Potências de expoente racional e radicais

Resumo

Esta aula estende as potências aos expoentes racionais por meio da raiz principal, demonstra que a definição não depende da fração com que se escreve o expoente e que as propriedades das potências de expoente inteiro continuam valendo. Estabelece depois as propriedades dos radicais com suas hipóteses de sinal, caracteriza o erro de distribuir uma raiz sobre uma soma e ensina as técnicas de cálculo com radicais: a extração de fatores, a racionalização de denominadores com conjugados e com a diferença de cubos, a comparação de números sem calculadora e a simplificação de radicais duplos.

Objetivos de aprendizagem

Definir a potência de expoente racional de uma base positiva, justificar que não depende da fração escolhida e aplicar suas propriedades.
Enunciar as propriedades dos radicais com suas hipóteses de sinal, em particular $\sqrt[n]{a^n} = \abs{a}$ para índice par, e reconhecer os erros típicos.
Simplificar radicais e racionalizar denominadores monômios, binômios e com raízes cúbicas.
Comparar números com radicais elevando-os a potências adequadas, e simplificar radicais duplos quando for possível.

Potências de expoente racional

Na aula sobre os conjuntos numéricos definiram-se as potências de expoente inteiro e a raiz principal: para um natural $n \geq 2$ e um real $b \geq 0$ , o número $\sqrt[n]{b}$ é o único real não negativo cuja potência $n$ -ésima é $b$ . Ali se demonstraram, para bases racionais, as propriedades das potências de expoente inteiro; suas demonstrações usam apenas as propriedades da soma e do produto, de modo que valem igualmente para bases reais. Ali se demonstrou também a unicidade da raiz principal, da qual depende tudo o que segue, e admitiu-se sua existência, que é consequência da completude dos reais e se demonstrou na aula sobre a reta real.

Potências e raízes são operações inversas, e convém reuni-las numa só notação. Se a propriedade da potência de uma potência deve valer também para expoentes fracionários, o número $a^{\frac{1}{q}}$ deve cumprir $\left(a^{\frac{1}{q}}\right)^q = a^1 = a$ ; isto é, deve ser uma raiz $q$ -ésima de $a$ , e a escolha natural é a principal. Do mesmo modo, $a^{\frac{p}{q}}$ deve ser a potência $p$ -ésima de $a^{\frac{1}{q}}$ , ou então a raiz $q$ -ésima de $a^p$ . Esta observação não demonstra nada, porque supõe as propriedades que se querem obter; apenas sugere a definição.

Definição (potência de expoente racional). Sejam $a > 0$ um real, $p$ um inteiro e $q$ um natural. A potência de expoente racional $a^{\frac{p}{q}}$ é a raiz $q$ -ésima principal de $a^p$ . Para $q = 1$ entende-se que a raiz de índice $1$ de um número é o próprio número, de modo que a definição coincide com a da potência de expoente inteiro.

a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}

A raiz existe porque $a^p$ é positivo, e é positiva pela mesma razão: se fosse nula, também o seria sua potência $q$ -ésima. Por exemplo, $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4$ e $27^{-\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3}$ . No primeiro exemplo obtém-se o mesmo resultado extraindo primeiro a raiz e elevando depois, porque $\left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4$ ; a ordem das duas operações é indiferente.

LemaRaiz de uma potência

Para todo real $a > 0$ , todo inteiro $p$ e todo natural $q$ , a raiz $q$ -ésima de $a^p$ é a potência $p$ -ésima da raiz $q$ -ésima de $a$ .

\sqrt[q]{a^p} = \left(\sqrt[q]{a}\right)^p

Verifica-se que o segundo membro tem o sinal e a potência que caracterizam o primeiro, e aplica-se a unicidade da raiz principal. A figura acompanha o raciocínio com $a = 2$ , $q = 2$ e $p = 3$ : a curva $y = t^q$ cresce nos positivos e corta uma única vez cada reta horizontal de altura positiva.

