Los conjuntos numéricos: síntesis y desafíos

Resumen

Esta clase cierra la unidad sobre los conjuntos numéricos. Reúne en una sola cadena deductiva lo que las clases de la unidad demostraron: la construcción de los enteros, los racionales y los complejos a partir del conjunto anterior, los axiomas de cuerpo ordenado completo que se admiten para los reales, con la completitud como su rasgo propio, y las consecuencias de cada propiedad para el cálculo con desigualdades, decimales, radicales, ecuaciones y números complejos. Explica cómo esa cadena se apoya en la aritmética de los naturales de la unidad anterior y cómo prepara el estudio de las funciones y los polinomios de la unidad siguiente. Termina con una evaluación de salida, paralela a la de entrada, y con diez desafíos, más difíciles que los problemas de las clases, cada uno de los cuales combina resultados de varias de ellas.

Objetivos de aprendizaje

Exponer en orden lógico las definiciones y los teoremas principales de la unidad, indicando de qué resultados anteriores depende cada uno.
Explicar qué propiedad gana y cuál pierde cada ampliación numérica, y por qué la completitud no puede obtenerse con recursos algebraicos.
Relacionar los resultados de la unidad con la aritmética de los naturales y con el estudio de las funciones algebraicas y los polinomios.
Resolver problemas no rutinarios que exigen combinar la aritmética de las fracciones, el orden de los reales, el cálculo con radicales, los sistemas lineales y los números complejos.

Lo logrado en la unidad

La unidad partió de una carencia y de un principio. La carencia: en los naturales no siempre pueden restarse, dividirse ni extraerse raíces. El principio, enunciado en la clase sobre los conjuntos numéricos: cada nuevo conjunto conserva las operaciones y las propiedades del anterior y añade los elementos necesarios para que una operación inversa, antes restringida, quede definida. El resultado es la cadena de inclusiones que organiza toda la unidad:

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

Las construcciones

Tres de las cuatro ampliaciones se hicieron con un mismo procedimiento, que conviene reconocer como tal. Se toman pares de elementos del conjunto anterior, se declara cuándo dos pares representan el mismo número y se demuestra que esa declaración se comporta como una igualdad, es decir, que es una relación de equivalencia; sus clases forman entonces una partición, como se demostró en la clase sobre conjuntos, relaciones y funciones, y el nuevo conjunto es el conjunto cociente; después se definen las operaciones con representantes y se demuestra que el resultado no depende de los representantes elegidos. En los números enteros, el par de naturales $(a, b)$ representa la resta $a - b$ , y dos pares son equivalentes cuando $a + d = b + c$ ; en los números racionales, la fracción $\frac{p}{q}$ representa un cociente, y dos fracciones son equivalentes cuando $ps = qr$ ; en los números complejos, el par de reales $(a, b)$ es ya el número, con un producto definido de modo que $(0, 1)^2 = (-1, 0)$ . En los tres casos, el conjunto anterior reaparece dentro del nuevo mediante una correspondencia que respeta las operaciones, y lo que en la presentación intuitiva eran convenciones pasa a ser teorema: la regla de los signos, la ausencia de divisores de cero, la cancelación del producto, la unicidad de la fracción irreducible y la igualdad $i^2 = -1$ .

El orden y la completitud

La cuarta ampliación es de otra naturaleza, y no se hizo por construcción. Los racionales ya permiten sumar, restar, multiplicar y dividir, y tienen un orden compatible con esas operaciones, denso y arquimediano; pero el conjunto de los racionales cuyo cuadrado es menor que $2$ está acotado y no tiene supremo racional. Como la construcción de los reales a partir de los racionales excede el curso, la clase sobre los conjuntos numéricos los admitió como un cuerpo ordenado completo: un conjunto que contiene a los racionales y cumple los axiomas de cuerpo, los de orden y el de completitud, según el cual todo conjunto no vacío y acotado superiormente tiene supremo. Los dos primeros grupos los cumplen también los racionales; el tercero es el que caracteriza a los reales. De ella se dedujeron, en la clase sobre la expresión decimal, la propiedad arquimediana de los reales y el valor de toda expresión decimal infinita, con la caracterización de los racionales como los números de expresión finita o periódica; y en la clase sobre la recta real, la existencia de la raíz $n$ -ésima de todo real no negativo, la densidad de los racionales en la recta y la caracterización de los intervalos como los conjuntos sin huecos. Ninguna de estas propiedades se obtiene con sumas y productos: la completitud es una propiedad del orden, y por eso los reales no pueden construirse añadiendo a los racionales las soluciones de ciertas ecuaciones.

