Die ganzen Zahlen: Konstruktion, Vorzeichen und Ordnung

Die Konstruktion der ganzen Zahlen

In der Lektion über die Zahlbereiche wurden die ganzen Zahlen als die Menge vorgestellt, die die natürlichen Zahlen, die Null und die Gegenzahlen der natürlichen Zahlen vereinigt, und ihre Eigenschaften wurden ausgesprochen. Nun heißt das Aussprechen dieser Eigenschaften nicht, sie zu beweisen: Solange nicht gesagt ist, was eine negative Zahl ist, sind die Vorzeichenregel oder die Verträglichkeit der Ordnung mit der Multiplikation Konventionen, keine Sätze. Diese Lektion konstruiert die ganzen Zahlen allein mit den Mitteln der Peano-Axiome und der Grundrechenarten mit natürlichen Zahlen und leitet aus der Konstruktion alle diese Regeln her. Wie im übrigen Kurs beginnen die natürlichen Zahlen bei $1$; die Null tritt in dieser Konstruktion zum ersten Mal auf.

Die Idee ist folgende. Die Gleichung $x + b = a$ hat nur dann eine natürliche Lösung, wenn $b < a$, und diese Lösung ist die Differenz $a - b$. Wenn dem so ist, kann man eine negative Zahl als eine ausstehende Subtraktion auffassen, beschrieben durch das Paar natürlicher Zahlen $(a, b)$, das sie hervorbringen würde. Viele Paare beschreiben dieselbe Subtraktion; zum Beispiel beschreiben $(5, 2)$, $(4, 1)$ und $(9, 6)$ die $3$, und $(2, 5)$ und $(1, 4)$ beschreiben das, was noch nicht existiert und die $-3$ sein wird. Zwei Paare $(a, b)$ und $(c, d)$ beschreiben dieselbe Subtraktion, wenn $a - b = c - d$; diese Bedingung verwendet Subtraktionen, die möglicherweise nicht existieren, aber durch Addition von $b + d$ auf beiden Seiten wird sie zu einer Gleichung zwischen natürlichen Zahlen, die immer einen Sinn hat:

Definition (äquivalente Paare). Zwei Paare natürlicher Zahlen $(a, b)$ und $(c, d)$ heißen äquivalent, geschrieben $(a, b) \sim (c, d)$, wenn $a + d = b + c$.

In einem Gitter, dessen Punkte die Paare natürlicher Zahlen sind, mit $a$ auf der waagrechten Achse und $b$ auf der senkrechten, ist das Paar $(a + 1, b + 1)$ äquivalent zu $(a, b)$, weil $a + (b + 1) = b + (a + 1)$; folglich liegen die zu einem gegebenen Paar äquivalenten Paare auf einer Geraden parallel zur Diagonale, auf der man um eins nach rechts und um eins nach oben vorrückt. Damit diese Relation dazu dienen kann, Paare zu identifizieren, muss sie sich wie eine Gleichheit verhalten: Jedes Paar ist zu sich selbst äquivalent, die Relation hängt nicht von der Reihenfolge ab, in der man die Paare nennt, und zwei zu einem dritten äquivalente Paare sind zueinander äquivalent. Das heißt, sie muss reflexiv, symmetrisch und transitiv sein: eine Äquivalenzrelation im Sinne der Lektion über Mengen, Relationen und Funktionen, deren Beispiel zur Relation, die die ganzen Zahlen konstruieren wird, diese Konstruktion vorwegnahm.

Die ganzen Zahlen als Klassen von Paaren

Da die Äquivalenz von Paaren eine Äquivalenzrelation ist, gelten für sie die allgemeinen Ergebnisse der Lektion über Mengen, Relationen und Funktionen, die nicht wiederholt zu werden brauchen. Die Klasse des Paares $(a, b)$ ist die Menge aller zu $(a, b)$ äquivalenten Paare natürlicher Zahlen; in der Schreibweise jener Lektion wäre sie $C((a, b))$, und hier schreibt man kürzer $C(a, b)$. Jedes Paar der Klasse ist ein Repräsentant von ihr. Im Gitter ist eine Klasse die Menge der Punkte einer Geraden parallel zur Diagonale. Nach dem dort bewiesenen Lemma über die Äquivalenzklassen sind zwei Paare genau dann äquivalent, wenn ihre Klassen gleich sind, und zwei Klassen mit einem gemeinsamen Paar fallen zusammen; und nach dem Satz über Äquivalenzen und Partitionen bilden die Klassen eine Partition der Paare natürlicher Zahlen. Daraus folgt die Regel, mit der man zwei Klassen vergleicht:

Definition (ganze Zahlen). Eine ganze Zahl ist eine Klasse von Paaren natürlicher Zahlen. Die Menge der ganzen Zahlen wird mit $\mathbb{Z}$ bezeichnet; sie ist die Quotientenmenge der Paare natürlicher Zahlen nach der Äquivalenz von Paaren.

