimir soluciones.
  2. Discutir y resolver ecuaciones de primer grado, con parámetros o con fracciones, e inecuaciones lineales simples y simultáneas, escribiendo sus soluciones como intervalos.
  3. Resolver sistemas de dos ecuaciones lineales por sustitución, reducción e igualación, y clasificarlos según su determinante mediante la regla de Cramer.
  4. Plantear y resolver sistemas lineales que modelan problemas, interpretando los casos de infinitas soluciones o de ninguna.

Ecuaciones y ecuaciones equivalentes

Una ecuación en la incógnita xx es una igualdad A=BA = B entre dos expresiones que dependen de xx. Sus soluciones son los números reales x0x_0 para los que ambas expresiones están definidas y toman el mismo valor; el conjunto que forman es el conjunto solución de la ecuación. Resolver una ecuación es describir ese conjunto, que puede tener un elemento, varios, infinitos o ninguno. Por ejemplo, el conjunto solución de 2x−6=02x - 6 = 0 es {3}\{3\}, el de x+1=1+xx + 1 = 1 + x es toda la recta real y el de x+1=xx + 1 = x es vacío.

Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto solución. El método general para resolver una ecuación consiste en sustituirla por una cadena de ecuaciones equivalentes, cada una más sencilla que la anterior, hasta llegar a una cuyo conjunto solución se lee directamente, como x=3x = 3. Ahora bien, cada eslabón de la cadena debe conservar las soluciones, sin añadir ni suprimir ninguna; de ello se sigue que lo primero es saber qué operaciones lo garantizan.

Operaciones que conservan las soluciones

Las dos operaciones fundamentales son sumar una misma expresión a ambos miembros y multiplicarlos por un mismo número no nulo. Restar y dividir son casos particulares, porque restar CC es sumar −C-C, y dividir entre kk es multiplicar por k−1k^{-1}, como se vio en la clase sobre los conjuntos numéricos.

TeoremaLas operaciones que conservan las soluciones

Sean AA, BB y CC expresiones en la incógnita xx, definidas en un mismo conjunto de números reales, y sea kk un número real no nulo. Entonces las ecuaciones A=BA = B, A+C=B+CA + C = B + C y kA=kBkA = kB tienen el mismo conjunto solución. Más generalmente, si la expresión CC no se anula en ningún punto de ese conjunto, A=BA = B y CA=CBCA = CB tienen el mismo conjunto solución. Hay que probar dos inclusiones para cada operación: toda solución de la ecuación original lo es de la transformada, y recíprocamente. La figura representa la ecuación como una balanza en equilibrio, que lo conserva si se hace lo mismo en ambos platillos.

Demostración

  1. A(x0)=B(x0)→A(x0)+C(x0)=B(x0)+C(x0)\dato{s}{A(x_0) = B(x_0)} \rightarrow A(x_0) + \resaltar{C(x_0)} = B(x_0) + \resaltar{C(x_0)}

    Sea x0x_0 una solución de A=BA = B: los números A(x0)A(x_0) y B(x0)B(x_0) son el mismo, y al sumarles un mismo número se obtiene un mismo resultado. Toda solución de A=BA = B lo es de A+C=B+CA + C = B + C.

  2. (A(x0)+C(x0))+(−C(x0))=A(x0)+0=A(x0)\left( A(x_0) + C(x_0) \right) + \resaltar{(-C(x_0))} = A(x_0) + 0 = \resaltar{A(x_0)}

    Recíprocamente, si x0x_0 cumple A+C=B+CA + C = B + C, sumamos a ambos miembros el opuesto de C(x0)C(x_0). Por la asociatividad y la definición del opuesto, en cada miembro queda solo el primer sumando, de donde A(x0)=B(x0)A(x_0) = B(x_0): los dos conjuntos solución coinciden.

  3. A(x0)=B(x0)→kA(x0)=kB(x0)A(x_0) = B(x_0) \rightarrow \resaltar{k} A(x_0) = \resaltar{k} B(x_0)

    Del mismo modo, si x0x_0 es solución de A=BA = B, al multiplicar un mismo número por kk se obtiene un mismo resultado.

  4. k−1(kA(x0))=(k−1k)A(x0)=A(x0)\resaltar{k^{-1}} \left( k A(x_0) \right) = \left( k^{-1} k \right) A(x_0) = \resaltar{A(x_0)}

    Recíprocamente, como k≠0k \neq 0, existe su inverso k−1k^{-1}; al multiplicar por él ambos miembros de kA(x0)=kB(x0)kA(x_0) = kB(x_0) se recupera la igualdad original. Si CC no se anula en ningún punto, el mismo argumento vale en cada x0x_0 con el número k=C(x0)k = C(x_0).

  5. 0⋅A(x0)=0=0⋅B(x0)\resaltar{0} \cdot A(x_0) = 0 = \resaltar{0} \cdot B(x_0)

    La hipótesis k≠0k \neq 0 es imprescindible: al multiplicar por 00, ambos miembros valen 00 para todo xx, y la ecuación transformada la cumple cualquier número, sea o no solución de la original.