El cálculo

Sobre estos fundamentos descansan las técnicas de cálculo de la unidad. La clase sobre las potencias de exponente racional usó la unicidad de la raíz principal para demostrar que $a^{\frac{p}{q}}$ no depende de la fracción elegida y que valen las leyes de los exponentes, y estableció las leyes de los radicales con sus hipótesis de signo, entre ellas $\sqrt{a^2} = \abs{a}$ . La clase sobre las ecuaciones e inecuaciones de primer grado convirtió las propiedades de los cuerpos y del orden en reglas para transformar ecuaciones e inecuaciones sin perder ni añadir soluciones, y clasificó los sistemas de dos ecuaciones mediante su determinante. Por último, los complejos completaron el álgebra: toda ecuación de segundo grado con coeficientes reales tiene en ellos dos soluciones, conjugadas cuando no son reales, y la geometría del plano se tradujo en operaciones con el conjugado y el módulo. El precio fue el orden: en $\mathbb{C}$ no hay ninguno compatible con las operaciones, y el tamaño de un número se mide con su módulo.

Lo que se gana y lo que se pierde

El balance de la unidad puede resumirse así:

De $\mathbb{N}$ a $\mathbb{Z}$ se gana el opuesto, y con él la resta; se pierde el buen orden, porque los enteros no tienen un menor elemento.
De $\mathbb{Z}$ a $\mathbb{Q}$ se gana el inverso de todo número no nulo, y con él la división; se pierde el sucesor, porque entre dos racionales siempre hay otro.
De $\mathbb{Q}$ a $\mathbb{R}$ se gana la completitud, y con ella las raíces de los números no negativos y la medida de todo segmento; se pierde la expresión finita o periódica de todos los números.
De $\mathbb{R}$ a $\mathbb{C}$ se gana la solución de toda ecuación de segundo grado y, según el teorema fundamental del álgebra, de toda ecuación polinómica; se pierde el orden compatible con las operaciones.

La figura siguiente reúne los tres tramos en una sola cadena. Cada nudo de la columna es una definición o un teorema, numerado según el orden lógico y unido por un arco a los eslabones anteriores que su demostración usa; alrededor flotan los apoyos, es decir, los principios y los instrumentos a los que la cadena recurre una y otra vez, cada uno unido con un trazo firme a los eslabones que se apoyan en él y con uno punteado al eslabón donde se establece, salvo los que se admiten o proceden de la unidad anterior, que se dibujan como anillos. Al pulsar un apoyo se destacan todos los eslabones que lo usan, y cada eslabón remite a la clase en que se demuestra.