Die Definition mag seltsam erscheinen, weil eine Zahl sich als eine unendliche Menge von Paaren erweist. Doch genau das geschieht schon bei den Brüchen: $\frac{1}{2}$ und $\frac{2}{4}$ sind verschiedene Schreibweisen ein und derselben Zahl, und definiert wird das, was ihnen allen gemeinsam ist. Die Klasse $C(5, 2)$ wird die $3$ sein; die Klasse $C(2, 5)$ die $-3$; die Klasse $C(1, 1)$ die $0$. Bevor man diese Namen verwendet, muss man die Rechenoperationen definieren und prüfen, dass die natürlichen Zahlen tatsächlich innerhalb der ganzen Zahlen liegen.

Summe und Produkt von Klassen

Die Rechenoperationen werden definiert, indem man nachahmt, was geschähe, wenn die Subtraktionen existierten. Stellt $(a, b)$ die Differenz $a - b$ dar und $(c, d)$ die Differenz $c - d$, so wäre die Summe beider Subtraktionen $(a + c) - (b + d)$ und ihr Produkt nach dem Ausmultiplizieren $(ac + bd) - (ad + bc)$. Diese Rechnung ist kein Beweis, weil sie Subtraktionen verwendet, die noch nicht existieren; sie dient dazu, die Definitionen zu wählen, in denen nur Summen und Produkte natürlicher Zahlen vorkommen:

Die Definition rechnet mit Repräsentanten, und ein und dieselbe Klasse hat unendlich viele davon. Änderte sich das Ergebnis beim Wechsel des Repräsentanten, so definierte die Definition nichts: Sie lieferte mehrere Werte für ein und dieselbe Rechenoperation. Man muss daher beweisen, dass das Ergebnis nur von den Klassen abhängt; man sagt dann, die Rechenoperation sei wohldefiniert.

Die Eigenschaften der Addition und der Multiplikation

Sind die Rechenoperationen wohldefiniert, so wird jede Eigenschaft der ganzen Zahlen durch Rechnen mit Repräsentanten bewiesen, und jede erbt die Eigenschaft der natürlichen Zahlen, auf der sie beruht. Für alle ganzen Zahlen $x$, $y$ und $z$ gelten diese Eigenschaften:

1. Kommutativität und Assoziativität der Addition, komponentenweise von denen der natürlichen Zahlen geerbt.
2. Kommutativität der Multiplikation, geerbt von der Kommutativität der Addition und der Multiplikation der natürlichen Zahlen, wie in Schritt 5 des vorigen Beweises.
3. Assoziativität der Multiplikation und Distributivität, geerbt von der Assoziativität, der Kommutativität und der Distributivität der natürlichen Zahlen.
4. Neutrales Element der Addition: die Klasse $C(1, 1)$, die alle Paare $(m, m)$ enthält.
5. Gegenzahl: zu jeder Klasse $C(a, b)$ die Klasse $C(b, a)$, die man durch Spiegelung der Paare an der Diagonale erhält.
6. Neutrales Element der Multiplikation: die Klasse $C(2, 1)$.

Die letzten vier sind kurze Rechnungen. Für die Distributivität multipliziert man beide Seiten mit den Definitionen aus und erhält dasselbe Paar:

Für die Assoziativität der Multiplikation liefern die beiden Arten, $C(a, b) \cdot C(c, d) \cdot C(e, f)$ zu klammern, nach dem Ausmultiplizieren dasselbe Paar von Summen aus vier Termen:

Für die neutralen Elemente und die Gegenzahl genügt es, die Regel zum Vergleich von Klassen anzuwenden: $C(a + 1, b + 1) = C(a, b)$, weil $(a + 1) + b = (b + 1) + a$; das Paar $(2a + b, a + 2b)$, das $C(a, b) \cdot C(2, 1)$ definiert, ist äquivalent zu $(a, b)$, weil beide Seiten der Bedingung $2a + 2b$ ergeben; und $C(a, b) + C(b, a) = C(a + b, a + b)$, die Klasse der Paare mit zwei gleichen Termen.