Demonstração

$r = \sqrt[q]{a}, \quad r > 0, \quad \dato{rq}{r^q = a}$
Se $q = 1$ , ambos os membros são $a^p$ . Se $q \geq 2$ , seja $r$ a raiz $q$ -ésima principal de $a$ : é positivo, porque se fosse nulo também o seria $a$ , e sua potência $q$ -ésima é $a$ .
$\dato{pos}{r^p > 0}$
O número $r^p$ é positivo, porque toda potência de expoente inteiro de um positivo o é: se $p$ é natural, pelo axioma do produto; se $p = 0$ , vale $1$ ; e se $p$ é negativo, é o inverso de um positivo.
$\left(r^p\right)^q = r^{pq} = \left(\resaltar{r^q}\right)^p = \dato{ap}{\resaltar{a^p}}$
Pela propriedade da potência de uma potência de expoente inteiro, aplicada nas duas ordens, a potência $q$ -ésima de $r^p$ é $a^p$ .
$\sqrt[q]{a^p} = \resaltar{r^p} = \left(\sqrt[q]{a}\right)^p$
Assim, $r^p$ é um número positivo cuja potência $q$ -ésima é $a^p$ . Pela unicidade da raiz principal, é a raiz $q$ -ésima de $a^p$ .

A definição não depende da fração

Um mesmo racional se escreve com muitas frações: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}$ . A definição anterior é formulada com uma fração concreta, e nada garante de antemão que duas escritas do mesmo expoente deem o mesmo número; por exemplo, $2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$ , enquanto $2^{\frac{2}{4}} = \sqrt[4]{4}$ . Se dessem números distintos, o símbolo $a^x$ não teria sentido para um racional $x$ , mas apenas para cada uma de suas frações.

TeoremaIndependência da fração

Seja $a > 0$ . Se $p$ e $r$ são inteiros, $q$ e $s$ são naturais e $\frac{p}{q} = \frac{r}{s}$ , então $\sqrt[q]{a^p} = \sqrt[s]{a^r}$ . A ideia é elevar os dois números à potência $qs$ , que elimina ambas as raízes, e aplicar a unicidade da raiz principal. A figura acompanha o raciocínio com $a = 2$ , $\frac{p}{q} = \frac{1}{2}$ e $\frac{r}{s} = \frac{2}{4}$ : cada potência é uma curva crescente, que corta uma única vez cada reta horizontal.

Demonstração

$u = \sqrt[q]{a^p}, \quad v = \sqrt[s]{a^r}, \quad \dato{du}{u^q = a^p}, \quad \dato{dv}{v^s = a^r}$
Chamamos $u$ e $v$ os números dados pelas duas escritas. Ambos são positivos e, pela definição de raiz, cumprem as igualdades seguintes.
$u^{qs} = \left(\resaltar{u^q}\right)^s = \left(a^p\right)^s = \dato{pu}{\resaltar{a^{ps}}}$
Elevamos $u$ à potência $qs$ com a propriedade da potência de uma potência, e substituímos $u^q$ por seu valor.
$v^{qs} = \left(\resaltar{v^s}\right)^q = \left(a^r\right)^q = \dato{pv}{\resaltar{a^{rq}}}$
Do mesmo modo com $v$ , agrupando primeiro o expoente $s$ .
$\frac{p}{q} = \frac{r}{s} \leftrightarrow \dato{cr}{\resaltar{ps = qr}}$
As frações são iguais, o que significa que seus produtos cruzados coincidem.
$u^{qs} = a^{\resaltar{ps}} = a^{\resaltar{qr}} = v^{qs}$
Donde $u$ e $v$ têm a mesma potência de índice $qs$ .
$\sqrt[q]{a^p} = \sqrt[s]{a^r}$
Se $qs = 1$ , isto diz que $u = v$ . Se $qs \geq 2$ , $u$ e $v$ são dois números positivos com a mesma potência de expoente $qs$ , e pela unicidade da raiz principal são iguais.

