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Topos Uranos
Italiano

Equazioni e disequazioni di primo grado e sistemi lineari

Riepilogo

Questa lezione studia le equazioni e le disequazioni di primo grado e i sistemi di equazioni lineari. Dimostra quali operazioni trasformano un’equazione in un’altra con le stesse soluzioni e spiega perché moltiplicare per un’espressione che può annullarsi, o elevare al quadrato, può aggiungere o sopprimere soluzioni. Discute completamente l’equazione ax+b=0ax + b = 0, anche quando i suoi coefficienti dipendono da un parametro, risolve equazioni con frazioni e disequazioni lineari, semplici e simultanee, ed esprime i loro insiemi delle soluzioni come intervalli. Infine, risolve i sistemi di due equazioni in due incognite per sostituzione, riduzione e confronto, dimostra la regola di Cramer, classifica i sistemi secondo il loro determinante, risolve un sistema di tre equazioni per riduzione e traduce in sistemi problemi di miscele, età e velocità.

Obiettivi di apprendimento

  1. Giustificare quali operazioni conservano l’insieme delle soluzioni di un’equazione o di una disequazione, e riconoscere quelle che possono aggiungere o sopprimere soluzioni.
  2. Discutere e risolvere equazioni di primo grado, con parametri o con frazioni, e disequazioni lineari semplici e simultanee, scrivendo le loro soluzioni come intervalli.
  3. Risolvere sistemi di due equazioni lineari per sostituzione, riduzione e confronto, e classificarli secondo il loro determinante mediante la regola di Cramer.
  4. Impostare e risolvere sistemi lineari che modellano problemi, interpretando i casi di infinite soluzioni o di nessuna.

Equazioni ed equazioni equivalenti

Un’equazione nell’incognita xx è un’uguaglianza A=BA = B tra due espressioni che dipendono da xx. Le sue soluzioni sono i numeri reali x0x_0 per i quali entrambe le espressioni sono definite e assumono lo stesso valore; l’insieme che esse formano è l’insieme delle soluzioni dell’equazione. Risolvere un’equazione significa descrivere tale insieme, che può avere un elemento, vari, infiniti o nessuno. Per esempio, l’insieme delle soluzioni di 2x−6=02x - 6 = 0 è {3}\{3\}, quello di x+1=1+xx + 1 = 1 + x è tutta la retta reale e quello di x+1=xx + 1 = x è vuoto.

Due equazioni sono equivalenti quando hanno lo stesso insieme delle soluzioni. Il metodo generale per risolvere un’equazione consiste nel sostituirla con una successione di equazioni equivalenti, ciascuna più semplice della precedente, fino ad arrivare a una il cui insieme delle soluzioni si legge direttamente, come x=3x = 3. Ora, ogni trasformazione di questa successione deve conservare le soluzioni, senza aggiungerne né sopprimerne alcuna; ne segue che la prima cosa è sapere quali operazioni lo garantiscono.

Operazioni che conservano le soluzioni

Le due operazioni fondamentali sono sommare una stessa espressione a entrambi i membri e moltiplicarli per uno stesso numero non nullo. Sottrarre e dividere ne sono casi particolari, perché sottrarre CC equivale a sommare −C-C, e dividere per kk equivale a moltiplicare per k−1k^{-1}, come si è visto nella lezione sugli insiemi numerici.

TeoremaLe operazioni che conservano le soluzioni

Siano AA, BB e CC espressioni nell’incognita xx, definite in uno stesso insieme di numeri reali, e sia kk un numero reale non nullo. Allora le equazioni A=BA = B, A+C=B+CA + C = B + C e kA=kBkA = kB hanno lo stesso insieme delle soluzioni. Più in generale, se l’espressione CC non si annulla in alcun punto di tale insieme, A=BA = B e CA=CBCA = CB hanno lo stesso insieme delle soluzioni. Bisogna dimostrare due inclusioni per ogni operazione: ogni soluzione dell’equazione originale lo è della trasformata, e viceversa. La figura rappresenta l’equazione come una bilancia in equilibrio, che lo conserva se si fa la stessa cosa su entrambi i piatti.