Apoyos de la cadena

APrincipio de las ampliaciones. Cada nuevo conjunto numérico conserva las operaciones y las propiedades del anterior, y añade los elementos necesarios para que una operación inversa, antes restringida, quede definida; se adopta como guía de toda la unidad. Se admite sin demostración en esta unidad.
BAritmética de los naturales. Las propiedades de la suma, del producto y del orden de los naturales, la inducción, el buen orden y la suma de las progresiones, demostrados en la unidad sobre los números naturales. Se admite sin demostración en esta unidad.
CDivisión con resto. Para todo entero $a$ y todo natural $b$ hay un único cociente $q$ y un único resto $r$ tales que $a = bq + r$ y $0 \leq r < b$ ; demostrado en la unidad sobre los números naturales, con las reglas de los enteros que la clase sobre los números enteros demuestra. Se admite sin demostración en esta unidad.
DBézout y Euclides. Si $\operatorname{mcd}(a, b) = 1$ , existen enteros $x$ e $y$ con $ax + by = 1$ , y un primo que divide a un producto divide a alguno de los factores; demostrado en la unidad sobre los números naturales. Se admite sin demostración en esta unidad.
EConstrucción por clases. Se toman pares del conjunto anterior, se demuestra que la condición que identifica dos pares es una relación de equivalencia, se toma como nuevo conjunto el cociente, cuyas clases forman una partición de los pares, y se definen las operaciones con representantes, probando que el resultado no depende de los elegidos. Se establece en: 2. Construcción de los enteros.
FAxiomas de cuerpo ordenado completo. Se admite que los reales forman un cuerpo ordenado completo que contiene a los racionales: la suma y el producto cumplen los axiomas de cuerpo; los positivos cumplen la tricotomía y son cerrados para la suma y el producto; y todo conjunto no vacío de reales acotado superiormente tiene supremo, que es el axioma que caracteriza a los reales. Se admite sin demostración en esta unidad.
GUnicidad de la raíz. Dos reales no negativos con la misma potencia $n$ -ésima son iguales; por eso basta exhibir un número no negativo cuya potencia sea la dada para saber que es la raíz principal. Se establece en: 11. Unicidad de la raíz principal.
HPropiedad arquimediana. Para todo real existe un natural mayor que él; en consecuencia, un real $d$ con $0 \leq d \leq \frac{1}{10^n}$ para todo natural $n$ es nulo. Se establece en: 13. Propiedad arquimediana.