Portanto, para todo racional $x$ o número $a^x$ está bem definido: escreve-se $x$ como fração de qualquer maneira e o resultado é sempre o mesmo. Em particular, todo expoente racional pode ser escrito com denominador natural, e dois expoentes podem ser escritos com um denominador comum, o que se usa nas demonstrações seguintes.

A hipótese $a > 0$ não é um capricho. Com base negativa, a raiz de índice ímpar existe, mas o resultado dependeria da fração: $\sqrt[3]{-8} = -2$ , enquanto $\sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2$ , embora $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ . Por isso não se definem potências de expoente racional com base negativa, e para números negativos escreve-se a raiz, como $\sqrt[3]{-8}$ . Com base nula define-se $0^x = 0$ para todo racional $x > 0$ , e não se definem expoentes negativos nem nulos.

As propriedades dos expoentes racionais

Com a definição assegurada, verifica-se que as propriedades das potências de expoente inteiro continuam valendo.

TeoremaAs propriedades dos expoentes racionais

Para todos os reais $a > 0$ e $b > 0$ e todos os racionais $x$ e $y$ valem $a^x \cdot a^y = a^{x + y}$ , $\left(a^x\right)^y = a^{xy}$ e $(ab)^x = a^x \cdot b^x$ . Em consequência, também $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$ e $\frac{a^x}{a^y} = a^{x - y}$ . Demonstram-se as duas primeiras propriedades; a terceira segue da propriedade do produto de radicais, na seção seguinte. A figura mostra os valores $2^{\frac{k}{6}}$ : cada um é o anterior multiplicado por $\sqrt[6]{2}$ , e os expoentes se somam como os degraus de uma escada.

Demonstração

$x = \frac{p}{q}, \quad y = \frac{r}{q}, \quad u = \sqrt[q]{a}, \quad \dato{lx}{a^x = u^p}, \quad \dato{ly}{a^y = u^r}$
Produto. Escrevemos $x$ e $y$ com um denominador comum $q$ , o que é lícito pelo teorema anterior, e chamamos $u$ a raiz $q$ -ésima de $a$ . Pelo lema da raiz de uma potência, ambas as potências são potências inteiras de $u$ .
$a^x \cdot a^y = \resaltar{u^p \cdot u^r} = u^{p + r} = \resaltar{a^{\frac{p + r}{q}}} = a^{x + y}$
Pela propriedade do produto de expoente inteiro, os expoentes se somam; e de novo pelo lema, o resultado é $a^{x + y}$ , porque $x + y = \frac{p + r}{q}$ .
$\left(a^x\right)^y = \sqrt[s]{\left(\resaltar{u^p}\right)^r} = \dato{w}{\resaltar{\sqrt[s]{u^{pr}}}} = w$
Potência de uma potência. Agora $x = \frac{p}{q}$ e $y = \frac{r}{s}$ , e de novo $a^x = u^p$ com $u = \sqrt[q]{a}$ . Pela definição, $\left(a^x\right)^y$ é a raiz $s$ -ésima de $\left(u^p\right)^r$ ; chamamos $w$ esse número positivo.
$w^{qs} = \left(\resaltar{w^s}\right)^q = \left(u^{pr}\right)^q = \left(\resaltar{u^q}\right)^{pr} = \dato{wp}{a^{pr}}$
Elevamos $w$ à potência $qs$ , agrupando primeiro o expoente $s$ , que desfaz a raiz, e depois o expoente $q$ , com $u^q = a$ .
$\left(a^x\right)^y = w = \sqrt[qs]{\resaltar{a^{pr}}} = \resaltar{a^{\frac{pr}{qs}}} = a^{xy}$
Pela unicidade da raiz principal, $w$ é a raiz de índice $qs$ de $a^{pr}$ , que é a potência de expoente $\frac{pr}{qs} = xy$ .

