Los números complejos: operaciones y ecuaciones

Los números complejos como pares de números reales

En la clase sobre los conjuntos numéricos se introdujo la unidad imaginaria $i$ como un número nuevo cuyo cuadrado es $-1$, y se operó con las expresiones $a + bi$ con las mismas reglas que con los reales. Ese modo de proceder deja abiertas dos preguntas: si existe realmente un objeto con esa propiedad, y si las reglas de los reales pueden aplicarse a él sin contradicción. La respuesta, que Hamilton publicó en 1837, consiste en construir los complejos a partir de los reales, sin postular nada nuevo: un número complejo es un par ordenado de números reales.

Definición (número complejo). Un número complejo es un par ordenado $(a, b)$ de números reales; su conjunto se denota por $\mathbb{C}$. Dos complejos son iguales cuando coinciden sus primeras componentes y sus segundas componentes. La suma y el producto se definen por las fórmulas siguientes.

La suma opera componente a componente. El producto, en cambio, no es el producto componente a componente, que daría $(ac, bd)$, y su forma parece arbitraria; se justifica por sus consecuencias. Con el producto componente a componente, el producto de $(1, 0)$ por $(0, 1)$ sería $(0, 0)$ sin que ningún factor fuera nulo, y no podría haber división; con el producto definido, en cambio, el par $(0, 1)$ tiene por cuadrado al par $(-1, 0)$, y los pares de la forma $(a, 0)$ se comportan exactamente como los reales.

Los reales dentro de los complejos

Los pares cuya segunda componente es nula se suman y se multiplican como los reales:

Por tanto, el par $(a, 0)$ puede identificarse con el real $a$ sin que ninguna operación cambie de resultado, y $\mathbb{R}$ queda contenido en $\mathbb{C}$, como exige el principio de las ampliaciones enunciado en la clase sobre los conjuntos numéricos. Multiplicar un par por un real, además, multiplica sus dos componentes, porque $(r, 0) \cdot (a, b) = (ra, rb)$. Se llama unidad imaginaria al par $i = (0, 1)$.

La expresión $a + bi$ es la forma binómica del complejo $z = (a, b)$. El real $a$ es la parte real de $z$ y el real $b$, su parte imaginaria; obsérvese que la parte imaginaria es el número real $b$, y no el producto $bi$. Los complejos de parte imaginaria nula son los reales, y los de parte real nula, como $3i$, se llaman imaginarios puros. Por la última parte del teorema, una igualdad entre complejos equivale a dos igualdades entre reales; de ello se sigue que toda ecuación compleja puede convertirse en un sistema de dos ecuaciones reales, herramienta principal de la última sección.

Las propiedades de las operaciones

La forma binómica solo es útil si se puede operar con ella como con las expresiones algebraicas de los reales, desarrollando productos y sustituyendo $i^2$ por $-1$. Eso exige que las operaciones de $\mathbb{C}$ tengan las mismas propiedades que las de $\mathbb{R}$.

En consecuencia, se opera con las formas binómicas como con expresiones algebraicas en la letra $i$, y cada $i^2$ se sustituye por $-1$. En particular, el producto recupera la fórmula que lo definió:

Por ejemplo, $(2 + 3i)(4 - i) = 8 - 2i + 12i - 3i^2 = 11 + 10i$. Las identidades notables, como el cuadrado de un binomio o la diferencia de cuadrados, y el binomio de Newton de la clase sobre combinatoria valen en $\mathbb{C}$ sin cambios, porque sus demostraciones solo usan estas propiedades. Lo que no se conserva es el orden: según el problema resuelto 5 de la clase sobre los conjuntos numéricos, no existe en $\mathbb{C}$ un orden compatible con las operaciones, de modo que una desigualdad entre complejos no reales carece de sentido. El tamaño de un complejo se medirá con su módulo.