Tramo 1 Las construcciones
- Construir los enteros como clases de pares de naturales y los racionales como clases de fracciones, con operaciones bien definidas.
- Convertir en teoremas la regla de los signos, la ausencia de divisores de cero y la cancelación del producto.
- Demostrar que todo racional tiene una única fracción irreducible, y que el orden de los racionales es denso y arquimediano.
- Construir los complejos como pares de reales, con un producto que da $i^2 = -1$ .
1. Unicidad del neutro y del opuesto. El neutro aditivo es único y cada número tiene un único opuesto, de modo que $-(-c) = c$ ; del mismo modo, cada número no nulo tiene un único inverso.
  Se demuestra en: Conjuntos numéricos: de los naturales a los complejos.
2. Construcción de los enteros. La relación que hace equivalentes los pares de naturales $(a, b)$ y $(c, d)$ cuando $a + d = b + c$ es de equivalencia; sus clases son los enteros, con una suma y un producto bien definidos, conmutativos, asociativos y distributivos, con los neutros $C(1, 1)$ y $C(2, 1)$ y el opuesto $-C(a, b) = C(b, a)$ .
  Se apoya en: B (Aritmética de los naturales). Se demuestra en: Los números enteros: construcción, signos y orden.
3. Tricotomía de los enteros. Al identificar el natural $n$ con la clase $C(n + 1, 1)$ se conservan la suma y el producto, y todo entero es exactamente una de estas cosas: un natural, el cero o el opuesto de un natural.
  Usa: 2. Construcción de los enteros. Se apoya en: B (Aritmética de los naturales), A (Principio de las ampliaciones). Se demuestra en: Los números enteros: construcción, signos y orden.
4. Regla de los signos. Para todos los enteros se cumplen $a \cdot 0 = 0$ , $(-a) b = -(ab)$ y $(-a)(-b) = ab$ ; además, si $ab = 0$ , alguno de los factores es nulo, y un factor no nulo común a dos productos iguales se cancela.
  Usa: 1. Unicidad del neutro y del opuesto, 2. Construcción de los enteros, 3. Tricotomía de los enteros. Se demuestra en: Los números enteros: construcción, signos y orden.
5. Orden de los enteros. Si $a < b$ significa que $b - a$ es natural, sumar un mismo entero conserva el orden, multiplicar por un positivo lo conserva y por un negativo lo invierte; y la división con resto de un dividendo negativo se reduce a la de un dividendo natural.
  Usa: 1. Unicidad del neutro y del opuesto, 3. Tricotomía de los enteros, 4. Regla de los signos. Se apoya en: C (División con resto). Se demuestra en: Los números enteros: construcción, signos y orden.
6. Construcción de los racionales. La relación que hace equivalentes las fracciones $\frac{p}{q}$ y $\frac{r}{s}$ cuando $ps = qr$ es de equivalencia; sus clases son los racionales, con una suma y un producto bien definidos, y todo racional no nulo $\frac{p}{q}$ tiene por inverso a $\frac{q}{p}$ .
  Usa: 1. Unicidad del neutro y del opuesto, 4. Regla de los signos. Se apoya en: E (Construcción por clases), A (Principio de las ampliaciones). Se demuestra en: Los números racionales: fracciones y sus operaciones.
7. Fracción irreducible. Todo número racional se representa por una fracción irreducible de denominador natural, y por una sola.
  Usa: 4. Regla de los signos, 6. Construcción de los racionales. Se apoya en: D (Bézout y Euclides). Se demuestra en: Los números racionales: fracciones y sus operaciones.
8. Orden de los racionales. Con denominadores naturales, $\frac{p}{q} < \frac{r}{s}$ cuando $ps < qr$ ; este orden no depende de las fracciones elegidas, extiende el de los enteros y es compatible con las operaciones, y es denso y arquimediano: entre dos racionales hay infinitos, y todo racional es superado por un natural.
  Usa: 5. Orden de los enteros, 6. Construcción de los racionales. Se demuestra en: Los números racionales: fracciones y sus operaciones.
9. Construcción de los complejos. Con $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$ y $(a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc)$ , los pares de reales forman los complejos: sus operaciones son conmutativas, asociativas y distributivas, los pares $(a, 0)$ operan como los reales, $i = (0, 1)$ cumple $i^2 = -1$ y cada complejo se escribe de una única manera como $a + bi$ .
  Se apoya en: A (Principio de las ampliaciones), F (Axiomas de cuerpo ordenado completo). Se demuestra en: Los números complejos: operaciones y ecuaciones.
Tramo 2 El orden y la completitud
- Deducir de los axiomas del orden las reglas para operar con desigualdades y la unicidad de la raíz principal.
- Demostrar que los racionales no son completos, porque el conjunto de los racionales de cuadrado menor que $2$ no tiene supremo racional.
- Deducir de la completitud la propiedad arquimediana, el valor de toda expresión decimal infinita y la caracterización de los racionales por sus expresiones finitas o periódicas.