Dimostrazione

  1. A(x0)=B(x0)→A(x0)+C(x0)=B(x0)+C(x0)\dato{s}{A(x_0) = B(x_0)} \rightarrow A(x_0) + \resaltar{C(x_0)} = B(x_0) + \resaltar{C(x_0)}

    Sia x0x_0 una soluzione di A=BA = B: i numeri A(x0)A(x_0) e B(x0)B(x_0) sono lo stesso, e sommando loro uno stesso numero si ottiene uno stesso risultato. Ogni soluzione di A=BA = B lo è di A+C=B+CA + C = B + C.

  2. (A(x0)+C(x0))+(−C(x0))=A(x0)+0=A(x0)\left( A(x_0) + C(x_0) \right) + \resaltar{(-C(x_0))} = A(x_0) + 0 = \resaltar{A(x_0)}

    Viceversa, se x0x_0 soddisfa A+C=B+CA + C = B + C, sommiamo a entrambi i membri l’opposto di C(x0)C(x_0). Per l’associatività e la definizione dell’opposto, in ciascun membro resta solo il primo addendo, da cui A(x0)=B(x0)A(x_0) = B(x_0): i due insiemi delle soluzioni coincidono.

  3. A(x0)=B(x0)→kA(x0)=kB(x0)A(x_0) = B(x_0) \rightarrow \resaltar{k} A(x_0) = \resaltar{k} B(x_0)

    Allo stesso modo, se x0x_0 è soluzione di A=BA = B, moltiplicando uno stesso numero per kk si ottiene uno stesso risultato.

  4. k−1(kA(x0))=(k−1k)A(x0)=A(x0)\resaltar{k^{-1}} \left( k A(x_0) \right) = \left( k^{-1} k \right) A(x_0) = \resaltar{A(x_0)}

    Viceversa, poiché k≠0k \neq 0, esiste il suo inverso k−1k^{-1}; moltiplicando per esso entrambi i membri di kA(x0)=kB(x0)kA(x_0) = kB(x_0) si ritrova l’uguaglianza originale. Se CC non si annulla in alcun punto, lo stesso argomento vale in ogni x0x_0 con il numero k=C(x0)k = C(x_0).

  5. 0⋅A(x0)=0=0⋅B(x0)\resaltar{0} \cdot A(x_0) = 0 = \resaltar{0} \cdot B(x_0)

    L’ipotesi k≠0k \neq 0 è indispensabile: moltiplicando per 00, entrambi i membri valgono 00 per ogni xx, e l’equazione trasformata è soddisfatta da qualsiasi numero, che sia o no soluzione dell’originale.

Operazioni che possono aggiungere o sopprimere soluzioni

Se CC si annulla in qualche punto, l’equivalenza può venire meno. Moltiplicando entrambi i membri per un’espressione che si annulla in x1x_1, il numero x1x_1 diventa soluzione, anche se non lo era; e dividendo per essa si perdono le soluzioni in cui si annulla. Per esempio, x=2x = 2 ha una sola soluzione, ma moltiplicando per x−3x - 3 compare anche il 33; e l’equazione x2=3xx^2 = 3x ha le soluzioni 00 e 33, perché x2−3x=x(x−3)x^2 - 3x = x(x - 3), ma dividendo per xx resta x=3x = 3 e si perde lo 00:

x(x−3)=2(x−3)↔x=2∨x=3,x2=3x↔x=0∨x=3x(x - 3) = 2(x - 3) \leftrightarrow x = 2 \vee x = 3, \qquad x^2 = 3x \leftrightarrow x = 0 \vee x = 3

Neppure elevare al quadrato i due membri è un’operazione reversibile, perché due numeri opposti hanno lo stesso quadrato. Il lemma seguente precisa quali soluzioni possono comparire.