Da primeira propriedade seguem as consequências: como $a^x \cdot a^{-x} = a^0 = 1$ , o número $a^{-x}$ é o inverso de $a^x$ , e então $\frac{a^x}{a^y} = a^x \cdot a^{-y} = a^{x - y}$ . As propriedades permitem calcular com expoentes racionais como com os inteiros. Por exemplo:

\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{32}, \qquad \left(\sqrt{2}\right)^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt[3]{2}

Potências de expoente racional e ordem

Na aula sobre os conjuntos numéricos demonstrou-se, e na aula sobre a reta real aplicou-se às desigualdades, que as potências de expoente natural conservam a ordem dos números não negativos: se $0 \leq u < v$ , então $u^n < v^n$ . As potências de expoente racional herdam essa propriedade em relação à base, e acrescentam outra em relação ao expoente, cujo sentido depende de a base ser maior ou menor que $1$ .

LemaA monotonia das potências racionais

Sejam $x < y$ racionais. Se $a > 1$ , então $a^x < a^y$ ; se $0 < a < 1$ , então $a^x > a^y$ . Além disso, se $x > 0$ e $0 < s < t$ , então $s^x < t^x$ . A figura mostra os gráficos de $y = t^{\frac{1}{3}}$ , $y = t^{\frac{1}{2}}$ e $y = t^{\frac{3}{2}}$ para $t > 0$ : à direita de $t = 1$ o expoente maior dá o valor maior, à esquerda ocorre o contrário, e em $t = 1$ as três curvas se cruzam.

Demonstração

$x = \frac{p}{q}, \quad y = \frac{r}{q}, \quad p < r, \quad \dato{u1}{u > 1}$
Seja $a > 1$ . Escrevemos $x$ e $y$ com um denominador comum $q$ , e seja $u = \sqrt[q]{a}$ . Então $u > 1$ : se fosse $u \leq 1$ , pela monotonia das potências ter-se-ia $u^q \leq 1$ , contra $u^q = a > 1$ .
$a^y = u^r = \resaltar{u^p \cdot u^{r - p}} > \resaltar{u^p} = a^x$
Como $r - p$ é natural, $u^{r - p} > 1^{r - p} = 1$ , e multiplicar pelo positivo $u^p$ conserva a desigualdade.
$\frac{1}{a^x} < \frac{1}{a^y} \rightarrow \resaltar{a^x > a^y}$
Se $0 < a < 1$ , seu inverso é maior que $1$ , e pelo anterior $\left(\frac{1}{a}\right)^x < \left(\frac{1}{a}\right)^y$ . Como $\left(\frac{1}{a}\right)^x = \frac{1}{a^x}$ pelas propriedades dos expoentes, ao tomar os inversos de dois positivos a desigualdade se inverte.
$1^x = 1$
Se $a = 1$ , todas as suas potências valem $1$ , porque as raízes e as potências de $1$ são $1$ . Por isso os três gráficos passam pelo ponto $(1, 1)$ .
$0 < s < t \rightarrow \resaltar{s^p < t^p} \rightarrow \resaltar{\sqrt[q]{s^p} < \sqrt[q]{t^p}}$
Para a monotonia na base, seja $x = \frac{p}{q}$ com $p$ natural. De $s < t$ segue $s^p < t^p$ ; e se fosse $\sqrt[q]{s^p} \geq \sqrt[q]{t^p}$ , elevando a $q$ resultaria $s^p \geq t^p$ , o que é falso.

Os gráficos das funções potência serão estudados em detalhe na aula sobre as funções algébricas; aqui bastam as duas monotonias, que serão usadas para comparar números.

No restante desta aula

As propriedades dos radicais
A raiz de uma soma
Simplificação de radicais
Racionalização de denominadores
Comparação de números sem calculadora
Radicais duplos
Problemas resolvidos
Uma sequência de raízes
Um denominador com três termos
Um denominador com raízes cúbicas
Uma soma de radicais duplos
Uma soma de raízes cúbicas que é racional
Problemas propostos
Duas raízes que somam uma constante
Duas diferenças de raízes
O formato das folhas de papel
As potências de uma diferença de raízes
Uma raiz cúbica que não se escreve com raízes quadradas