- Deducir de la completitud la densidad de los racionales en la recta, la existencia de las raíces y la caracterización de los intervalos, y operar con el valor absoluto.
1. Orden de los reales. Si los positivos cumplen la tricotomía y son cerrados para la suma y el producto, el orden de los reales es transitivo, se conserva al sumar y al multiplicar por un positivo, se invierte al multiplicar por un negativo, y tomar inversos de dos positivos invierte su orden.
  Usa: 4. Regla de los signos. Se apoya en: F (Axiomas de cuerpo ordenado completo). Se demuestra en: Conjuntos numéricos: de los naturales a los complejos.
2. Unicidad de la raíz principal. Si $p$ y $r$ son no negativos y $p^n = r^n$ , entonces $p = r$ ; si $n$ es impar, cada real tiene a lo sumo una raíz $n$ -ésima, que es negativa cuando el número lo es.
  Usa: 4. Regla de los signos, 10. Orden de los reales. Se apoya en: B (Aritmética de los naturales). Se demuestra en: Conjuntos numéricos: de los naturales a los complejos.
3. Los racionales no son completos. La raíz cuadrada de $2$ no es racional; por ello el conjunto de los racionales cuyo cuadrado es menor que $2$ está acotado superiormente, pero ninguna de sus cotas superiores racionales es la menor.
  Usa: 8. Orden de los racionales, 11. Unicidad de la raíz principal. Se apoya en: D (Bézout y Euclides). Se demuestra en: Conjuntos numéricos: de los naturales a los complejos.
4. Propiedad arquimediana. Para todo real $x$ existe un natural mayor que $x$ ; en consecuencia, si $0 \leq d \leq \frac{1}{10^n}$ para todo natural $n$ , entonces $d = 0$ .
  Usa: 10. Orden de los reales. Se apoya en: F (Axiomas de cuerpo ordenado completo), B (Aritmética de los naturales). Se demuestra en: La expresión decimal de los números racionales.
5. Valor de una expresión decimal. La división larga de $p$ entre $q$ da cifras cuyos truncamientos distan de $\frac{p}{q}$ menos de $\frac{1}{10^n}$ ; y toda expresión decimal infinita representa un único número real, que para la división larga es $\frac{p}{q}$ ; un real positivo tiene dos expresiones solo cuando una es finita y la otra termina en nueves.
  Usa: 6. Construcción de los racionales, 10. Orden de los reales. Se apoya en: B (Aritmética de los naturales), C (División con resto), F (Axiomas de cuerpo ordenado completo), H (Propiedad arquimediana). Se demuestra en: La expresión decimal de los números racionales.
6. Expresiones finitas. La expresión decimal de una fracción irreducible $\frac{p}{q}$ es finita si y solo si $q = 2^a 5^b$ con $a$ y $b$ enteros no negativos.
  Usa: 7. Fracción irreducible, 14. Valor de una expresión decimal. Se apoya en: D (Bézout y Euclides). Se demuestra en: La expresión decimal de los números racionales.
7. Expresiones de los racionales. La expresión decimal de todo racional positivo $\frac{p}{q}$ es finita o periódica, y la longitud de su período es a lo sumo $q - 1$ .
  Usa: 14. Valor de una expresión decimal. Se apoya en: B (Aritmética de los naturales), C (División con resto). Se demuestra en: La expresión decimal de los números racionales.
8. Fracción generatriz. Toda expresión decimal periódica representa un racional, y la periódica pura de período $A$ , de $k$ cifras, representa a $\frac{A}{10^k - 1}$ ; de donde un real es racional si y solo si su expresión es finita o periódica.
  Usa: 14. Valor de una expresión decimal, 16. Expresiones de los racionales. Se apoya en: B (Aritmética de los naturales), H (Propiedad arquimediana). Se demuestra en: La expresión decimal de los números racionales.
9. Densidad de los racionales. Entre dos reales distintos hay siempre un número racional, y por tanto infinitos.
  Usa: 10. Orden de los reales. Se apoya en: B (Aritmética de los naturales), H (Propiedad arquimediana). Se demuestra en: La recta real: orden, intervalos y valor absoluto.
10. Existencia de la raíz. Para todo natural $n \geq 2$ y todo real $a \geq 0$ existe un real $s \geq 0$ tal que $s^n = a$ , que es la raíz $n$ -ésima principal de $a$ .
  Usa: 10. Orden de los reales. Se apoya en: F (Axiomas de cuerpo ordenado completo), G (Unicidad de la raíz). Se demuestra en: La recta real: orden, intervalos y valor absoluto.
11. Caracterización de los intervalos. Un conjunto de reales con al menos dos elementos es un intervalo si y solo si contiene todos los números comprendidos entre dos cualesquiera de sus elementos.
  Usa: 10. Orden de los reales. Se apoya en: F (Axiomas de cuerpo ordenado completo). Se demuestra en: La recta real: orden, intervalos y valor absoluto.