LemmaElevare al quadrato

Per numeri reali AA e BB, vale A2=B2A^2 = B^2 se e solo se A=BA = B o A=−BA = -B. Di conseguenza, elevando al quadrato i due membri di un’equazione A=BA = B si conservano tutte le sue soluzioni, ma possono aggiungersi quelle dell’equazione A=−BA = -B; se AA e BB non assumono valori negativi, non se ne aggiunge alcuna. La dimostrazione scompone la differenza dei quadrati. La figura disegna la parabola y=t2y = t^2 e la retta orizzontale di altezza B2B^2, con B=2B = 2: i numeri il cui quadrato è B2B^2 sono le ascisse dei due punti di intersezione, BB e −B-B.

Dimostrazione

  1. A2−B2=(A−B)(A+B)A^2 - B^2 = \resaltar{(A - B)(A + B)}

    Per la distributività, la differenza dei quadrati si scompone; i termini ABAB e −AB-AB si elidono.

  2. A2=B2↔(A−B)(A+B)=0↔A=B∨A=−B\dato{eq}{A^2 = B^2 \leftrightarrow (A - B)(A + B) = 0 \leftrightarrow A = B \vee \resaltar{A = -B}}

    Un prodotto è nullo se e solo se almeno uno dei suoi fattori lo è, come si è dimostrato nella lezione sugli insiemi numerici. Ne segue che numeri con lo stesso quadrato sono uguali od opposti.

  3. A2=B2↔(A=B)∨(A=−B)A^2 = B^2 \leftrightarrow \left( A = B \right) \vee \resaltar{\left( A = -B \right)}

    Applicato in ciascun valore di xx, ciò dice che le soluzioni dell’equazione elevata al quadrato sono quelle di A=BA = B insieme a quelle di A=−BA = -B: non se ne perde alcuna, ma possono aggiungersi quelle della seconda.

  4. A≥0≥−B=A→A=0=BA \geq 0 \geq -B = A \rightarrow \resaltar{A = 0 = B}

    Se AA e BB sono non negativi e A=−BA = -B, il numero AA è compreso tra due quantità uguali; da cui A=0=BA = 0 = B, e la soluzione aggiunta lo era già di A=BA = B.

Le equazioni con radici, le cui proprietà si sono studiate nella lezione sulle potenze a esponente razionale e radicali, si risolvono elevando al quadrato; per il lemma, ogni soluzione dell’equazione ottenuta va verificata nell’originale.

EsempioUna soluzione che compare elevando al quadrato

Risolvere l’equazione x+2=x\sqrt{x + 2} = x. La figura mostra la radice, la sua opposta e la retta y=xy = x: l’equazione elevata al quadrato raccoglie le intersezioni della retta con entrambe.

Dimostrazione

  1. (x+2)2=x2→x+2=x2\resaltar{\left( \sqrt{x + 2} \right)^2} = x^2 \rightarrow \resaltar{x + 2} = x^2

    La radice è definita per x≥−2x \geq -2. Eleviamo al quadrato entrambi i membri; il secondo può essere negativo, sicché l’equazione ottenuta può avere più soluzioni dell’originale.

  2. x2−x−2=(x−2)(x+1)=0\resaltar{x^2 - x - 2} = \resaltar{(x - 2)(x + 1)} = 0

    Portiamo tutto al secondo membro e scomponiamo; il prodotto (x−2)(x+1)(x - 2)(x + 1), sviluppato, dà x2−x−2x^2 - x - 2.

  3. x=2∨x=−1\dato{c}{x = 2 \vee x = -1}

    Un prodotto è nullo se e solo se almeno uno dei suoi fattori lo è: ci sono due candidati.

  4. 2+2=4=2\sqrt{\resaltar{2} + 2} = \sqrt{4} = \resaltar{2}

    Verifichiamo il primo nell’equazione originale: è soluzione.

  5. −1+2=1≠−1\sqrt{\resaltar{-1} + 2} = 1 \neq \resaltar{-1}

    Il secondo non lo è: il primo membro vale 11 e il secondo −1-1. È soluzione di −x+2=x-\sqrt{x + 2} = x, l’equazione A=−BA = -B che il quadrato ha aggiunto. Pertanto, l’insieme delle soluzioni è {2}\{2\}.