Operaciones que pueden añadir o suprimir soluciones

Si CC se anula en algún punto, la equivalencia puede fallar. Al multiplicar ambos miembros por una expresión que se anula en x1x_1, el número x1x_1 pasa a ser solución, aunque no lo fuera; y al dividir entre ella se pierden las soluciones en que se anula. Por ejemplo, x=2x = 2 tiene una sola solución, pero al multiplicar por x−3x - 3 aparece también el 33; y la ecuación x2=3xx^2 = 3x tiene las soluciones 00 y 33, porque x2−3x=x(x−3)x^2 - 3x = x(x - 3), pero al dividir entre xx queda x=3x = 3 y se pierde el 00:

x(x−3)=2(x−3)↔x=2∨x=3,x2=3x↔x=0∨x=3x(x - 3) = 2(x - 3) \leftrightarrow x = 2 \vee x = 3, \qquad x^2 = 3x \leftrightarrow x = 0 \vee x = 3

Elevar al cuadrado los dos miembros tampoco es una operación reversible, porque dos números opuestos tienen el mismo cuadrado. El lema siguiente precisa qué soluciones pueden aparecer.

LemaElevar al cuadrado

Para números reales AA y BB, se cumple A2=B2A^2 = B^2 si y solo si A=BA = B o A=−BA = -B. En consecuencia, al elevar al cuadrado los dos miembros de una ecuación A=BA = B se conservan todas sus soluciones, pero pueden añadirse las de la ecuación A=−BA = -B; si AA y BB no toman valores negativos, no se añade ninguna. La demostración factoriza la diferencia de los cuadrados. La figura dibuja la parábola y=t2y = t^2 y la recta horizontal de altura B2B^2, con B=2B = 2: los números cuyo cuadrado es B2B^2 son las abscisas de los dos puntos de corte, BB y −B-B.

Demostración

  1. A2−B2=(A−B)(A+B)A^2 - B^2 = \resaltar{(A - B)(A + B)}

    Por la distributividad, la diferencia de los cuadrados se factoriza; los términos ABAB y −AB-AB se cancelan.

  2. A2=B2↔(A−B)(A+B)=0↔A=B∨A=−B\dato{eq}{A^2 = B^2 \leftrightarrow (A - B)(A + B) = 0 \leftrightarrow A = B \vee \resaltar{A = -B}}

    Un producto es nulo si y solo si alguno de sus factores lo es, como se demostró en la clase sobre los conjuntos numéricos. De donde los números de igual cuadrado son iguales u opuestos.

  3. A2=B2↔(A=B)∨(A=−B)A^2 = B^2 \leftrightarrow \left( A = B \right) \vee \resaltar{\left( A = -B \right)}

    Aplicado en cada valor de xx, esto dice que las soluciones de la ecuación elevada al cuadrado son las de A=BA = B junto con las de A=−BA = -B: no se pierde ninguna, pero pueden añadirse las de la segunda.

  4. A≥0≥−B=A→A=0=BA \geq 0 \geq -B = A \rightarrow \resaltar{A = 0 = B}

    Si AA y BB son no negativos y A=−BA = -B, el número AA queda entre dos cantidades iguales; de donde A=0=BA = 0 = B, y la solución añadida ya lo era de A=BA = B.

Las ecuaciones con raíces, cuyas leyes se estudiaron en la clase sobre potencias de exponente racional y radicales, se resuelven elevando al cuadrado; por el lema, toda solución de la ecuación obtenida debe comprobarse en la original.

EjemploUna solución que aparece al elevar al cuadrado

Resolver la ecuación x+2=x\sqrt{x + 2} = x. La figura muestra la raíz, su opuesta y la recta y=xy = x: la ecuación elevada al cuadrado recoge los cortes de la recta con ambas.

Demostración

  1. (x+2)2=x2→x+2=x2\resaltar{\left( \sqrt{x + 2} \right)^2} = x^2 \rightarrow \resaltar{x + 2} = x^2

    La raíz está definida para x≥−2x \geq -2. Elevamos al cuadrado ambos miembros; el segundo puede ser negativo, de modo que la ecuación obtenida puede tener más soluciones que la original.

  2. x2−x−2=(x−2)(x+1)=0\resaltar{x^2 - x - 2} = \resaltar{(x - 2)(x + 1)} = 0

    Pasamos todo al segundo miembro y factorizamos; el producto (x−2)(x+1)(x - 2)(x + 1) da, al desarrollarlo, x2−x−2x^2 - x - 2.

  3. x=2∨x=−1\dato{c}{x = 2 \vee x = -1}

    Un producto es nulo si y solo si lo es alguno de sus factores: hay dos candidatos.

  4. 2+2=4=2\sqrt{\resaltar{2} + 2} = \sqrt{4} = \resaltar{2}

    Comprobamos el primero en la ecuación original: es solución.

  5. −1+2=1≠−1\sqrt{\resaltar{-1} + 2} = 1 \neq \resaltar{-1}

    El segundo no lo es: el primer miembro vale 11 y el segundo −1-1. Es solución de −x+2=x-\sqrt{x + 2} = x, la ecuación A=−BA = -B que añadió el cuadrado. Por tanto, el conjunto solución es {2}\{2\}.