12. Valor absoluto. Se cumplen $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ y $\abs{xy} = \abs{x} \abs{y}$ ; la condición $\abs{x - a} < r$ equivale a $a - r < x < a + r$ , y vale la desigualdad triangular $\abs{x + y} \leq \abs{x} + \abs{y}$ .
  Usa: 4. Regla de los signos, 10. Orden de los reales. Se apoya en: G (Unicidad de la raíz). Se demuestra en: La recta real: orden, intervalos y valor absoluto.
Tramo 3 El cálculo
- Definir las potencias de exponente racional, probar que no dependen de la fracción elegida y deducir las leyes de los exponentes.
- Establecer las leyes de los radicales con sus hipótesis de signo, entre ellas $\sqrt{a^2} = \abs{a}$ .
- Transformar ecuaciones e inecuaciones sin perder ni añadir soluciones, y clasificar los sistemas de dos ecuaciones mediante su determinante.
- Operar con el conjugado y el módulo, resolver en $\mathbb{C}$ toda ecuación de segundo grado con coeficientes reales y reconocer que $\mathbb{C}$ no admite un orden compatible con sus operaciones.
1. Leyes de los exponentes. Para $a > 0$ , la potencia $a^{\frac{p}{q}}$ , raíz $q$ -ésima principal de $a^p$ , no depende de la fracción elegida, y se cumplen $a^x a^y = a^{x + y}$ , $(a^x)^y = a^{xy}$ y $(ab)^x = a^x b^x$ ; si $a > 1$ , crece con el exponente.
  Usa: 6. Construcción de los racionales, 19. Existencia de la raíz. Se apoya en: G (Unicidad de la raíz). Se demuestra en: Potencias de exponente racional y radicales.
2. Leyes de los radicales. Para radicandos no negativos, la raíz de un producto es el producto de las raíces y la raíz de una raíz es la raíz de índice producto; $\sqrt[n]{a^n}$ es $\abs{a}$ si $n$ es par, y $\sqrt{a + b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ , con igualdad solo si $ab = 0$ .
  Usa: 19. Existencia de la raíz, 21. Valor absoluto. Se apoya en: G (Unicidad de la raíz). Se demuestra en: Potencias de exponente racional y radicales.
3. Ecuaciones equivalentes. Sumar una misma expresión a ambos miembros o multiplicarlos por un número no nulo conserva las soluciones de una ecuación; en una inecuación, multiplicar por un positivo conserva el sentido y por un negativo lo invierte; y elevar al cuadrado puede añadir las soluciones de $A = -B$ .
  Usa: 1. Unicidad del neutro y del opuesto, 10. Orden de los reales. Se demuestra en: Ecuaciones e inecuaciones de primer grado y sistemas lineales.
4. Sistemas de dos ecuaciones. Si el determinante $D$ del sistema no es nulo, la única solución es $x = \frac{D_x}{D}$ , $y = \frac{D_y}{D}$ ; si $D = 0$ , el sistema tiene infinitas soluciones cuando $D_x = D_y = 0$ , y ninguna en otro caso.
  Usa: 24. Ecuaciones equivalentes. Se demuestra en: Ecuaciones e inecuaciones de primer grado y sistemas lineales.
5. Conjugado y módulo. El conjugado de una suma o de un producto es la suma o el producto de los conjugados, $z \conj{z} = \abs{z}^2$ , $\abs{zw} = \abs{z} \abs{w}$ y $\abs{z + w} \leq \abs{z} + \abs{w}$ .
  Usa: 9. Construcción de los complejos, 21. Valor absoluto. Se apoya en: G (Unicidad de la raíz). Se demuestra en: Los números complejos: operaciones y ecuaciones.
6. Inverso de un complejo. Todo complejo $z$ no nulo tiene un único inverso, $\frac{\conj{z}}{\abs{z}^2}$ ; por tanto, se puede dividir entre todo complejo no nulo, y un producto de complejos solo se anula si se anula alguno de sus factores.
  Usa: 1. Unicidad del neutro y del opuesto, 26. Conjugado y módulo. Se demuestra en: Los números complejos: operaciones y ecuaciones.
7. Ecuación de segundo grado. Si $a$ , $b$ y $c$ son reales, $a \neq 0$ y $\Delta = b^2 - 4ac < 0$ , la ecuación $az^2 + bz + c = 0$ tiene en $\mathbb{C}$ exactamente dos soluciones, $\frac{-b \pm i \sqrt{-\Delta}}{2a}$ , que son conjugadas y no reales.
  Usa: 19. Existencia de la raíz, 27. Inverso de un complejo. Se demuestra en: Los números complejos: operaciones y ecuaciones.
8. Raíces conjugadas. Si un polinomio con coeficientes reales se anula en $z_0$ , también se anula en $\conj{z_0}$ ; de modo que sus raíces no reales se presentan en pares de conjugados.
  Usa: 26. Conjugado y módulo. Se demuestra en: Los números complejos: operaciones y ecuaciones.
9. Los complejos no se ordenan. En $\mathbb{C}$ no existe un orden compatible con las operaciones: el cuadrado de todo número no nulo sería positivo, y entonces $1$ e $i^2 = -1$ serían positivos, y también su suma, que es $0$ .
  Usa: 4. Regla de los signos, 9. Construcción de los complejos. Se demuestra en: Conjuntos numéricos: de los naturales a los complejos.

Hacia las funciones algebraicas. La cadena se detiene donde los números dejan de estudiarse aislados: la unidad siguiente estudia reglas que asignan números a números, con dominios que son intervalos, radicandos no negativos, tablas de signos y el teorema de las raíces conjugadas para factorizar los polinomios con coeficientes reales.