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Topos Uranos
Deutsch

Stellenwertsysteme

Zusammenfassung

Diese Lektion untersucht die Stellenwertschreibweise, in der der Wert jeder Ziffer von der Stelle abhängt, die sie einnimmt. Sie beweist, dass sich jede natürliche Zahl in jeder Basis b≥2b \geq 2 auf genau eine Weise schreiben lässt, mit einem Verfahren, das darin besteht, wiederholt durch die Basis zu teilen, und zeigt, wie man Zahlen zwischen der Basis 1010 und den Basen 22, 88 und 1616 umrechnet, und zwischen den letzteren durch Gruppieren von Binärziffern. Sie zeigt, dass Addition und Multiplikation in jeder Basis nach denselben Regeln wie in der Basis 1010 ausgeführt werden, erklärt, warum die Teilbarkeitsregeln funktionieren, überträgt sie auf andere Basen und schließt mit einer Bemerkung über die Geschichte der Zahlschriften und über die Verwendung der Basis 22 in Computern.

Lernziele

  1. Die Stellenwertschreibweise deuten und den Wert einer in beliebiger Basis geschriebenen Zahl berechnen.
  2. Die Existenz und die Eindeutigkeit der Darstellung zur Basis bb beweisen und sie durch fortgesetzte Division gewinnen.
  3. Zahlen zwischen den Basen 22, 88, 1010 und 1616 umrechnen sowie in der Basis 22 addieren und multiplizieren.
  4. Die Teilbarkeitsregeln für b−1b - 1 und für b+1b + 1 in der Basis bb begründen und sie in der Basis 1010 und in anderen Basen anwenden.

Die Stellenwertschreibweise

Wenn man 20252025 schreibt, addiert man nicht vier Ziffern, sondern jede wird mit einer Potenz von 1010 multipliziert, die von ihrer Stelle abhängt: Die erste 22 ist zwei Tausender wert, die zweite zwei Zehner. Die Ziffer 00 zeigt an, dass es keine Hunderter gibt, und hält, indem sie ihren Platz einnimmt, die übrigen an der ihnen zukommenden Stelle.

2025=2⋅103+0⋅102+2⋅10+52025 = 2 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10 + 5

Dieses Prinzip, die Stellenwertschreibweise, hängt nicht von der Zahl 1010 ab. Ist b≥2b \geq 2 eine natürliche Zahl, die Basis, so sind die Ziffern zur Basis bb die Zahlen 0,1,…,b−10, 1, \ldots, b - 1, und eine Folge von Ziffern ak,ak−1,…,a1,a0a_k, a_{k-1}, \ldots, a_1, a_0 mit ak≠0a_k \neq 0 stellt die folgende Zahl dar:

n=akbk+ak−1bk−1+⋯+a1b+a0n = a_k b^k + a_{k-1} b^{k-1} + \cdots + a_1 b + a_0

Die Ziffern werden nebeneinander von links nach rechts geschrieben, und die Basis wird als Index angegeben: Zum Beispiel ist 341253412_5 die Zahl, die in der Basis 55 mit den Ziffern 33, 44, 11 und 22 geschrieben wird, und man liest „34123412 zur Basis 55“. Man sagt, aia_i steht an der Stelle ii, von rechts gezählt und bei 00 beginnend. Ohne Index ist eine Zahl in der Basis 1010 geschrieben. In der Basis 22 gibt es nur zwei Ziffern, 00 und 11, die Bits heißen; in der Basis 1616 braucht man sechzehn, und zu den zehn gewöhnlichen Ziffern kommen die Buchstaben A, B, C, D, E und F hinzu, die 1010, 1111, 1212, 1313, 1414 und 1515 wert sind.

Nun kann man den Wert einer in der Basis bb geschriebenen Zahl berechnen, indem man bb immer wieder ausklammert, was das Berechnen von Potenzen vermeidet: Das ist das Horner-Schema.

LemmaHorner-Schema

Für jedes kk und alle Zahlen a0,a1,…,aka_0, a_1, \ldots, a_k erhält man die Summe der Produkte aibia_i b^i, indem man von aka_k ausgeht und kk-mal den Vorgang wiederholt, mit bb zu multiplizieren und den nächsten Koeffizienten zu addieren.

akbk+ak−1bk−1+⋯+a1b+a0=(⋯((akb+ak−1)b+ak−2)⋯ )b+a0a_k b^k + a_{k-1} b^{k-1} + \cdots + a_1 b + a_0 = (\cdots((a_k b + a_{k-1}) b + a_{k-2}) \cdots) b + a_0

Der Beweis ist eine Induktion nach kk, die nur das Distributivgesetz benutzt. Der Ausdruck ist der Wert an der Stelle x=bx = b des Polynoms akxk+⋯+a1x+a0a_k x^k + \cdots + a_1 x + a_0, und die Lektion über die Algebra der Polynome wird darauf zurückkommen.

Beweis

  1. a0=a0a_0 = a_0

    Induktionsanfang: Für k=0k = 0 reduzieren sich beide Seiten auf a0a_0, weil das Schema keine Rechenoperation ausführt.

  2. ckbk+⋯+c1b+c0=(⋯(ckb+ck−1)⋯ )b+c0\dato{h}{c_k b^k + \cdots + c_1 b + c_0 = (\cdots(c_k b + c_{k-1}) \cdots) b + c_0}

    Induktionsvoraussetzung: Das Schema gilt für jede Summe aus k+1k + 1 Termen mit beliebigen Koeffizienten, die bis zur Potenz bkb^k reicht.

  3. ak+1bk+1+⋯+a1b+a0=(ak+1bk+⋯+a2b+a1) b+a0a_{k+1} b^{k+1} + \cdots + a_1 b + a_0 = \resaltar{(a_{k+1} b^k + \cdots + a_2 b + a_1)} \, b + a_0

    Gegeben sei eine Summe, die bis bk+1b^{k+1} reicht. Nach dem Distributivgesetz wird bb aus allen Termen außer dem letzten ausgeklammert.

  4. ak+1bk+1+⋯+a1b+a0=((⋯(ak+1b+ak)⋯ )b+a1) b+a0a_{k+1} b^{k+1} + \cdots + a_1 b + a_0 = \resaltar{((\cdots(a_{k+1} b + a_k) \cdots) b + a_1)} \, b + a_0

    Die Klammer hat die Form der Induktionsvoraussetzung, mit den Koeffizienten ci=ai+1c_i = a_{i+1}; man schreibt sie nach dem Schema, und multipliziert man sie mit bb und addiert a0a_0, so erhält man das Schema für k+1k + 1. Nach dem Induktionsprinzip gilt es für jedes kk.

BeispielDer Wert einer zur Basis 5 geschriebenen Zahl

Man berechne die Zahl, die in der Basis 55 als 341253412_5 geschrieben wird, auf zwei Arten: durch Addieren der Stellenwerte und mit dem Horner-Schema.

Beweis

  1. 34125=3⋅53+4⋅52+1⋅5+23412_5 = \resaltar{3} \cdot 5^3 + \resaltar{4} \cdot 5^2 + \resaltar{1} \cdot 5 + \resaltar{2}

    Jede Ziffer wird mit der Potenz von 55 multipliziert, die ihrer Stelle entspricht: 535^3, 525^2, 55 und 11.

  2. 3⋅125+4⋅25+1⋅5+2=375+100+5+2=4823 \cdot \resaltar{125} + 4 \cdot \resaltar{25} + 1 \cdot 5 + 2 = \resaltar{375} + \resaltar{100} + 5 + 2 = \dato{v}{482}

    Wir berechnen die Potenzen und die Produkte und addieren.

  3. 34125=((3⋅5+4)⋅5+1)⋅5+23412_5 = \resaltar{((3 \cdot 5 + 4) \cdot 5 + 1)} \cdot 5 + 2

    Mit dem Horner-Schema klammern wir 55 aus den ersten drei Termen aus und danach aus den ersten beiden in der Klammer.

  4. 3⋅5+4=19,19⋅5+1=96,96⋅5+2=482\resaltar{3 \cdot 5 + 4} = 19, \quad \resaltar{19 \cdot 5 + 1} = 96, \quad \resaltar{96 \cdot 5 + 2} = \resaltar{482}

    Man rechnet von innen nach außen: Jedes Ergebnis wird mit der Basis multipliziert, und die nächste Ziffer wird addiert. Man erhält denselben Wert, ganz ohne Potenzen.